Tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập Toán 9

Để quy đồng mẩu của phõn thức ta lấy “tử” và “mẩu”cựng nhõn với nhõn tử phụ của nú là (x – 1). Tức là: 
 Tương tự: 
b) Ta cú: 
 và: 
 MTC là: 	
 +) NTP của phõn thức là: 
+) NTP của phõn thức là: 
Và 
c) Tương tự.
Lưu ý: Trước khi quy đồng nếu phõn thức chưa tối giản, ta nờn tối giản rồi mới quy đồng
2) Cỏc phộp toỏn trờn phõn thức.
a) Phộp cộng và phộp trừ:
+) Cộng trừ hai phõn thức cựng mẩu: 
+) Cộng trừ hai phõn thức khỏc mẩu: 
b) Phộp nhõn: 
c) Phộp chia: 
3) Bài TOÁN rỳt gọn biểu thức.
a) Cỏch giải:
Bước 1. Tỡm ĐKXĐ của biểu thức đó cho.
Bước 2. Quy đồng mẩu thức cỏc phõn thức, rồi thực hiện cỏc phộp toỏn cộng, trừ, nhõn, chia cỏc phõn thức để đưa
 biểu thức đó cho về dạng đơn giản hơn.
b) Vớ dụ: Rỳt gọn biểu thức: A = 
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là: 
 ĐKXĐ của biểu thức là và .
Khi đú ta cú: A = 
B. Cỏc dạng toỏn liờn quan.
Dạng 1. Bài toỏn tỡm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bước 1. Sử dụng tớnh chất để làm mất mẩu của phương trỡnh.
Bước 2. Giải phương trỡnh vừa thu được để tỡm được x.
Bước 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lớ.
Vớ dụ 1: Cho A = (với x 0 và x 1). Tỡm cỏc giỏ trị của x để:
 a) A = 2. b) A = c) A = 
Giải: Ta cú: 
a) A = 2 
 x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thỡ A =2.
b) A = (Vụ nghiệm)
Vậy khụng cú giỏ trị nào của x để A = .
c) A = (TMĐK)
 Vậy với x = thỡ A = .
Chỳ ý: Trong trường hợp nếu bài toỏn chưa cho giỏ trị của P thỡ cỏc em cần dựa vào yờu cầu của nú để tỡm P rồi tiến hành giải như bỡnh thường.
+) 
 +) 
Vớ dụ 2: Cho P = (với x 0 và x 4). Tỡm cỏc giỏ trị của x để:
 a) . b) . c) .
Giải: 
a) Ta cú: 
Trường hợp 1. Với (Vụ nghiệm)
Trường hợp 2. Với (TM)
 Vậy với x = 25 thỡ .
b) Ta cú: 
Trường hợp 1. Với (Vụ nghiệm)
Trường hợp 2. Với (TM)
 Vậy với x = 64 thỡ .
b) Ta cú: 
Trường hợp 1. Với (Vụ nghiệm)
Trường hợp 2. Với 
 (TM)
 Vậy với x = 1 thỡ .
Dạng 2. Bài toỏn tỡm x để biểu thức P m, hoặc P m, hoặc P m (với m là hằng số)
Bước 1. Chuyển m sang vế trỏi, để vế phải bằng 0.
Bước 2. Quy đồng mẩu thức cỏc phõn thức rồi làm gọn vế trỏi.
Bước 3. Xỏc định dấu của tử hoặc mẩu của vế trỏi, từ đú cú được một bất phương trỡnh đơn giản (khụng chứa mẩu).
Bước 3. Giải bất phương trỡnh trờn để tỡm được x.
 Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lớ.
Vớ dụ: Cho A = (với x 0). Tỡm cỏc giỏ trị của x để:
a) A > . b) A < c) A .
Giải: Ta cú: 
a) A > 
 (vỡ )
 (TMĐK)
 Vậy với x > 4 thỡ A > .
b) A < 
 (vỡ )
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta được 0 x <.
 Vậy với 0 x < thỡ A < .
c) A 
 (vỡ ) 
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta được 0 x 9.
 Vậy với 0 x 9 thỡ A .
Chỳ ý: +) .
 +) .
 +) .
 +) .
 +) .
Vớ dụ 2. Cho biểu thức: P = (với và ). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để:
a) . b) . c) . d) 
Giải:
Ta cú: .
