Toán nâng cao về số hữu tỉ

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TÍNH TOÁN
CÁC BÀI TÍNH TOÁN
CÁC BÀI TỰ LUYỆN
1. Tính nhanh: P =
−7
4
⋅
33
12
+
3333
2020
+
333333
303030
+
33333333
42424242
⋅
Xem lời giải tại:
2. Tính giá trị các biểu thức sau:
a.  A = 1 −
1
1 +
2
1 −
3
1 − 4
b.  B = −
1
10
−
1
100
−
1
1000
−
1
10000
−
1
100000
−
1
1000000
.
(tính ra số thập phân)
Xem lời giải tại:
3. Tính: A = −
1
2003.2002
−
1
2002.2001
−
1
2001.2000
− . . . −
1
3.2
−
1
2.1
.
Xem lời giải tại:
4. Biết rằng 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385,  hãy tính tổng: 
S = 1002 + 2002 + 3002 + . . . + 10002.
Xem lời giải tại:
( )
a.  Tính x − y b.  Tính x + y
c.  Tính x. y d.  Tính x : y
5. Cho x =
1 −
2
3
− 2 +
1
4
1 −
3
4
+
1
6
; y =
1 −
1
1 +
4
3
2 +
1
3
−
3
7
Xem lời giải tại:
6. Biết 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385. Tính nhanh:
a.  A = 22 + 42 + 62 + . . . + 202
b.  B = 32 + 62 + 92 + . . . + 302
c.  C = 0, 52 + 12 + 1, 52 + . . . + 52
Xem lời giải tại:
7. Tính:
a.  A =
2.2306
1 +
1
1 + 2
+
1
1 + 2 + 3
+ . . . +
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2306
b.  B =
1
2
− 1
1
3
− 1
1
4
− 1 . . .
1
2014
− 1
1
2015
− 1
Xem lời giải tại:
8. Tính:
a. 
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
99.100
b. 
1
4.9
+
1
9.14
+
1
14.19
+ . . . +
1
44.49
1 − 3 − 5 − 7 − . . . − 49
89
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
Xem lời giải tại:
9. Tính tổng:
a.  A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 52014 + 52015
b.  B = 2100 − 299 + 298 − 297 + . . . + 22 − 2
Xem lời giải tại:
10. Tính giá trị biểu thức sau:
M = 1 −
1
1 −
2015
1
2 −
1
1 −
2015
2
3 −
1
1 −
2015
3
. . . 5000 −
1
1 −
2015
5000
Xem lời giải tại:
11. Tính:
a.  S =
2
1.3
+
2
3.5
+
2
5.7
+ . . . +
2
99.101
b.  P =
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+ . . . +
1
98.99.100
Xem lời giải tại:
12. Tính: P =
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
2015
2014
1
+
2013
2
+
2012
3
+ . . . +
1
2014
Xem lời giải tại:
( )( )( ) ( )
13. Tính:
A = 1 −
1
1 + 2
. 1 −
1
1 + 2 + 3
. . . 1 −
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2015
Xem lời giải tại:
CÁC BÀI TÌM GIÁ TRỊ CHƯA BIẾT
( ) ( ) ( )
CÁC BÀI TÌM GIÁ TRỊ CHƯA BIẾT
CÁC BÀI TỰ LUYỆN
14. Cho phân số 
a
b
(b ≠ 0). Tìm phân số 
c
d
(c ≠ 0; d ≠ 0) sao cho: 
a
b
:
c
d
=
a
b
⋅
c
d
Xem lời giải tại:
15. Tìm số nguyên x biết: 
1
3
<
9
x
<
1
2
.
Xem lời giải tại:
16. Tìm x biết x ∉ {1; 3; 8; 20} và:
2
(x − 1)(x − 3)
+
5
(x − 3)(x − 8)
+
12
(x − 8)(x − 20)
−
1
x − 20
= −
3
4
.
Xem lời giải tại:
17. Tìm chữ số tận cùng của số: A = 19n + 5n + 2360n với n ∈ N.
Xem lời giải tại:
18. Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n150 < 5225.
Xem lời giải tại:
19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.  A = 3, 7 + |4, 3 − x|
b.  B = |x − 2002| + |x − 2001|
Xem lời giải tại:
20. Cho tỉ lệ thức: 
5x − 2y
3x + 4y
=
3
4
,  tính tỉ số x : y.
Xem lời giải tại:
21. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
22. Tìm x; y biết: 
1 + 2y
18
=
1 + 4y
24
=
1 + 6y
6x
Xem lời giải tại:
23. Tìm x; y biết: 
x
2
=
y
5
 và x. y = 40
Xem lời giải tại:
24. Tìm các giá trị nguyên của x để 
√x + 1
√x − 3
 là số nguyên.
Xem lời giải tại:
25. Tìm x biết: 
2
5
x −
1
5
2
3
x +
1
3
< 0
Xem lời giải tại:
26. Tìm các số nguyên x, y, z biết  x −
1
5
y +
1
2
(z − 3) = 0 và 
x − 3 = y − 2 = z − 1
Xem lời giải tại:
27. Tìm các số x; y; z biết rằng:
a. 
x
3
=
y
7
=
z
2
 và 2x2 + y2 + 3z2 = 316
b. 
x3
8
=
y3
64
=
z3
216
 và x2 + y2 + z2 = 14
Xem lời giải tại:
28. Viết 2n + 1; n ∈ N∗  số hữu tỉ trên một vòng tròn trong đó tích hai số cạnh
nhau luôn bằng 
1
100
. Tìm các số đó?
Xem lời giải tại:
29. Tìm số nguyên x biết:
a.  |x + 6, 4| + |x + 2, 5| + |x + 8, 1| = 4x
( )( )
( )( )
b. 
|x|
186
= 1 −
303030
313131
+
616161
626262
− 1 +
929292
939393
− 1
Xem lời giải tại:
30. Một ô tô đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được 
1
2
 quãng
đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 %, do đó đến B sớm hơn được 10 phút. Hỏi ô
tô đi từ A đến B hết bao nhiêu phút?
Xem lời giải tại:
CÁC BÀI CHỨNG MINH ‐ SO SÁNH
( ) ( ) ( )
CÁC BÀI CHỨNG MINH ‐ SO SÁNH
CÁC BÀI TỰ LUYỆN
31. Cho a, b ∈ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ 
a
b
 và 
a + 2014
b + 2014
.
Xem lời giải tại:
32. Giả sử x =
a
m
, y =
b
m
 với x < y ; a, b, m là số tự nhiên, m ≠ 0 ).
Chứng minh rằng nếu chọn z =
a + b
2m
 thì ta có: x < z < y .
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 
3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n  ⋮   10.
Xem lời giải tại:
34. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: P =
(x + 6)2 + (x − 6)2
x2 + 36
 không phụ
thuộc vào giá trị của x.
Xem lời giải tại:
35. So sánh: A =
1
3
+
1
32
+
1
33
+ . . . +
1
399
 với 
1
2
Xem lời giải tại:
36. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
37. Cho các số a, b, c ≠ 0 và các số x, y, z thỏa mãn: 
bz − cy
a
=
cx − az
b
=
ay − bx
c
.
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
.
Xem lời giải tại:
38. Cho abcd ≠ 0, b2 = ac, c2 = bd. Chứng minh tỉ lệ thức 
a3 + b3 + c3
b3 + c3 + d3
=
a
d
.
Xem lời giải tại:
39. Cho y =
1 + √x
1 − √x
.
Chứng minh rằng với mọi x ∈ A =
16
9
;
25
16
;
36
25
;
49
36
;
64
49
;
81
64
;
100
81
thì y là số nguyên.
{ }
Xem lời giải tại:
40. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗  ta luôn có:
√1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n + (n − 1) + . . . + 3 + 2 + 1 = n.
Xem lời giải tại:
41. So sánh các số thực:
a.  √17 + √5 + 1 và √45
b.  A = √20 + 1 + √40 + 2 + √60 + 3 và 
B = (√1 + √2 + √3) + (√20 + √40 + √60).
Xem lời giải tại:
42. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
A =
2ax − 2x − 3y + 3ay
4ax + 6x + 9y + 6ay
.
Xem lời giải tại:
43. Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
44. Cho a, b là hai số thực và a ≤ b, m và n là hai số thực dương có tổng là 1.
Chứng minh rằng:
a ≤ ma + nb ≤ b.
Xem lời giải tại:
45. Chứng minh rằng √3 không phải là số hữu tỉ.
Xem lời giải tại:
46. Chứng minh S = P biết:
S = −
1
1.2
−
1
2.3
−
1
3.4
− . . . −
1
(n − 1)n
(n ∈ N∗ )
P = −
4
1.5
−
4
5.9
−
4
9.13
− . . . −
4
(n − 4)n
(n ∈ N∗ )
Xem lời giải tại:
47. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a; b.
a.  A =
ac + bx + ax + bc
ay + 2bx + 2ax + by
 với (a ≠ − b)
b.  B =
2ax − 2a − 3b + 3bx
4ax + 6a + 9b + 6bx
 với (2a ≠ − 3b)
Xem lời giải tại:
48. Cho x; y; z; t ∈ N∗ . Chứng minh rằng: 
M =
x
x + y + z
+
y
x + y + t
+
z
y + z + t
+
t
x + z + t
 có giá trị không phải số tự nhiên.
Xem lời giải tại:
49. Với mọi số tự nhiên n ≥ 2 hãy so sánh:
a.  Tính tổng A
b.  Chứng minh A ⋮ 43
a.  A =
1
22
+
1
32
+
1
42
+ . . . . +
1
n2
với 1
b.  B =
1
22
+
1
42
+
1
62
+ . . . +
1
(2n)2
 với 
1
2
Xem lời giải tại:
50. Chứng minh rằng:
1 −
1
22
−
1
32
−
1
42
− . . . −
1
1002
>
1
100
Xem lời giải tại:
51. Cho A = ( − 7) + ( − 7)2 + ( − 7)3 + . . . + ( − 7)2016
Xem lời giải tại:
52. Cho 6 số khác 0 là x1; x2; x3; x4; x5; x6 thỏa mãn 
x22 = x1. x3; x
2
3 = x2. x4; x
2
4 = x3. x5; x
2
5 = x4. x6
Chứng minh rằng: 
x1
x6
=
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x2 + x3 + x4 + x5 + x6
5
Xem lời giải tại:
53. Chứng minh rằng:
1 −
1
2
−
1
22
−
1
23
−
1
24
− . . . −
1
210
>
1
211
( )
a.  So sánh A với 
1
21
b.  So sánh B với 
11
21
Xem lời giải tại:
54. Cho ba số a; b; c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:
1
ab + a + 1
+
b
bc + b + 1
+
1
abc + bc + b
= 1
Xem lời giải tại:
55. So sánh:
a.  A =
244.395 − 151
244 + 395.243
 và B =
423134.846267 − 423133
423133.846267 + 423134
b.  A =
32003 + 5
32001 + 5
 và B =
32001 + 1
31999 + 1
Xem lời giải tại:
56. Chứng minh rằng: 
1
22
+
1
32
+
1
42
+ . . . +
1
20152
<
3
4
Xem lời giải tại:
57. Cho hai biểu thức:
A = 1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
. . . 1 −
1
19
1 −
1
20
B = 1 −
1
4
1 −
1
9
1 −
1
16
. . . 1 −
1
81
1 −
1
100
Xem lời giải tại:
( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
58. So sánh 
a
b
 và 
a + 2015
b + 2015
 với a; b ∈ Z; b > 0.
Xem lời giải tại: