Tuyển tập 55 đề thi Học sinh giỏi Toán 7 có đáp án hay - Năm học 2010-2011 - Nguyễn Văn Tú

Đề số 21: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức 
b) Chứng minh rằng:
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:
 chia hết cho 6.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: (2 điểm)
 Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Đề số 22: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Chứng minh rằng tổng:
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mãn.
b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6.
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) Tính các góc của DDIE nếu góc A = 600.
b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của DABC lần lượt là M và N. Chứng minh BM > MN + NC.
Bài 5: (1 điểm) 
Cho z, y, z là các số dương.
Chứng minh rằng: 
Đề số 23: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết: 
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = 
Bài 2: (2 điểm)
 Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
 Cho . 
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B =. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc EBA= . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. 
Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
Bài 5: (1 điểm) 
 Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 và 
Đề số 24: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Tìm x biết 
Bài 2: (2 điểm) 
Chứng minh rằng: 
Nếu 
Thì 
Bài 3: (2 điểm)
 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 
Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
 Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
Đề số 25: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 . ( 2đ) Cho: .
Chứng minh: .
Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng:
A = .
Câu 3. (2đ). Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó.
a). A = . b). A = .
Câu 4. (2đ). Tìm x:
a) = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650
Câu 5. (3đ). Cho r ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E ẻ BC,
 BH,CK ^ AE, (H,K ẻ AE). Chứng minh r MHK vuông cân. 
Đề số 26: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2đ)
Rút gọn A=
Câu 2 (2đ)
Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau.
Câu 3: (1,5đ)
Chứng minh rằng là một số tự nhiên.
Câu 4 : (3đ)
Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC.Chứng minh rằng .
a, K là trung điểm của AC.
b, BH = 
c, đều
Câu 5 (1,5 đ)
 Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa:
a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2.
b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3.
c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4.
Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn.
Đề số 27:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (3 điểm): Tớnh
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tỡm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tỡm biết: 
---------------------------------------------------------
Đề số 28:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tính 
Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: = 3
 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. 
Đề số 29:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 
Câu 3: Trong 3 số x, y, z có 1 số dương , một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết: 
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
Câu 5: Tính tổng:
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và 
Chứng minh: MA BC
Đề số 30:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: So sánh các số:
 	a. 	
	B =251
 	b.	2300 và 3200
Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a tỉ lệ thuận với 7 và 11; b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 8 và 5a - 3b + 2c = 164
Câu 3: Tính nhanh:
Câu 4. Cho tam giác ACE đều sao cho B và E ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ AC.
Chứng minh tam giác AED cân.
Tính số đo góc ACD?
Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp 7
Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7 
I. phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa 
	đây là những bài toán tương đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhưng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn . có những bài có số mủ rất lớn tưởng như là mình không thể giãi được . Nhưng nhờ phát hiện và nắm bắt được qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi được và tự nhiên thấy mình làm được một việc vô cùng lớn lao . từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu 
 Tuy là khó nhưng chúng ta hướng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt . đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn 
II. Nội dung cụ thể : 
Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lưởng ,đầy đủ 
 n = một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0
 n = một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1
 n = một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5 
 n = một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6
 *a = với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0 
 *a = với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5 
 Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tưn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi 
 Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa 	 
Các bài toán cơ bản .
Bài toán 1 : Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau 
 a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100
Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đả trình bày ở trên 
nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 
 Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đưa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên . thực chất chỉ có đưa về hai dạng cơ bản đó là : n = , n = 
 giải bài toán 1 
a) 2100 = 24*25 = (4)25 = (16)25 = 
b) 3100 = 34*25 = (4)25 = (81)25 = 
c) 4100 = 44*50 =(2)50 = (16)50 = 
d) 7100 = 74*25 =(4)25 = 240125 =
e) 8100 = 84*25 = (4)25 = 409625 = 
f) 9100 = 92*50 = (2)50 = 8150 = 
 Bài toán 2 : tìm chử số tận cùng của các số sau : 
 a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101
	Giải bài toán 2
_ nhận xét đầu tiên .
số mủ ( 101 không chia hết cho 2 và 4 ) 
_ Ta viết 101 = 4.25 +1 
 101 = 2 .50 +1 
_ áp dụng công thức am+n = am.an
ta có : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 . 2 = .2 = 
b) 3101 = 3100+1 = 3100 . 3 = .3 = 
 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 . 4 = . 4 = 
 d) 7101 = 7100+1 = 7100 . 7 = .7 = 
 e) 8101 = 8100+1 = 8100 . 8 = .8 = 
 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 . 9 = . 9 = 
3. Một số bài toán phức tạp hơn
 Bài toán 3: Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau :
a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; 
	f) 25691997 
 Bài giải 
Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của luỷ thừa bậc n của mộtsố tự nhiên chỉ phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) . Như vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2 
 a) 12921997 = 12924. 499 +1= (12924)499 .1292 = 
 b) 33331997 = 33334. 499 +1 =(33334)499 +1 . 3333 = 499 .3333 =
 c) 12341997 = 12344 .499 +1 = (12344)499 . 1234 = ()499 . 1234 =
 d) 12371997 = 12374 .499 +1 = (12374) 499. 1237 = 499 .1237 =
4. vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết 
Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ sẻ có chử số tận cùng là 0 ta sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } . Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4)
Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh 
12921997 + 33331997 5 
 Theo bài toán trên ta có 
 	12921997 = 
	 33331997 = 
như vậy tổng của hai số này sẻ có tận cùng là 5 12921997 + 33331997 5 
Chứng minh 16281997 + 12921997 10 
Ap dụng qui tắc tìm chử số tận cùng ta có 
	16281997 sẻ có tận cùng là 
	12921997 Sẻ Có tận cùng là 
 	Như vậy 16281997 + 12921997 10 (vì chử số tận cùng của tổng này sẻ là 0)
 Ta củng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tương tự 
III. Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần cơ bản của vấn đề tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa và những ứng dụng của nó trong bài toán chứng minh chia hết trong tập hợp số tự nhiên 
Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hướng dẩn cho một số học sinh các em tỏ ra rất thích thú và xem đó như là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề như trên các em đã tự ra đề được và có nhiều bài rất hay ...
 Cách đặt vấn đề cung như trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành 
đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7
Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
 a) ; b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:
Bài 3. a) Tìm x biết: 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Đáp án toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
 a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1
 b) 27 33 n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)
 = 
 = 
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
 a) Tìm x biết: 
 Ta có: x + 2 0 => x - 2.
 + Nếu x - thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn)
 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi
 + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)
 Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:
 x – y = (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
 Do đó: 
 => x = (giờ)
 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)
D
 B
A
 H
 I 
 F
 E
 M
 Đường thẳng AB cắt EI tại F
 ABM = DCM vì:
 AM = DM (gt), MB = MC (gt),
 = DMC (đđ) => BAM = CDM
 =>FB // ID => IDAC 
 Và FAI = CIA (so le trong) (1) 
 IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
 Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) 
 => IC = AC = AF (3) 
 và E FA = 1v (4) 
 Mặt khác EAF = BAH (đđ), 
 BAH = ACB ( cùng phụ ABC) 
 => EAF = ACB (5)
 Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB 
 =>AE = BC
BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Ba đơn vị kinh doanh gúp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiờu tiền nếu tổng số tiền lói là 350 000 000 đ và tiền lói được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đúng gúp.
Hai nền nhà hỡnh chữ nhật cú chiều dài bằng nhau. Nền nhà thứ nhất cú chiều rộng là 4 một, nền nhà thứ hai cú chiều rộng là 3,5 một. Để lỏt hết nền nhà thứ nhấtngười ta dựng 600 viờn gạch hoa hỡnh vuụng. Hỏi phải dựng bao nhiờu viờn gạch cựng loại để lỏt hết nền nhà thứ hai?
Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phõn bố ở cỏc khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi.
Ba đội mỏy san đất làm 3 khối lượng cụng việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành cụng việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày. Hỏi mỗi đội cú mấy mỏy, biết rằng đội thứ nhất cú nhiều hơn đội thứ hai là 2 mỏy và năng suất cỏc mỏy như nhau.
Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thỡ người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dựng bao nhiờu thời gian để hoàn thành một khối lượng cụng việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ?
Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh của một hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài của cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trờn 4 cạnh là 59s.
BÀI TẬP HèNH HỌC
Cho 2 gúc và kề bự. Ot và Ot’ lần lượt là phõn giỏc của hai gúc và từ điểm M bất kỳ trờn Ot hạ MH Ox ( HOx ). Trờn tia Oz lấy điểm N sao cho ON = MH. Đường vuụng gúc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K. Tớnh số đo gúc KM^O ?
Cho tam giỏc ABC cú B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cựa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE.
Cho tam giỏc ABC tia phõn giỏc của gúc B và gúc C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh rằng : DE = BD + EC.
Cho tam giỏc ABD cú =. Kẻ AH vuụng gúc với BD (H BD ) trờn tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh rằng : FH = FA = FD.
Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC) trờn tia đối của tia CA lấy điểm D bất kỳ .
Chứng minh rằng : = 2 + .
Giả sử = 300, = 900, hóy tớnh gúc CBD.
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHể
Tỡm x, y, biết :
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 0
 + = 0
Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4 100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viờn, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV là thành tớch của cả đội, thời gian chạy của đội nào càng ớt thỡ thành tớch càng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chú, mốo, gà, vịt cú vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển là ? giõy. Biết rằng vịt chạy hết 80 giõy?
Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món :
Đề số 31:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ):
1, Tớnh: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tớnh giỏ trị của A biết là số nguyờn õm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tỡm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trờn một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trờn đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trờn đoạn đường nào lớn hơn ? Tớnh tỉ số vận tốc của con thỏ trờn hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuụng gúc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đú.
2, Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
Đề số 32
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ):
Cho cỏc đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tớnh M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tớnh giỏ trị của M(x) khi x = 
3, Cú giỏ trị nào của x để M(x) = 0 khụng ?
Bài 2 (4đ):
1, Tỡm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tỡm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tỡm giỏ trị nguyờn của m và n để biểu thức
1, P = cú giỏ trị lớn nhất
2, Q = cú giỏ trị nguyờn nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giỏc ABC cú AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc trong của gúc A, cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tớnh AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cõn tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tớnh gúc ADB ?
Đề số 33:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ): Tớnh:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tớnh b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta cú hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đú tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 600. Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC tại D, tia phõn giỏc của gúc C cắt AB tại E. Cỏc tia phõn giỏc đú cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IEĐề số 34:
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5đ): 
1, Tỡm