Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc

iểm E và có vtpt −→n ⇒ AB :
x+ 1 = 0⇒ Tọa độ B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (−1; 1) ( thỏa mãn)
Giả sử điểm A (−1; a) ∈ AB và D (d; 9− d) ∈ (d1)
Trung điểm M của AD có tọa độ M
(
d− 1
2
;
9− d+ a
2
)
∈ (d)
⇒ d− 1
2
− 9− d+ a
2
+ 2 = 0⇔ 2d− a− 6 = 0 (1)
Ta có AD⊥AB ⇒ −−→AD⊥−−→AB mà −−→AB = (0; 1) và −−→AD = (d+ 1; 9− d− a)
⇒ 9− d− a = 0⇔ a+ d = 9 (2)
Từ (1) và (2)⇒
 d = 5a = 4 ⇒
 A (−1; 4)D (5; 4)
Gọi I là tâm hình chữ nhất ⇒ I
(
2;
5
2
)
. I là trung điểm của AC ⇒ C (5; 1)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 17 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau
qua gốc tọa độ O. Đường phân giác trong góc B có phương trình (d) : x+ 2y − 5 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC đi qua điểm K (6; 2).
Lời giải tham khảo :
Gọi điểm B (5− 2b; b) ∈ (d). B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ C (2b− 5;−b)
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (d) và AB lần lượt tại F và I.
Đường thẳng OF đi qua O và vuông góc với (d)⇒ OF : 2x− y = 0
Tọa độ F là giao điểm của (d) và OF ⇒ F (1; 2)
F là trung điểm của OI ⇒ I (2; 4)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 14
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Tam giác ABC vuông tại A⇒ AB⊥AC ⇒ −−→AB⊥−→AC có −−→AB = (3− 2b; b− 4) và −→AC = (2b− 11;−b− 2)
⇒ (3− 2b) (2b− 11) + (b− 4) (−b− 2) = 0 ⇔ −5b2 + 30b − 25 = 0 ⇔
 b = 1
b = 5
Với b = 1 ⇒ B (3; 1) ⇒
C (−3;−1)
Phương trình đường thẳng AB đi qua B và I ⇒ AB : 3x+ y − 10 = 0
Phương trình đường thẳng AC đi qua C và K ⇒ AC : x− 3y = 0
A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (3; 1) ( loại do trùng điểm B)
Trường hợp b = 5 xét tương tự
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 18 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích bằng
45
8
. Phương trình
hai cạnh đáy AB : x− 3y+ 1 = 0 và CD : 2x− 6y+ 17 = 0. AD và BC cắt nhau tại điểm K (2; 6).
Hai đường chéo cắt nhau tại điểm I
(
1;
7
3
)
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.
Lời giải tham khảo :
Khoảng cách giữa AB và CD là d =
15√
40
Ta có diện tích hình thang S =
1
2
. (AB + CD) .d⇒ AB + CD = 3
√
10
2
(1)
ABCD là hình thang ⇒ AB
CD
=
d (I, AB)
d (I, CD)
= 2 (2)
Từ (1) và (2)⇒ AB = 2.CD = √10
Tam giác KAB có CD // AB và AB = 2CD ⇒ CD là đường trung bình của tam giác KAB
Nối KI cắt AB và CD tại M và N ⇒ M. N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 15
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Phương trình đường thăng KI đi qua K và I ⇒ KI : 11x− 3y − 4 = 0
M là giao điểm của KI và AB ⇒M
(
1
2
;
1
2
)
Ta có AB =
√
10 và M là trung điểm của AB ⇒ A và B thuộc đường tròn tâm M bán kính R =
√
10
2
⇒ (C) :
(
x− 1
2
)2
+
(
y − 1
2
)2
=
5
2
A, B là giao điểm của (C) và đường thẳng AB ⇒ A, B có tọa độ là (2; 1) ; (−1; 0)
Do đó C, D có tọa độ là
(
2;
7
2
)
;
(
1
2
; 3
)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 19 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đường
trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là (d) : x + y − 2 = 0. Biết ÂBC = 120o và điểm A (3; 1). Tìm
tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Lời giải tham khảo :
Đặt AB = x⇒ BC = 2x. Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ABC ta có
AC2 = AB2 +BC2 − 2.AB.BC. cos ÂBC = 7x2 ⇒ AC = x√7
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến vào tam giác ABC ta được
BM2 =
AB2 +BC2
2
− AC
2
4
=
3x2
4
Trong tam giác ABM có AB = x,BM2 =
3x2
4
;AM =
x
√
7
2
⇒ AM2 = AB2 +BM2
⇒ ∆ABM vuông tại B ⇒ AB⊥BM
Phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BM ⇒ AB : x− y − 2 = 0
B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (2; 0)
Lại có AB = d (A,BM) =
√
2 = x⇒ BM =
√
6
2
. Gọi M (m; 2−m) ∈ BM
⇒ BM2 = 2 (m− 2)2 = 3
2
⇔ m = 2±
√
3
2
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 16
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Thay vào ta được điểm M , lại có M là trung điểm của AC ⇒ tọa độ điểm C (2±√3; 4±√3)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 20 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh BC là
(d) : 2x − y + 3 = 0. Điểm I (−2;−1) là trung điểm cạnh BC, điểm E (4; 1) nằm trên cạnh AB.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 90.
Lời giải tham khảo :
Tam giác ABC cân tại A⇒ AI là vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A
Phương trình đường phân giác AI đi qua A và vuông góc với BC ⇒ AI : x+ 2y + 4 = 0
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AI và AC tại F và M .
Phương trình đường thẳng EM đi qua E vuông góc với AI ⇒ EM : 2x− y − 7 = 0
Tọa độ điểm F là giao điểm của EM và AI ⇒ F (2;−3). F là trung điểm của EM ⇒M (0; 7)
Lấy điểm B (b; 2b+ 3) ∈ BC ⇒ C (−4− b; 5− 2b)
Tam giác ABC cân tại A⇒ ÂBC = ÂCB hay (BE,BC) = (MC,BC)
−−→
BE = (b− 4; 2b− 2) ,−−→MC = (4 + b; 2b− 2) ,−−→BC = (1; 2)
⇒ |b− 4 + 2b− 4|√
5.
√
5b2 − 16b+ 20 =
|5b|√
5.
√
5b2 + 20
⇔
 b = 1
b = 4
X Với b = 1⇒ B (1; 5)⇒ C (−5;−7)⇒ BC = 6√5
S =
1
2
.AI.BC = 90⇒ AI = 6√5. Lấy điểm A (−2a− 4; a) ∈ AI
⇒ AI2 = (2a+ 2)2 + (a+ 1)2 = 90⇔
 a = 5
a = −7
⇒
 A (−14; 5)
A (10;−7)
X Với b = 4 xét tương tự.
Bài toán giải quyết xong.
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 17
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Đề bài 21 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A (−1;−3) , B (5; 1).
Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC = 2MB. Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA =
AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên.
Lời giải tham khảo :
Giả sử điểm M (a; b) ta có MA = 5⇒ (a+ 1)2 + (b+ 3)2 = 25
a2 + 2a+ b2 + 6b = 15 (1)
Gọi D là trung điểm của CM ta có MA = AC = 5⇒ ∆CAM cân tại A⇒ AD⊥CM
Theo giả thiết MC = 2MB ⇒MB = MD ⇒M là trung điểm của BD ⇒ D (2a− 5; 2b− 1)
−−→
AD = (2a− 4; 2b+ 2) ;−→BI = (2a− 10; 2a− 2)
AD⊥BI ⇒ −−→AD.−→BI = 0⇒ (2a− 4) (2a− 10) + (2b+ 2) (2b− 2) = 0
⇒ a2 − 7a+ b2 = −9 (2)
Từ (1) và (2)⇒
 a = 2; b = 1
a =
50
13
; b = −23
13
X Với a = 50
13
; b = −23
13
⇒M
(
50
13
;−23
13
)
Phương trình đường thẳng BC đi qua B và M ⇒ BC : 12x − 5y − 55 = 0 ( loại do phương trình
BC có hệ số góc nguyên)
X Với a = 2; b = 1⇒M (2; 1) phương trình BC đi qua M và B ⇒ BC : y = 1 ( thỏa mãn)
Tọa độ điểm D (−1; 1)⇒ C (−4; 1)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 22 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâmH (−3; 2).
Gọi D,E là chân đường cao hạ từ B và C. Điểm A thuộc đường thẳng (d) : x− 3y − 3 = 0, điểm
F (−2; 3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2. Tìm tọa độ đỉnh A.
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 18
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Lời giải tham khảo :
Ta có HD = 2⇒ (xD + 3)2 + (yD − 2)2 = 4
⇔ x2D + y2D + 6xD − 4yD + 9 = 0 (1)
Điểm A ∈ (d)⇒ A (3a+ 3; a) ta có AD⊥DH ⇒ −−→AD.−−→HD = 0
(xD − 3a− 3) (xD + 3) + (yD − a) (yD − 2) = 0
x2D + y
2
D − 3axD − (a+ 2) yD − 7a− 9 = 0 (2)
Tứ (1) và (2)⇒ (6 + 3a)xD + (a− 2) yD + 7a+ 18 = 0
Tương tự ta có (6 + 3a)xE + (a− 2) yE + 7a+ 18 = 0
Do đó phương trình đường thẳng DE có dạng (d1) : (6 + 3a)x+ (a− 2) y + 7a+ 18 = 0
Mà điểm F ∈ (d1)⇒ a = 0⇒ A (3; 0)
Đề bài 23 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (1; 1),
đường cao từ đỉnh A có phương trình (d) : 2x − y + 1 = 0. Các đỉnh B và C thuộc đường thẳng
(d1) : x+ 2y− 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết tam giác ABC có diện tích bằng
6.
Lời giải tham khảo :
Điểm A ∈ (d)⇒ A (a; 2a+ 1)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 19
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ G ∈ AM và AG = 2GM ⇒ −→AG = 2−−→GM
⇒M
(
3− a
2
; 1− a
)
mặt khác M ∈ (d1)
⇒ 3− a
2
+ 2 (1− a)− 1 = 0⇒ a = 1⇒ A (1; 3)⇒M (1; 0)
Gọi H là giao điểm của (d) và (d1)⇒ H
(
−1
5
;
3
5
)
⇒ AH = 6√
5
S =
1
2
.AH.BC = 6⇒ BC = 2√5⇒MB = MC = √5
Điểm B ∈ (d1)⇒ B (1− 2b; b)⇒MB2 = 5b2 = 5⇔ b = ±1
X b = 1⇒ B (−1; 1)⇒ C (3;−1)
X b = −1⇒ B (3;−1)⇒ C (−1; 1)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 24 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6.
Phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD là (d) : 2x+ y − 11 = 0, đường thẳng AB đi qua
điểm M (4; 2), đường thẳng BC đi qua điểm N (8; 4). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
biết các điểm B,D đều có hoành độ lớn hơn 4.
Lời giải tham khảo :
Vì B ∈ (d)⇒ B (b; 11− 2b). AB⊥BC ⇒MB⊥NB ⇒ −−→MB.−−→NB = 0
⇒ (b− 4) (b− 8) + (9− 2b) (7− 2b) = 0⇒ 5b2 − 44b+ 95 = 0⇔
 b = 195
b = 5
⇒ B (5; 1)
Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B và M ⇒ AB : x+ y − 6 = 0
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và N ⇒ AC : x− y − 4 = 0
A ∈ AB ⇒ A (a; 6− a) và C ∈ BC ⇒ C (c; c− 4)
Gọi I là tâm của hình chữ nhật ⇒ I
(
a+ c
2
;
c− a+ 2
2
)
∈ BD
⇒ a+ c+ c− a+ 2
2
− 11 = 0⇔ 3c+ a− 20 = 0 (1)
AB =
√
2. |a− 5| và BC = √2. |c− 5| ⇒ S = 2 |a− 5| . |c− 5| = 6 (2)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 20
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Từ (1) và (2)⇒
[
a = 2; c = 6
a = 8; c = 4
⇒
[
A (2; 4) , C (6; 2)⇒ I (4; 3)⇒ D (3; 5) (loai)
A (8;−2) , C (4; 0)⇒ I (6;−1)⇒ D (7;−3) (tm)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 25 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường
tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm M (0; 1)
là trung điểm của cạnh AB và điểm A có hoành độ dương.
Lời giải tham khảo :
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (−1; 2) ;R = 2. M là trung điểm của AB ⇒ IM⊥AB
Phương trình đường thẳng AB đi qua M và vuông góc với IM ⇒ AB : x− y + 1 = 0
Có điểm A ∈ AB ⇒ A (a; a+ 1)⇒ IA = 2⇒ (a+ 1)2 + (a− 1)2 = 4⇒ a = ±1⇒ A (1; 2)⇒ B (−1; 0)
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và vuông góc với AI ⇒ BC : x+ 1 = 0
C là giao điểm của BC và (C)⇒ C (−1; 4)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 26 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 10,
phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là (d) : 3x − y = 0. Lấy điểm M đối xứng với điểm D
qua điểm C và đường thẳng BM có phương trình (d1) : 2x+ y− 10 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật biết đỉnh B có hoành độ dương.
Lời giải tham khảo :
Gọi N là giao điểm của BM và AD ⇒ N (2; 6)
Điểm D ∈ AD ⇒ D (d; 3d) và B ∈ BM ⇒ B (b; 10− 2b) với b > 0
A là trung điểm của ND ⇒ A
(
d+ 2
2
;
3d+ 6
2
)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 21
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
B là trung điểm củaMN ⇒M (2b− 2; 14− 4b) mà C là trung điểm củaMD ⇒ C
(
2b− 2 + d
2
;
14− 4b+ 3d
2
)
AB⊥AD ⇒ −−→AB.−−→AD = 0 có −−→AB =
(
d+ 2− 2b
2
;
3d+ 4b− 14
2
)
⇒ d+ 2− 2b
2
+ 3.
3d− 14 + 4b
2
= 0⇔ b+ d = 4 (1)
Từ (1) có AD2 = AN2 =
10
4
. (d− 2)2 và AB2 = 10
4
(d− 2)2
⇒ S = 10
4
(d− 2)2 = 10⇒
 d = 0⇒ b = 4 (tm)
d = 4⇒ b = 0 (loai)
Do đó B (4; 2) , D (0; 0) , C (3;−1) , A (1; 3)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 27 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của
tia CA lấy điểm K sao cho AC = CK. Kẻ KE vuông góc với BC ( E thuộc đường thẳng BC) cắt
đường thẳng AB tại N (−1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết ÂEB = 45o, phương
trình đường thẳng BK là (d) : 3x+ y − 15 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 3.
Lời giải tham khảo :
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 22
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Tam giác NBK có BE và KA là hai đường cao ⇒ C là trực tâm ⇒ NC ⊥ BK.
Tứ giác BAEK nội tiếp ⇒ B̂EA = ÂKB = 45o ⇒ ∆ABK vuông cân tại A ⇒ ÂBK = 45o
Gọi −→n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB, có −→n1 = (3; 1) là vtpt của đường thẳng BK
⇒ cos (−→n ,−→n1) = |3a+ b|√
10.
√
a2 + b2
=
1√
2
⇒ 4a2 + 6ab− 4b2 = 0⇒
 b = 2a
a = −2b
X Với a = −2b⇒ chọn −→n = (−2; 1)⇒ AB : −2x+ y − 5 = 0⇒ B (2; 9) ( loại)
X Với b = 2a⇒ chọn −→n = (1; 2)⇒ AB : x+ 2y − 5 = 0⇒ B (5; 0) (thỏa mãn)
Phương trình đường thẳng NM qua điểm N và vuông góc với BK ⇒MN : x− 3y + 10 = 0
Có ∆ABK và ∆KCM vuông cân ⇒ KM = 1√
2
.CK =
1√
2
.
1
2
.AC =
1
2
√
2
.
1√
2
BK =
BK
4
M là giao điểm của MN và BK ⇒M
(
7
2
;
9
2
)
. Có BK = 4MK ⇒ K (3; 6)
Phương trình đường thẳng AC đi qua K và vuông góc với AB ⇒ AC : 2x− y = 0
A là giao điểm của AC và AB ⇒ A (1; 2)
C là trung điểm của AK ⇒ C (2; 4)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 28 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm
trên cạnh AC sao cho AB = 3AM. Đường tròn tâm I (1;−1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua điểm N
(
4
3
; 0
)
, phương trình
đường thẳng CD : x− 3y − 6 = 0 và điểm C có hoành độ dương.
Lời giải tham khảo :
Tam giác ABM vuông tại A có AB = 3AM ⇒ BM = √10AM ⇒ cos ÂBM = 3√
10
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 23
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Tứ giác BADC nội tiếp ⇒ ÂBM = D̂CA ⇒ cos D̂CA = 3√
10
. Gọi −→n = (a; b) là vtpt của đường thẳng
AC
⇒ cos D̂CA = |a− 3b|√
10.
√
a2 + b2
=
3√
10
⇒ 8a2 + 6ab = 0⇒
 a = 0
a = −3b
4
X Với a = −3b
4
⇒ chọn −→n = (3;−4).Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm I và có vtpt −→n
⇒ AC : 3x− 4y − 7 = 0 C là giao điểm của AC và CD ⇒ C
(
−3
5
;−11
5
)
( loại )
X Với a = 0⇒ chọn −→n = (0; 1). Phương trình AC đi qua điểm I và có vtpt −→n
⇒ AC : y + 1 = 0⇒ tọa độ điểm C là C (3;−1) ( thỏa mãn )
I là trung điểm của CM⇒M (−1;−1)⇒ phương trình đường tròn tâm I là (C) : (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4
D là giao điểm của CD và (C)⇒ D
(
−3
5
;−11
5
)
. Phương trình đường thẳng BM : 3x+ y + 4 = 0
Phương trình đường thẳng BC : 3x+ 5y − 4 = 0. B là giao điểm của BM và BC ⇒ B (−2; 2)
Phương trình đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với AC ⇒ AB : x+ 2 = 0
A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (−2;−1).
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 29 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D (−6;−6), đường
trung trực (d1) của đoạn thẳng CD có phương trình là (d1) : 2x+ 3y+ 17 = 0 và đường phân giác
(d2) của góc B̂AC có phương trình (d2) : 5x + y − 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình
bình hành ABCD.
Lời giải tham khảo :
Đường thẳng CD đi qua điểm D và vuông góc với (d1)⇒ CD : 3x− 2y + 6 = 0
Gọi M là giao điểm của CD và (d1)⇒M (−4;−3). M là trung điểm của CD ⇒ C (−2; 0)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 24
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với (d2) cắt (d2) tại G và cắt AB tại H ⇒ CH : x− 5y + 2 = 0
G là giao điểm của CH và (d2)⇒ G
(
1
2
;
1
2
)
. G là trung điểm của CD ⇒ H (3; 1)
Phương trình đường thẳng AB đi qua H và song song với CD ⇒ AB : 3x− 2y − 7 = 0
A là giao điểm của AB và (d2)⇒ A (1;−2).
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C và song song với AD ⇒ BC : 4x− 7y + 8 = 0
B là giao điểm của AB và BC ⇒ B (5; 4)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 30 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB
và AD tiếp xúc với đường tròn (C) : (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 4. Đường chéo AC cắt (C) tại điểm
M
(
−16
5
;
23
5
)
và điểm N thuộc trục Oy. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết
điểm A có hoành độ âm và điểm D có hoành độ dương, diện tích tam giác AND bằng 10
Lời giải tham khảo :
Đường tròn (C) cắt trục Oy tại điểm N (0; 3)⇒MN = 8
√
5
5
và phương trình MN : x+ 2y − 6 = 0
Giả sử đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AD tại điểm G và F ⇒ AGIF là hình vuông ⇒ AF = IF = 2.
AMN là cát tuyến của (C) và AF là tiếp tuyến của (C)⇒ AM.AN = AF 2 = 4
Vì A ∈MN ⇒ A (6− 2a; a) và −−→AM.−−→AN = 4 ( A nằm ngoài M và N )
⇒
(
−16
5
− 6 + 2a
)
(2a− 6) +
(
23
5
− a
)
(3− a) = 4⇔
 a = 5
a =
13
5
⇒
 A
(
4
5
;
13
5
)
A (−4; 5)
⇒ A (−4; 5)
Giả sử điểm D (b; c). Gọi d là khoảng cách từ D đến AN ta có
SAND =
1
2
.d.AN = 10⇒ d = 2√5⇒ |b+ 2c− 6|√
5
= 2
√
5⇒ |b+ 2c− 6| = 10 (1)
Ta có góc giữa AD và AI bằng 45o.
−−→
AD = (b+ 4; c− 5), −→AI = (1;−1)
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 25
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
cos
(−−→
AD,
−→
AI
)
=
|b+ 4− c+ 5|
√
2.
√
(b+ 4)2 + (c− 5)2
=
1√
2
⇒
 c = 5
b = −4
Với c = 5 thay vào (1)⇒
 b = 6
b = −14
D có hoành độ dương ⇒ D (6; 5)
Phương trình AD đi qua điểm A và D ⇒ AD : y = 5. Phương trình CD đi qua D và vuông góc với AD
⇒ CD : x = 6
C là giao điểm của AC và CD ⇒ C (6; 0). Gọi I là tâm hình chữ nhật ⇒ I
(
1;
5
2
)
I là trung điểm của BD ⇒ B (−4; 0)
Đề bài 31 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (2; 1) là trung
điểm của AC. Điểm H (0;−3) là chân đường cao hạ từ A, điểm E (23;−2) thuộc trung tuyến kẻ
từ C. Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : 2x+ 3y− 5 = 0 và điểm C có hoành
độ dương.
Lời giải tham khảo :
Vì A ∈ (d)⇒ A (3a+ 1; 1− 2a). M là trung điểm của AC ⇒ C (3− 3a; 1 + 2a)
H là chân đường cao hạ từ A ⇒ AH ⊥ CH ⇒ −−→AH⊥−−→CH
⇒ (3a+ 1) (3− 3a) + (4− 2a) (4 + 2a) = 0⇒ −13a2 + 6a+ 19 = 0⇒
 a = −1
a =
19
13
⇒
 C (6;−1)
C
(
−18
13
;
51
13
) ⇒ C (6;−1)⇒ A (−2; 3)
Phương trình đường trung tuyến kẻ từ C đi qua C và E ⇒ CE : x+ 17y + 11 = 0
Phương trình đường thẳng BC đi qua C và H ⇒ BC : x− 3y − 9 = 0
Lấy điểm B ∈ BC ⇒ B (3b+ 9; b)
Trung điểm của AB là điểm N
(
3b+ 7
2
;
b+ 3
2
)
N ∈ CE ⇒ 3b+ 7
2
+ 11.
3 + b
2
+ 11 = 0⇒ b = −4⇒ B (−3;−4)
Bài toán giải quyết xong.
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 26
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Đề bài 32 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường
chéo AC là (d) : x+ 7y− 31 = 0. Các đỉnh B,D lần lượt thuộc các đường thẳng (d1) : x+ y− 8 =
0; (d2) : x− 2y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết hình thoi có diện tích bằng 75 và
đỉnh A có hoành độ âm.
Lời giải tham khảo :
B ∈ (d1)⇒ B (b; 8− b) và D ∈ (d2)⇒ D (2d− 3; d)
ABCD là hình thoi⇒ trung điểm của BD ∈ AC. Gọi I là trung điểm của AC⇒ I
(
b+ 2d− 3
2
;
8− b+ d
2
)
I ∈ AC ⇒ b+ 2d− 3
2
+ 7.
8− b+ d
2
− 31 = 0⇒ 2b− 3d+ 3 = 0 (1)
Mặt khác BD ⊥ AC ⇒ 7 (2d− 3− b)− (d− 8 + b) = 0⇒ −8b+ 13d− 13 = 0 (2)
Từ (1) và (2)⇒
{
b = 0
d = 1
⇒
{
B (0; 8)
D (−1; 1) ⇒ BD = 5
√
2
S =
1
2
.AC.BD = 75⇒ AC = 15√2. Tam của hình thoi là I
(
−1
2
;
9
2
)
A ∈ AC ⇒ A (31− 7a; a). Có IA = AC
2
=
15
√
2
2
⇒ IA2 = ...⇒ tọa độ điểm A ⇒ tọa độ điểm C
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 33 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A (1; 1) và AB = 4.
Gọi M là trung điểm của BC, K
(
9
5
;−3
5
)
là hình chiếu của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn
lại của hình vuông biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 2.
Lời giải tham khảo :
Phương trình đường thẳng AM đi qua A và K ⇒ AM : 2x+ y − 3 = 0
Tổng hợp các bài toán đặc sắc 27
w
w
w
.ti
la
do
.e
du
.v
n
www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Ta có AK =
4
√
5
5
và AM = 2
√
5⇒ AK
AM
=
2
5
Lấy điểm M (m; 3− 2m). Ta có AK
AM
=
2
5
⇒ −−→AK = 2
5
−−→
AM ⇒M (3;−3)
Giả sử điểm B (a; b) với a > 2. ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BM
⇒ (a− 1) (a− 3) + (b− 1) (b+ 3) = 0⇔ a2 − 4a+ b2 + 2b = 0 (1)
AB = 4⇒ (a− 1)2 + (b− 1)2 = 16⇔ a2 − 2a+ b2 − 2b = 14 (2)
Từ (1) và (2)⇒ B (1;−3). M là trung điểm của BC ⇒ C (5;−3)
Phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB ⇒ AD : y = 1
Phương trình đường thẳng CD đi qua C và vuông góc với BC ⇒ CD : x = 5
D là giao điểm của CD và AD ⇒ D (5; 1)
Bài toán giải quyết xong.
Đề bài 34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm
trên đường thẳng (d) : x + y − 1 = 0. Điểm E (9; 4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm
F (−2;−5) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2√2. Xác định tọa độ các đỉnh của hình
thoi biết điểm C có hoành độ âm.
Lời giải tham khảo :
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC cắt AC tại M và cắt AD tại N
P