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta được: .
Vậy với thỡ .
 Ta cú: (thoả món ĐKXĐ)
Vậy với x > 1 thỡ .
Ta cú: .
.
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta được: .
Vậy với thỡ .
Ta cú: .
 (khụng tồn tại x)
Vậy khụng cú giỏ trị nào của x để .
Dạng 3. Bài toỏn so sỏnh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bước 1. Tớnh P – m = ?
Bước 2. Nhận xột dấu của hiệu P – m để cú kết quả so sỏnh.
 +) Nếu P – m > 0 thỡ P > m.
 +) Nếu P – m < 0 thỡ P < m.
 +) Nếu P – m = 0 thỡ P = m.
Vớ dụ: Cho P = (với x > 0). Hóy so sỏnh P với 1.
Giải: Ta cú: P – 1 = 
 Vỡ < 0 P – 1 < 0 P < 1.
Dạng 4. Bài toỏn Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giỏ trị của x thuộc ĐKXĐ.
Bước 1. Tớnh P – m = ?
Bước 2. Nhận xột dấu của hiệu P – m để cú điều phải chứng minh.
 +) Nếu P – m > 0 thỡ P > m.
 +) Nếu P – m < 0 thỡ P < m.
 +) Nếu P – m = 0 thỡ P = m.
Vớ dụ: Cho P = (với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giỏ trị của x > 0.
Giải: Ta cú: P – 1 = 
Vỡ với x > 0 thỡ > 0 > 0 P – 1 > 0 P > 1. (đpcm)
Dạng 5. Bài toỏn tỡm x để biểu thức P nhận giỏ trị nguyờn (nguyờn dương)
LOẠI I. Bài toỏn tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức P nhận giỏ trị nguyờn.
Cỏch giải:
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: 
 P = m ( Với m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bước 2. Biện luận:
 Vỡ m Z nờn để P nguyờn thỡ phải nguyờn, mà nguyờn thỡ “f(x) phải là ước của n”.
Bước 3. Giải cỏc phương trỡnh: f(x) = Ư(n) để tỡm được x. 
Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lớ.
Vớ dụ 1: Cho P = (với x 0 và x 1). Tỡm cỏc giỏ trị của x để P nhận giỏ trị nguyờn.
Giải: Ta cú: P = 
Để P nhận giỏ trị nguyờn thỡ phải nhận giỏ trị nguyờn, mà nguyờn thỡ phải là ước của 3.
 Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thỡ P nhận giỏ trị nguyờn.
Vớ dụ 2: Cho M = (với x 0 và x 4). Tỡm cỏc giỏ trị của x để M nhận giỏ trị nguyờn dương.
Giải: Ta cú: M = 
 Để P nhận giỏ trị nguyờn thỡ phải nhận giỏ trị guyờn, mà nguyờn thỡ phải là ước của 2.
 Với x = 9 thỡ M = > 0 (TM)
 Với x = 1 thỡ M = (loại)
 Với x = 16 thỡ M = > 0 (TM)
 Với x = 0 thỡ M = (loại)
 Vậy với x = 9 và x = 16 thỡ M nhận giỏ trị nguyờn dương.
LOẠI II. Bài toỏn tỡm cỏc giỏ trị của x (x bất kỡ) để biểu thức P nhận giỏ trị nguyờn.
Cỏch giải:
Bước 1. Nhõn chộo để đưa biểu thức P về dạng một phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y và tham số P.
Bước 2. Tỡm P để phương trỡnh bậc hai trờn cú nghiệm.
Bước 3. Chọn cỏc giỏ trị P nguyờn trong cỏc giỏ trị P vừa tỡm ở bước 2.
Bước 4. Thay P vừa tỡm được vào biểu thức đó cho để tỡm được x.
Bước 5. Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lớ.
Vớ dụ: Cho biểu thức P = (với x 0)
Giải: Ta cú : P = (1)
Đặt: (ĐK: ) khi đú phương trỡnh (1) trở thành: (2)
Phương trỡnh (2) cú nghiệm 
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Để biểu thức P nhận giỏ trị nguyờn thỡ .
Mặt khỏc: Với x 0 thỡ P = nờn ta cú 
Với P = 0 (TMĐK)
Với P = 1 (TMĐK)
Với P = 2 (TMĐK)
Với P = 3 (TMĐK)
Vậy với x = 0, x = 1, x = , x = thỡ biểu thức P nhận giỏ trị nguyờn.
Dạng 6. Bài toỏn tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khỏi niệm: 
+) Nếu P(x) m (m là hằng số) thỡ m gọi là giỏ trị nhỏ nhất của P(x).
+) Nếu P(x) k (k là hằng số) thỡ k gọi là giỏ trị lớn nhất của P(x).
b) Cỏch giải:
LOẠI . Trường hợp phõn thức cú dạng .
 Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: 
 P = m + (m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x)
 Bước 2. Biện luận:
 Trường hợp 1. “n > 0”.
 +) P đạt giỏ trị lớn nhất khi f(x) đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 +) P đạt giỏ trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giỏ trị lớn nhất.
 (Vỡ: Để P đạt giỏ trị lớn nhất thỡ phải đạt giỏ trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 Cũn để P đạt giỏ trị nhỏ nhất thỡ phải đạt giỏ trị nhỏ nhất tức là f(x) phải đạt giỏ trị lớn nhất).
 Trường hợp 2. “n < 0”.
 +) P đạt giỏ trị lớn nhất khi f(x) đạt giỏ trị lớn nhất.
 +) P đạt giỏ trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 Bước 3. Tiến hành tỡm giỏ trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để cú được giỏ trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P. 
 Bước 4. Tỡm điều kiện để xảy ra dấu “=”. 
 Bước 5. Kết luận.
Vớ dụ 1: Cho P = (với x 0). Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
Giải: Ta cú: P = 
 Ta thấy: Vỡ ở đõy n = 2 > 0 nờn: Để P đạt giỏ trị nhỏ nhất thỡ phải đạt giỏ trị lớn nhất.
 Vỡ: 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
 Giỏ trị nhỏ nhất của là 1
 Giỏ trị lớn nhất của P là: .
Vậy: Giỏ trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x = 0.
Vớ dụ 2: Cho M = (với x 0). Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M.
Giải: Ta cú: M = 
Ta thấy: Vỡ ở đõy n = - 2 < 0 nờn: Để M đạt giỏ trị nhỏ nhất thỡ phải đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 Vỡ: 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
 Giỏ trị nhỏ nhất của là 2.
 Giỏ trị lớn nhất của M là: 
 Vậy: Giỏ trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi x = 0.
LOẠI II. Trường hợp phõn thức cú dạng .
 Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: 
 P = ( là biểu thức chứa biến x và ) 
 Bước 2. Áp dụng bất đẳng thức Cụ - sy cho hai số dương và rồi từ đú tỡm được giỏ trị lớn nhất hoặc giỏ trị nhỏ 
 nhất của biểu thức P.
 Bước 3. Tỡm điều kiện để xảy ra dấu “=”. 
 Bước 4. Kết luận.
Vớ dụ 1: Cho A = (với x 0). Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A.
Giải: Ta cú: A = 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ - sy cho hai số dương và ta được:
 A . 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Vậy: Giỏ trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 1.
Vớ dụ 2: Cho B = (với x 0). Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của B.
Giải: Ta cú: A = 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ - sy cho hai số dương và ta được:
 A . 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Vậy: Giỏ trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi x = 4.
Dạng 7. Phương trỡnh dạng ax + b + c = 0 (1) (a, b, c là cỏc số cho trước và a 0) 
a) Cỏch giải: 
 Bước 1. Đặt = y (*) (ĐK: y 0)
 Để đưa phương trỡnh (1) về dạng phương trỡnh bậc hai cú ẩn là y.
 a.y2 + b.y + c = 0 (2)
 Bước 2. Giải phương trỡnh (2) để tỡm được y.
 Bước 3. Thay y vừa tỡm được vào hệ thức (*) để tỡm được x.
 b) Chỳ ý: 
+) Để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) phải cú hai nghiệm phõn biệt khụng õm. 
 Tức là: Phương trỡnh (2) phải cú: 
 +) Để phương trỡnh (1) cú 1 nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) phải cú hai nghiệm trỏi dấu, hoặc phương trỡnh (2) phải cú nghiệm kộp khụng õm, hoặc phương trỡnh (2) phải cú một nghiệm õm và một nghiệm bằng khụng.
 Tức là: Phương trỡnh (2) phải cú (3 trường hợp): 
 Trường hợp 1. Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm trỏi dấu a.c < 0
 Trường hợp 2. Phương trỡnh (2) cú nghiệm kộp khụng õm 
 Trường hợp 3. Phương trỡnh (2) cú một nghiệm õm và một nghiệm bằng 0 
Vớ dụ: Cho phương trỡnh: x – 2(m – 1) + 1 – 2m = 0 (1) (với m là tham số)
Giải phương trỡnh khi m = .
Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh (1) cú:
 1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm.
 Giải: 
 Đặt = y (*) (ĐK: y 0)
 Khi đú phương trỡnh (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0 (2)
a) Khi m = thỡ phương trỡnh (2) trở thành: y2 + y = 0 y(y + 1) = 0 
 Với y = 0 thỡ = 0 x = 0
Vậy khi m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x = 0.
b) Ta cú: a = 1, b = –2.(m – 1), c = 1 – 2m, b’ = –(m – 1) = 1 – m.
 1) Để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) phải cú:
 (Khụng tồn tại m)
Vậy khụng cú giỏ trị nào của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm.
 2) Để phương trỡnh (1) cú một nghiệm thỡ phương trỡnh (2) phải cú hai nghiệm trỏi dấu hoặc phương trỡnh (2) phải cú nghiệm kộp khụng õm, hoặc phương trỡnh (2) phải cú một nghiệm õm và một nghiệm bằng 0.
Trường hợp 1. Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm trỏi dấu: a.c 
Trường hợp 2. Phương trỡnh (2) cú nghiệm kộp khụng õm (Khụng tồn tại m)
Trường hợp 3. Phương trỡnh (2) cú một nghiệm õm và một nghiệm bằng khụng:
Kết hợp cả 3 trường hợp trờn ta được m 0. 
Vậy với m 0 thỡ phương trỡnh (1) sẽ cú một nghiệm. 
C. BÀI TẬP.
Bài 1. Cho biểu thức A = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn A. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A > 0. 
c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = A. khi x > 1.
Bài 2. Cho biểu thức B = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn B. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để biểu thức B nhận 
giỏ trị õm. 
c) Tỡm cỏc giỏ trị của x thoả món điều kiện B = .
Bài 3. Cho biểu thức C = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn C. b) Tớnh giỏ trị của biểu thức C khi a = 
c) Tỡm cỏc giỏ trị của a thoả món điều kiện > 2. 
Bài 4. Cho biểu thức D = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn D. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để D nhận giỏ trị nguyờn.
c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
Bài 5. Cho biểu thức E = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn E. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để E nhận giỏ trị nguyờn.
c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
Bài 6. Cho biểu thức F =
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn F. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để = 1. c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = .
Bài 7. Cho biểu thức P = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn P. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để . c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bài 8. Cho biểu thức Q = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn Q. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để Q = .
c) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức N = nhận giỏ trị nguyờn dương.
Bài 9. Cho biểu thức S = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn S. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để S2 = S. c) So sỏnh S với 1.
Bài 10. Cho biểu thức: H = 
 a) Tỡm tập xỏc định và rỳt gọn H. b) Tớnh giỏ trị của H khi x = 4 + 2. c) So sỏnh H với 3 + 1.
Bài 11. (2 điểm) Cho biểu thức P = 
Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P. b) Tỡm x để P > 0.
Bài 12. (3 điểm). Cho biểu thức A = 
Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A < 0.
c) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh A = m – cú nghiệm.
Bài 13. (3 điểm). Cho biểu thức P = 
Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức P. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P = .
c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = 
Bài 14. (2 điểm) Cho biểu thức A = 
Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn A. b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = .
 c) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để A < 1.
Bài 15. Cho biểu thức : A = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn A. b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = 3 – 2.
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để x.A = .
Bài 16. Cho biểu thức : B = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn B. b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = 4 + 2. c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để B = 1.
Bài 17. ( ) Cho biểu thức : C = (Với a > 0 và a 4)
a) Rỳt gọn C . b) Tớnh giỏ trị của C với a = 9
Bài 18. Cho biểu thức : D = ,
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn D. b) Tỡm số nguyờn x lớn nhất để D cú giỏ trị nguyờn.
Bài 19. ( ) Cho biểu thức : N = 
a) Rỳt gọn biểu thức N . b) Tớnh giỏ trị của N khi x = 7 + 4
c) Với giỏ trị nào của x thỡ N đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. 
Bài 20. () Cho biểu thức : H = 
a) Tỡm ĐKXĐ và Rỳt gọn biểu thức H. 
b) Với những giỏ trị nguyờn nào của a thỡ biểu thức H nhận giỏ trị nguyờn .
Bài 21. ( ) Cho biểu thức: Q = 
Rỳt gọn biểu thức Q . b) Tớnh giỏ trị của khi x = 4 + 2
Bài 22. Cho biểu thức: D = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn D. b) Chứng minh rằng D < 1 với mọi giỏ trị của x 
Bài 23. Cho biểu thức: C = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn C. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để C = .
Bài 24. Cho biểu thức : F = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn F. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức F – nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 25. Cho biểu thức: P = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn P. b) Tỡm a biết P > . c) Tỡm a biết P = .
Bài 26. Cho biểu thức: M = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn M. b) Tỡm x để M < 1. 
 c) Tỡm x để biểu thức M đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
Bài 27. (2 điểm) Cho biểu thức: M = (với x 0 và x 1)
a) Rỳt gọn biểu thức M. b) Tỡm x để M ≥ 2.
Bài 28. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm x để P = 3x – 3.
c) Tỡm cỏc giỏ trị của a để cú x thoả món điều kiện: P.
Bài 29. Cho biểu thức: A = 
a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P. b) So sỏnh A với 1.
c) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn dương.
d) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh A.x = m cú một nghiệm.
Bài 30. Cho biểu thức: M = 
 a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn M. b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giỏ trị của x thuộc tập xỏc định.
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để: M. < 2. d) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh M = 2m cú hai nghiệm.
Bài 31. Cho biểu thức: P = 
 a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P. b) Chứng minh rằng P < với mọi giỏ trị của x thuộc tập xỏc định.
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh m.P = 1 cú 1 nghiệm.
Bài 32. (3 điểm) Cho biểu thức: E = 
Tỡm điều kiện của x để biểu thức E cú nghĩa . c) Rỳt gọn biểu thức E.
c) Giải phương trỡnh A = 2 theo ẩn x. 
Bài 33. Cho biểu thức: F = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn F. b) Tỡm giỏ trị của x để: 
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để F2 = 40F. 
Bài 34. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P > 0. c) Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của .
 d) Tỡm giỏ trị của m để cú giỏ trị x > 1 thoả món: m(– 3).P = 12m – 4
Bài 35. (3 điểm) Cho biểu thức: M = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức M. b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M.
Bài 36. (2 điểm) Cho biểu thức : A = 
	a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức A . 
	b) Chứng minh rằng biểu thức A luụn nhận giỏ trị dương với mọi a thuộc ĐKXĐ. 
Bài 37. Cho biểu thức: B = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn B. b) Cho . Hóy tớnh giỏ trị của B.
Bài 38. Cho biểu thức: E = 
a) Rỳt gọn E. b) Tỡm a để: .
Bài 39. Cho biểu thức: Q = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn Q. b) Tớnh giỏ trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2.
c) Chứng minh rằng: Q 1 với mọi giỏ trị của x thoả món điều kiện x 0 và x 1.
Bài 40. (2 điểm) Cho biểu thức: N = (với a, b > 0 và a b). 
a) Rỳt gọn biểu thức N. b) Tớnh giỏ trị của N khi: và .
Bài 41. : Cho biểu thức H = 
a) Rỳt gọn M. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để M < 1. c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của M. 
Bài 42. Cho biểu thức P = 	
 a) Rỳt gọn P. b) So sỏnh P với biểu thức Q = .
Bài 43. Cho biểu thức A = 
a) Rỳt gọn A. b) So sỏnh A với 1.
Bài 44. : Cho biểu thức A = 
a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A = c) Chứng tỏ A là bất đẳng thức sai.
Bài 45. Cho biểu thức P = 
	a) Rỳt gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1. 	c) Tớnh giỏ trị của P, biết .
	d) Tỡm cỏc giỏ trị của x để: .P .
Bài 46. : Cho biểu thức P = 
	a) Rỳt gọn P. b) Xỏc định giỏ trị của x để (x + 1).P = x – 1.
	c) Biết Q = . Tỡm x để Q đạt giỏ trị lớn nhất.
Bài 47. Cho biểu thức P = 
	a) Rỳt gọn P. 	b) Tỡm m để phương trỡnh P = m – 1 cú nghiệm x, y thoả món .
Bài 48. Cho biểu thức P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = P.
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của m để mọi x > 2 thoả món điều kiện: P..
Bài 49. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm x để P < 1.
c) Tỡm x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
Bài 50. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm x để: .
Bài 51. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P	.	b) Tỡm x để P < .
Bài 52. Cho biểu thức: P = 
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn P.
b) Tỡm cỏc giỏ trị x nguyờn để P nguyờn ; c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P = .
Bài 53. Cho biểu thức P = 
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P < 1. c) Tỡm x Z để P Z.
Bài 54. 1) Cho biểu thức: M = 
 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức M. c) Tớnh giỏ trị của M tại a = .
	 2) Tớnh : 
Bài 55. Cho biểu thức: N = 
a) Rỳt gọn biểu thức N. b) Tỡm giỏ trị của a để N = - 2010.
D. ĐÁP SỐ.
Bài 1. a) ĐKXĐ: x > 0 và x. Kết quả rỳt gọn: A = 
b) A > 0 
c) M = A. 
Vỡ khi x > 1 thỡ nờn ỏp dụng BĐT Cụ-sy Cho 2 số dương và ta được:
 + M 4
Dấu “=” xảy ra khi = 
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt được khi x = 4.
Bài 2.a) ĐKXĐ: x 0 ; x và x. Kết quả rỳt gọn: B = 
b) B nhận giỏ trị õm 
Kết hợp với ĐKXĐ ta được và x 
c) B = 
(TMĐK)
Bài 3. a) ĐKXĐ: a > 0 . Kết quả rỳt gọn: C = 
b) Khi a = thỡ C = 36 
c) 
. Kết hợp với ĐKXĐ ta được: .
Bài 4. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: D = 
b) Ta cú D nguyờn khi phải là ước của 2 .
c) (TMĐKXĐ)
Bài 5. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: E = 
b) Ta cú E = . E nguyờn khi nguyờn phải là ước của 1 .
c).Kết hợp với ĐKXĐ ta được 
Bài 6. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: F = 
b) Vỡ F = 
 F = 1
 (TMĐKXĐ)
c) M = 
Áp dụng BĐT Cụ - Sy cho 2 số dương và ta được: 
Dấu “=” xảy ra khi = 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M là 0 đạt được khi x = 0.
Bài 7. a) ĐKXĐ: x và x 1.Kết quả rỳt gọn: P 
b) . Kết hợp với ĐKXĐ ta được: .
c) P . Do (-2) < 0 nờn P đạt giỏ trị nhỏ nhất đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
Vỡ .Dấu “=” xảy ra khi x = 0Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được khi x = 0.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là (-1), đạt được khi x = 0.
Bài 8. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: Q = 
b) Ta cú Q = .
c) N = . N nguyờn khi nguyờn phải là ước của 3 (TMĐK). Với x = 4 thỡ N = 3 (thoả món), Với x = 16 thỡ N = 1 (thoả món) 
Bài 9. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: S = 
b) Ta cú: 
TH1. S = 0 (loại)
TH2. S = 
c) S – 1 = 
Bài 10. a) ĐKXĐ: x 0 và x . Kết quả rỳt gọn: S = 
b) Thay vào biểu thức H ta được H = 
c) H – = 
Bài 11. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: P = 
b) Thay . Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 < x < 1.
Bài 12. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rỳt gọn: A = 
b) . Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 < x < 1.
c) (1)
Đặt (ĐK: y > 0 và y ). Khi đú phương trỡnh (1) trở thành: (2)
Để phương trỡnh (1) cú nghiệm thỡ phương trỡnh (2) phải cú nghiệm dương khỏc 1.
TH1. Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm phõn biệt đều dương khỏc 1 (VN)
TH2. Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm trỏi dấu khỏc 1 
TH3. Phương trỡnh (2) nghiệm kộp dương khỏc 1 (VN)
TH4. Phương trỡnh (2) cú một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương k