Tổng hợp các bài toán hay về số hữu tỉ

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI RÈN KĨ NĂNG TÍNH TOÁN
a. 
−4
15
+ 0, 25 b.  2, 5 −
−3
7
c. 
−7
8
: 1
2
5
d.  0, 15 ⋅
−20
17
a. 
11
12
−
2
5
+ x =
2
3
⋅ b.  x :
1
9
−
2
5
=
−1
2
⋅
c.  x −
1
5
⋅ 1
3
5
+ 2x = 0.
CÁC BÀI RÈN KĨ NĂNG TÍNH TOÁN
I. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. Tính
Xem lời giải tại:
2. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
3. Tính hợp lý các phép tính sau:
a.  A =
−3
4
+
2
5
:
3
7
+
3
5
+
−1
4
:
3
7
⋅
b.  B = 2
5
23
+
7
19
−
5
23
+
12
19
+
1
2
⋅
Xem lời giải tại:
4. Tìm thương trong phép chia số hữu tỉ âm nhỏ nhất viết bởi ba chữ số 1 cho số
hữu tỉ âm lớn nhất viết bởi ba chữ số 1.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Xem lời giải tại:
5. Cho x =
1
2
− 3, 6
2
3
− 1, 5
; y = 1 −
2
3
−
5
2
; z =
3
5
+
2
3
− 1
1 −
2
3
+
2
5
Tính các biểu thức A =
x
y
; B =
z
x
⋅
Xem lời giải tại:
6. Có bao nhiêu số hữu tỉ có tử số bằng 9, lớn hơn 
−3
5
 và nhỏ hơn 
−4
9
?
Xem lời giải tại:
7. Tìm phân số lớn hơn 
5
4
 và tử số lớn hơn mẫu số 7 đơn vị.
Xem lời giải tại:
8. Tìm x ∈ Q biết : 
−2
5
+
5
6
x =
−4
15
.
Xem lời giải tại:
9. Thực hiện các phép tính sau:
a. 
−3
5
+
5
11
:
−3
7
+
−2
5
+
6
11
:
−3
7( ) ( ) ( ) ( )
a. 
1
2
−
3
8
+
−5
4
. b. 
5
8
+
14
5
+
−3
8
+
13
7
−
−9
5
c.  2.
−3
2
2
−
7
2
d. 
2
3
3
:
8
27
3
.
a.  2.4.16.32.23
b.  4.25 : 23.
1
16
c. 
22.4.32
22.25
a.  |x − 3, 5| = 7, 5.
b. 
4
7
4
. x =
4
7
6
.
c.  3x+1 = 32.
b. 
−2
5
+
1
4
:
−7
101
.
55
17
−
4
7
.
2
3
. 1 −
5
13
:
5
13
.
Xem lời giải tại:
10. Tính:
Xem lời giải tại:
11. Tính giá trị biểu thức:
A = 2x2 − 5x + 1 biết |x| =
1
3
Xem lời giải tại:
12. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa an,với a  ∈  Q, n  ∈  N
Xem lời giải tại:
13. Tìm x, biết:
( ) ( ) ( )
| | | | | |
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a.  (2x − 3)2 = 16 b.  2.3x+2 + 4.3x+1 = 10.36
a.  4x + 4x+3 = 4160 b.  2x−1 + 5.2x−2 = 224
a. 
x
15
=
8
24
. b. 
36
x
=
54
3
.
c.  3
1
2
: 0, 4 = x : 1
1
7
.
d.  1, 56: 2, 88 = 2, 6 : x.
a. 
x
6
=
8
3
. b. 
−3
x
=
15
7
.
c. 
x − 1
3
=
x + 3
5
. d. 
3
7
=
2x + 1
3x + 5
.
Xem lời giải tại:
14. Tìm x  ∈  Q
Xem lời giải tại:
15. Tính:
a.  −
1
3
2
+ −
2
5
3
.125 − −
23
6
0
.
b.  −
2
3
3
− ( − 1)2014 + −
236
101
0
.
Xem lời giải tại:
16. Tìm số tự nhiên x biết:
Xem lời giải tại:
17. Tìm số hạng chưa biết của tỷ lệ thức sau:
Xem lời giải tại:
18. Tìm x biết
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a. 
3x + 2
5x + 7
=
3x − 1
5x + 1
. b. 
x + 1
2x + 1
=
0, 5x + 2
x + 3
.
a. 
a
3
=
b
5
 và a + b = 24 b. 
a
2
=
b
3
 và 5a − 2b = 12
Xem lời giải tại:
19. Tìm x từ tỷ lệ thức sau:
Xem lời giải tại:
20. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 180 cây. Tính số cây trồng của mỗi lớp, biết
rằng số cây trồng của các lớp đó theo thứ tự tỷ lệ với 3, 4, 5
Xem lời giải tại:
21. Tìm chu vi của một hình chữ nhật biết rằng hai cạnh của nó tỷ lệ với 2; 5 và
chiều dài hơn chiều rộng 12m. 
Xem lời giải tại:
22. Hai bạn Thông và Minh ra cửa hàng mua cùng một loại vở. Minh mua 10
quyển vở và Thông mua 8 quyển vở. Vì vậy Minh phải trả một số tiền nhiều hơn
thông là 9 ngàn đồng. Tính xem mỗi bạn phải trả bao nhiêu tiền?
Xem lời giải tại:
23. Số học sinh của các khối 6, 7, 8, 9 của một trường trung học cơ sở tỷ lệ với
các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh của khối 8 và khối 9 ít hơn số học sinh của
khối 7 và khối 6 là 120 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Xem lời giải tại:
24. Tìm a; b biết:
Xem lời giải tại:
25. Tìm a; b; c biết:
a. 
a
2
=
b
3
=
c
4
 và a + b − c = 3
b.  a : b : c = 2: 5 : 7 và 3a + 2b − c = 27
Xem lời giải tại:
26. Lớp 7A có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 9 bạn. Biết số học
sinh nam và số học sinh nữ tỉ lệ với 3 và 2. Tính số học sinh lớp 7A.
Xem lời giải tại:
27. Hãy chia tấm vải dài 100m thành bốn phần lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5; 8.
Xem lời giải tại:
28. Tính diện tích hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh là 
2
5
 và chu vi hình chữ nhật
là 28m.
Xem lời giải tại:
29. Tìm x; y; z biết: 
x
3
=
y
4
;
y
3
=
z
5
 và 2x − 3y + z = 6
Xem lời giải tại:
30. Tìm x; y biết: 
x
7
=
y
13
 và 2x + y = 54.
a.  √4.25 và √4. √25 b.  √9.16 và √9. √16
a. 
|x|
x
= 1 b.  |x − 2| = − √(x − 2)2
Xem lời giải tại:
31. Hãy tìm các căn bậc hai của
25; 52; 0, 09;
1
64
;
−4
9
;
x2
4
(x > 0).
Xem lời giải tại:
32. Tính giá trị của biểu thức:
a.  √49 + √( − 5)2 − 5√1, 44 + 3
4
9
.
b.  (2√3)2 − (3√2)2 + (4.√0, 5)2 − (
1
5
. √125)2.
Xem lời giải tại:
33. Tính rồi so sánh:
Xem lời giải tại:
34. Thực hiện phép tính:
A = (√6, 25 − 5.√0, 49) 19.
36
361
− 17.
81
289
.
Xem lời giải tại:
35. Tìm x biết:
√
( √ √ )
a.  7(x − 1) + 2x(1 − x) = 0
b. 
3
4
+
1
4
: x =
2
5
Xem lời giải tại:
36. Tìm x biết:
a.  2
1
3
+ 3
1
2
: x + 3
1
7
+ 7
1
2
= 1
69
86
.
b.  3x +
1
2
= 3.
Xem lời giải tại:
37. So sánh các số thực:
a.  √17 + √5 + 1 và √45
b.  A = √20 + 1 + √40 + 2 + √60 + 3 và 
B = (√1 + √2 + √3) + (√20 + √40 + √60).
Xem lời giải tại:
38. Tính giá trị biểu thức:
a.  A =
−5
9
.
3
11
+
−13
18
.
3
11
b.  B =
3
4
−
3
5
+
3
7
+
3
11
13
4
−
13
5
+
13
7
+
13
11
Xem lời giải tại:
39. Tìm x biết:
( ) ( )
√
( ) ( )
Xem lời giải tại:
40. Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
a.  A =
3
7
−
3
17
+
3
37
5
7
−
5
17
+
5
37
+
1
2
−
1
3
+
1
4
−
1
5
7
5
−
7
4
+
7
3
−
7
2
b.  B =
2
39
−
1
15
−
2
153
1
34
+
3
20
−
3
26
:
1 +
2
71
−
5
121
65
121
−
26
71
− 13
Xem lời giải tại:
41. Tìm số hữu tỉ x biết:
a. 
x + 2015
2
+
2x + 4030
7
=
x + 2015
5
+
x + 2015
6
b. 
x − 100
24
+
x − 98
26
+
x − 96
28
= 3
Xem lời giải tại:
42. Thực hiện phép tính:
a.  1, 4.
15
72
+
4
5
+
2
3
.
−5
11
b.  − 2
1
4
+ − 3
1
9
+
2
9
: − 2
8
9
c.  −
3
5
2
+
−41445
82885
+ 2519 : 12512 +
1
32
Xem lời giải tại:
( )
| | | | ( )
( )
a.  x +
4
7
=
1
2
b.  x −
1
2
= − 3
1
5
c.  x. ( − 0, 7) = 21, 7
d.  x :
4
7
=
−21
64
43. Tìm x:
Xem lời giải tại:
44. Tính:
a.  A =
11
25
+ 1 − √20.
1
80
−
1
3√10
+
1
6
b.  B = 2
0, 01
1, 21
+ 3.
2
√102 + 22 + 40
−
3
4
Xem lời giải tại:
45. Có 54 tờ tiền gồm ba loại 500 đồng, 2000 đồng và 5000 đồng. Trị giá mỗi
loại tiền đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Xem lời giải tại:
46. Ba lớp 7A, 7B, 7C có 117 bạn đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi bạn học sinh
lớp 7A, 7B, 7C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây và số cây mỗi lớp trồng được
là như nhau. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây?
Xem lời giải tại:
47. Tìm các số x; y; z biết rằng:
a. 
x
3
=
y
4
=
z
5
 và 2x + 3y + 5z = 129
b. 
x
3
=
y
4
;
y
6
=
z
8
 và 3x − 2y − z = 13
√ (√ )
√
a.  Tính x − y b.  Tính x + y
c.  Tính x. y d.  Tính x : y
c. 
x
2
=
y
3
=
z
4
 và xy + yz + zx = 104
Xem lời giải tại:
48. Tính:
a.  A =
1
3
−
5
2
3
4
−
1
2
.
5
6
+
7
3
1 −
5
6
.
−2
5
+ 1
2
5
− 1
b.  B =
1
3
−
4
5
1
3
+
4
5
.
3
4
−
5
3
3
4
+
5
3
:
4
5
− 1
1 −
2
3
Xem lời giải tại:
49. Tìm các số nguyên x, y, z biết  x −
1
5
y +
1
2
(z − 3) = 0 và 
x − 3 = y − 2 = z − 1
Xem lời giải tại:
50. Cho x =
1 −
2
3
− 2 +
1
4
1 −
3
4
+
1
6
; y =
1 −
1
1 +
4
3
2 +
1
3
−
3
7
Xem lời giải tại:
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
( )( )
( )( )
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
51. Tính nhanh: P =
−7
4
⋅
33
12
+
3333
2020
+
333333
303030
+
33333333
42424242
⋅
Xem lời giải tại:
52. Tính: A = −
1
2003.2002
−
1
2002.2001
−
1
2001.2000
− . . . −
1
3.2
−
1
2.1
.
Xem lời giải tại:
53. Biết rằng 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385,  hãy tính tổng: 
S = 1002 + 2002 + 3002 + . . . + 10002.
Xem lời giải tại:
54. Tìm x; y biết: 
1 + 2y
18
=
1 + 4y
24
=
1 + 6y
6x
Xem lời giải tại:
55. Tìm x; y biết: 
x
2
=
y
5
 và x. y = 40
Xem lời giải tại:
56. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
( )
 Xem lời giải tại:
57. Tìm các giá trị nguyên của x để 
√x + 1
√x − 3
 là số nguyên.
Xem lời giải tại:
58. Tính:
a.  A =
2.2306
1 +
1
1 + 2
+
1
1 + 2 + 3
+ . . . +
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2306
b.  B =
1
2
− 1
1
3
− 1
1
4
− 1 . . .
1
2014
− 1
1
2015
− 1
Xem lời giải tại:
59. Tính:
A = 1 −
1
1 + 2
. 1 −
1
1 + 2 + 3
. . . 1 −
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2015
Xem lời giải tại:
60. Một ô tô đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được 
1
2
 quãng
đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 %, do đó đến B sớm hơn được 10 phút. Hỏi ô
tô đi từ A đến B hết bao nhiêu phút?
Xem lời giải tại:
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
61. Tính: P =
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
2015
2014
1
+
2013
2
+
2012
3
+ . . . +
1
2014
Xem lời giải tại:
62. Tính:
a.  S =
2
1.3
+
2
3.5
+
2
5.7
+ . . . +
2
99.101
b.  P =
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+ . . . +
1
98.99.100
Xem lời giải tại:
63. Tính:
a. 
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
99.100
b. 
1
4.9
+
1
9.14
+
1
14.19
+ . . . +
1
44.49
1 − 3 − 5 − 7 − . . . − 49
89
Xem lời giải tại:
CÁC BÀI RÈN KĨ NĂNG TƯ DUY, SUY
( )( )
a.  x −
3
2
(2x + 1) > 0. b.  (2 − x)
4
5
− x < 0.
a. 
−15
17
 và 
−19
21
b. 
−13
19
 và 
19
−23
a. 
−23
49
 và 
−25
47
b.  −
317
633
 và −
371
743
c. 
−24
35
 và 
−19
30
.
CÁC BÀI RÈN KĨ NĂNG TƯ DUY, SUY
LUẬN
I. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
64. Tìm x ∈ Q, biết
Xem lời giải tại:
65. So sánh hai số hữu tỉ sau:
Xem lời giải tại:
66. So sánh các số hữu tỉ sau:
Xem lời giải tại:
67. Cho các số hữu tỉ: x1 =
−20
97
; x2 =
−2020
9797
, x3 =
−202020
979797
.
a.  So sánh các số hữu tỉ trên.
b.  Viết tập hợp các số hữu tỉ bằng các số hữu tỉ trên.
Xem lời giải tại:
( ) ( )
a.  224 và 316 b.  1512 và 813.1255
68. Tìm số nguyên x thỏa mãn: 
7
3
<
x
15
<
13
5
.
Xem lời giải tại:
69. Giả sử x =
a
m
, y =
b
m
 với x < y ; a, b, m là số tự nhiên, m ≠ 0 ).
Chứng minh rằng nếu chọn z =
a + b
2m
 thì ta có: x < z < y .
Xem lời giải tại:
70. Tìm số nguyên x biết: 
1
3
<
9
x
<
1
2
.
Xem lời giải tại:
71. So sánh
Xem lời giải tại:
72. Tìm các số n nguyên dương biết
a.  32 < 2n < 128.
b.  25 < 3n < 250.
Xem lời giải tại:
73. So sánh 291 và 535. 
Xem lời giải tại:
a. 
a
a + b
=
c
c + d
b. 
a + b
a − b
=
c + d
c − d
a.  Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b.  Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
74. Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n150 < 5225.
Xem lời giải tại:
75. Cho 
a
b
=
c
d
 (a; b; c; d  ≠  0). Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
76. Chứng minh rằng a2 = bc khi và chỉ khi 
a + b
a − b
=
c + a
c − a
.
Xem lời giải tại:
77. Cho tỉ lệ thức 
¯
ab
a + b
=
¯
bc
b + c
.  Chứng minh 
a
b
=
b
c
 với giả thiết b, c ≠ 0.
Xem lời giải tại:
78. Cho biểu thức A = 2016 + √2015 − x.
Xem lời giải tại:
79. Có hay không có giá trị của x thỏa mãn điều kiện sau: 
2015.√(1 + x)2 + 2016.√(1 − x)2 = 0.
a. 
ac
bd
=
a2 + c2
b2 + d2
  b. 
ac
bd
=
(a + c)2
(b + d)2
c. 
(a − c)2
(b − d)2
=
2a2 + 3c2
2b2 + 3d2
d.  (a + c)(b − d) = (a − c)(b + d)
a.  x −
8
5
< − 6 < x b.  −1
1
4
< x +
2
3
 và x < −
1
4
c.  2 + x <
5
6
< x + 3 d.  x < −
7
4
< x +
2
7
a.  522 và 255
b.  √17 và ( − 2)2
c.  √2015 − √2012 và √2014 − √2013
Xem lời giải tại:
80. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
A =
2ax − 2x − 3y + 3ay
4ax + 6x + 9y + 6ay
.
Xem lời giải tại:
81. Cho tỉ lệ thức: 
a
b
=
c
d
; b ≠ ± d ≠ 0. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
82. Tìm giá trị nguyên của x biết:
Xem lời giải tại:
83. So sánh:
Xem lời giải tại:
a.  A = − x +
18
1273
2
−
183
121
b.  B =
15
(x − 8)2 + 4
c.  C =
4
x +
1
3
2
+ 5
a.  A = 0 b.  A > 0 c.  A < 0
a.  A = x −
1
5
2
+
11
12
b.  B =
|x| + 2014
2015
c.  C =
−10
|x| + 10
84. Cho: 
a
b + c + d
=
b
a + c + d
=
c
a + b + d
=
d
a + b + c
. Tính giá trị mỗi tỉ số.
Xem lời giải tại:
85. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
Xem lời giải tại:
86. Tìm các giá trị của x để biểu thức: A =
2x − 3
5x + 1
Xem lời giải tại:
87. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Xem lời giải tại:
( )
( )
( )
a.  P =
3n + 2
n − 1
b.  Q =
3|n| + 1
3|n| − 1
88. Tìm các giá trị nguyên của n để mỗi biểu thức sau là số nguyên.
Xem lời giải tại:
89. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a; b.
a.  A =
ac + bx + ax + bc
ay + 2bx + 2ax + by
 với (a ≠ − b)
b.  B =
2ax − 2a − 3b + 3bx
4ax + 6a + 9b + 6bx
 với (2a ≠ − 3b)
Xem lời giải tại:
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
90. Cho phân số 
a
b
(b ≠ 0). Tìm phân số 
c
d
(c ≠ 0; d ≠ 0) sao cho: 
a
b
:
c
d
=
a
b
⋅
c
d
Xem lời giải tại:
91. Cho a, b ∈ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ 
a
b
 và 
a + 2014
b + 2014
.
Xem lời giải tại:
92. Tìm chữ số tận cùng của số: A = 19n + 5n + 2360n với n ∈ N.
Xem lời giải tại:
93. So sánh: A =
1
3
+
1
32
+
1
33
+ . . . +
1
399
 với 
1
2
a. 
3a + 2c
3b + 2d
=
−5a + 3c
−5b + 3d
. b. 
a2
b2
=
2c2 − ac
2d2 − bd
.
Xem lời giải tại:
94. Cho tỉ lệ thức 
a
b
=
c
d
. Chứng minh rằng: (Với giả thiết các tỉ số có nghĩa)
Xem lời giải tại:
95. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
96. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
97. Cho các số a, b, c ≠ 0 và các số x, y, z thỏa mãn: 
bz − cy
a
=
cx − az
b
=
ay − bx
c
.
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
.
a.  −√64 + 15 và −√15 − 8
b.  7 + √( − 9)2 và √103
c.  √54 và 9 − √27
d. 
81
25
−
2
7
 và 
9
5
−
2
7
Xem lời giải tại:
98. Cho abcd ≠ 0, b2 = ac, c2 = bd. Chứng minh tỉ lệ thức 
a3 + b3 + c3
b3 + c3 + d3
=
a
d
.
Xem lời giải tại:
99. Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
100. Cho a, b là hai số thực và a ≤ b, m và n là hai số thực dương có tổng là 1.
Chứng minh rằng:
a ≤ ma + nb ≤ b.
Xem lời giải tại:
101. So sánh:
Xem lời giải tại:
102. Chứng minh S = P biết:
S = −
1
1.2
−
1
2.3
−
1
3.4
− . . . −
1
(n − 1)n
(n ∈ N∗ )
√
a.  So sánh A với 
1
21
b.  So sánh B với 
11
21
P = −
4
1.5
−
4
5.9
−
4
9.13
− . . . −
4
(n − 4)n
(n ∈ N∗ )
Xem lời giải tại:
103. Cho hai biểu thức:
A = 1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
. . . 1 −
1
19
1 −
1
20
B = 1 −
1
4
1 −
1
9
1 −
1
16
. . . 1 −
1
81
1 −
1
100
Xem lời giải tại:
104. So sánh 
a
b
 và 
a + 2015
b + 2015
 với a; b ∈ Z; b > 0.
Xem lời giải tại:
105. Chứng minh rằng:
1 −
1
2
−
1
22
−
1
23
−
1
24
− . . . −
1
210
>
1
211
Xem lời giải tại:
106. Cho ba số a; b; c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:
1
ab + a + 1
+
b
bc + b + 1
+
1
abc + bc + b
= 1
( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
Xem lời giải tại:
107. So sánh:
a.  A =
244.395 − 151
244 + 395.243
 và B =
423134.846267 − 423133
423133.846267 + 423134
b.  A =
32003 + 5
32001 + 5
 và B =
32001 + 1
31999 + 1
Xem lời giải tại:
108. Chứng minh rằng: 
1
22
+
1
32
+
1
42
+ . . . +
1
20152
<
3
4
Xem lời giải tại:
109. Chứng minh rằng:
1 −
1
22
−
1
32
−
1
42
− . . . −
1
1002
>
1
100
Xem lời giải tại:
110. Cho 6 số khác 0 là x1; x2; x3; x4; x5; x6 thỏa mãn 
x22 = x1. x3; x
2
3 = x2. x4; x
2
4 = x3. x5; x
2
5 = x4. x6
Chứng minh rằng: 
x1
x6
=
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x2 + x3 + x4 + x5 + x6
5
Xem lời giải tại:
111. Với mọi số tự nhiên n ≥ 2 hãy so sánh:
( )
a.  A =
1
22
+
1
32
+
1
42
+ . . . . +
1
n2
với 1
b.  B =
1
22
+
1
42
+
1
62
+ . . . +
1
(2n)2
 với 
1
2
Xem lời giải tại: