Toán nâng cao về góc và đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
MỘT SỐ BÀI ÔN LUYỆN
BÀI TẬP
1. Cho tam giác đều ABC. Lấy cạnh BC của tam giác làm đường kính dựng ra phía
ngoài tam giác nửa đường tròn (O). Trên nửa đường tròn (O) lấy hai điểm K và L
chia nửa đường tròn này thành ba cung bằng nhau: 
⌢
BK =
⌢
KL =
⌢
LC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AK và AL chia đoạn thẳng BC thành ba phần
bằng nhau.
Xem lời giải tại:
2. Cho (O), dây AB của (O) không phải đường kính. M là trung điểm của AB, quá
M dựng hai dây cung CD và PQ, CQ và PD cắt AB tại E và F. Chứng minh rằng ME
= MF.
Xem lời giải tại:
3. Hãy chứng minh rằng trong một tam giác , đường tròn ngoại tiếp đi qua ba
trung điểm của các đoạn nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm ba đường tròn
bàng tiếp của tam giác.
Xem lời giải tại:
4. Cho ΔABC nội tiếp trong (O). Các tia phân giác của Aˆ, Bˆ, Cˆ cắt (O) lần lượt
tại A’, B’, C’.
Chứng minh: AA ′ + BB ′ + CC ′ > AB + BC + AC
Xem lời giải tại:
5. Cho ΔABC đều, nội tiếp (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. Gọi M là
giao điểm của AB và CI, N là giao điểm của AC và BI. Chứng minh:
a.  BC2 = BM. CN
b. 
^
AIN có số đo không đổi.
Xem lời giải tại:
6. Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên (O). Gọi M là giao điểm của AB và CD,
N là giao điểm của AD và BC.
a.  Tính các góc của tứ giác ABCD, biết 
^
AMD = 300,
^
BND = 400
b.  Hai phân giác của Mˆ và Nˆ cắt nhau tại I. Chứng minh IM⊥IN.
Xem lời giải tại:
7. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi M, N, P lần lượt là điểm nằm chính
giữa của các cung nhỏ 
⌢
AB,
⌢
BC,
⌢
CA. MN cắt AB tại K; NP cắt AC tại H; MP cắt AB
tại D và cắt AC tại E. Chứng minh:
a.  KH / /BC
b.  AI⊥MP (I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC)
Xem lời giải tại:
8. Cho ΔABC cố định có Bˆ = 900, AC = b. Các tia phân giác của Aˆ và Cˆ cắt nhau
ở I. Chứng minh điểm I nằm trên một đường tròn cố định có bán kính là 
b√2
2
.
Xem lời giải tại:
9. Cho (O) nội tiếp ΔABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Tia
AO cắt DE tại H.
a.  Chứng minh 5 điểm F, D, O, H, B cùng thuộc một đường tròn.
b.  Cho AB cố định, Aˆ = α không đổi, C di động. Chứng minh DE luôn đi qua một
điểm cố định.
Xem lời giải tại:
10. Cho (O), dây AB. Tìm trên cung lớn AB một điểm M sao cho chu vi ΔMAB lớn
nhất.
Xem lời giải tại:
11. Cho (O; R), dây AB = R√3. Điểm C di động trên cung nhỏ AB. Vẽ đường tròn
tâm C tiếp xúc với AB. Từ A, B vẽ các tiếp tuyến (khác AB) với đường tròn (C),
chúng cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M.
Xem lời giải tại:
12. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm di động trên nửa
đường tròn đó. Vẽ hình vuông BMDC ở ngoài ΔAMB. Tìm quỹ tích điểm C.
Xem lời giải tại:
13. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây MN = R (M ∈
⌢
AN). Hai
dây AN và BM cắt nhau tại I. Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên
đường nào?
Xem lời giải tại:
14. Cho BC là một dây cung cố định của đường tròn (O). A là điểm di động trên
cung lớn BC. Đường phân giác của góc 
^
BAC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D.
Kẻ BM vuông góc với AD. Chứng minh rằng M thuộc một đường cố định.
Xem lời giải tại:
15. Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm di động theo thứ tự nằm giữa B, C
và C, D sao cho 
^
EAF = 450. Hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt cắt BD tại M và N.
Vẽ AH⊥EF (H ∈ EF). Chứng minh:
a.  Ba đường thẳng AH, FM, EN đồng quy
b.  Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
c.  SAMN = SMNFE.
Xem lời giải tại:
16. Cho ΔABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔAMN
luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Xem lời giải tại:
17. Cho hai điểm O và P cố định. Cho 
^
xOy = 600 quay quanh điểm O sao cho
điểm P luôn nằm trong góc đó. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của P trên Ox và
Oy. Đường thẳng PK cắt Ox tại A, đường thẳng PH cắt Oy tại B.
a.  Chứng minh HK, AB có độ dài không đổi
b.  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OP và AB. Chứng minh tứ giác MKNH nội
tiếp
c.  Chứng minh trung điểm I của HK di động trên một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
18. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm cố định nằm giữa A và
B. Lấy D trên nửa đường tròn. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với CD lần
lượt cắt các tiếp tuyến Ax, By tại M và N. Gọi P là giao điểm của AD và CM, Q là
giao điểm của BD và CN. Chứng minh:
a.  PQ // AB
b.  CM. CN ≥ 2AC. BC
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC, đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm
đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB lần lượt là I và K.
Chứng minh các đường thẳng BI, CK là các đường cao của ΔABC.
Xem lời giải tại:
20. Từ các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh đối
diện cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC lần lượt tại các điểm A’, B’, C’. Mỗi cung
AA’, BB’, CC’ được chia làm 3 phần bằng nhau. Nối 3 điểm chia gần A, B, C nhất
được một tam giác. Hỏi đó là tam giác gì, chứng minh.
Xem lời giải tại:
21. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng xy. Hai đường tròn bất kì tiếp xúc ngoài
với nhau tại T và cũng tiếp xúc với đường thẳng xy tại A và B. Tìm quỹ tích của
những tiếp điểm T đó.
Xem lời giải tại:
22. Cho hai đường tròn bằng nhau (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm A và B
sao cho AB = R. Kẻ các đường kính AOC và AO’D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
(khác B, C). Gọi giao điểm thứ hai của tia MB với (O’) là P, giao điểm của các tia
CM, PD là Q và giao điểm của các tia MP, AQ là K. Tính tỉ số 
AK
AQ
.
Xem lời giải tại:
23. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến
chung MN cắt đường thẳng OO’ tại I (M, N lần lượt nằm trên (O), (O’)). Chứng
minh đường thẳng IA tiếp xúc với đường tròn đi qua ba điểm M, N, A.
Xem lời giải tại:
24. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đoạn
OO’ cắt dây AB tại điểm C. Lấy I trên đoạn OC rồi kẻ dây AM đi qua I của (O).
Trên (O’) lấy một điểm N sao cho AN = AM, đồng thời các đoạn AN, OO’ không
cắt nhau. Chứng minh 3 điểm B, M, N thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
25. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính BC = 2R, điểm A chuyển động trên
nửa đường tròn đó. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, gọi D và E theo thứ tự là
hình chiếu của H trên AC và trên AB. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của HB và
HC. Xác định vị trí điểm A sao cho:
a.  Tứ giác DEIK có diện tích lớn nhất
b.  Tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất.
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC, Aˆ = 450 nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn đường kính BC cắt
các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh tứ giác EOFC là hình thang
cân.
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn (O) bán kính 4 cm và đường tròn (O’) bán kính 3 cm ở ngoài
nhau. Đoạn nối tâm OO ′ = 10 cm. Tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đường
tròn (O) tại E và đường tròn (O’) tại F. Đường thẳng OO’ cắt (O) tại A, B; cắt (O’)
tại C, D (B, C nằm giữa hai điểm A, D). AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N. Chứng
minh MN⊥AD
Xem lời giải tại:
28. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến
chung ngoài MM’ (M ∈ (O); M ′ ∈ (O ′ )) cắt đường thẳng OO’ tại P. Kẻ đường
kính MM1 của đường tròn (O), gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng OO’ và 
M ′M1. Chứng minh 
^
IAP = 900
Xem lời giải tại:
29. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm D trên cung BC không chứa A.
Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. 
BC
DH
=
AC
DI
+
AB
DK
b.  H, I, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
30. Cho các cạnh của một tam giác là a, b, c; diện tích của tam giác đó là t thỏa
mãn: (a + b + c)(a + b − c) = 4t. Chứng minh đó là tam giác vuông.
Xem lời giải tại:
31. Cho hình thang ABCD (AD // BC). Chứng minh rằng nếu đồng thời AD > BC
và AC > BD thì AB > CD.
Xem lời giải tại:
32. Cho hình bình hành ABCD và một điểm P nằm ở ngoài hình bình hành đó sao
cho 
^
PAB =
^
PCB (đỉnh A và C nằm ở hai phía đối với đường thẳng PB). Chứng
minh: 
^
APB =
^
DPC.
Xem lời giải tại:
33. Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 
R1 = 3 cm; R2 = 6 cm. Một dây AB của đường tròn (O; R2) tiếp xúc với đường
tròn (O; R1) tại C.
a.  Tính độ dài cung nhỏ AB của đường tròn (O; R2)
b.  Tính độ dài đường tròn đường kính AB
Xem lời giải tại:
34. Cho đường tròn (O; R) ngoại tiếp ΔABC đều và nội tiếp ΔDEF đều. Gọi C1 là
chu vi đường tròn nội tiếp ΔABC, C2 là chu vi đường tròn ngoại tiếp ΔDEF, C là
chu vi đường tròn (O).
Chứng minh: C2 = C1. C2
Xem lời giải tại:
35. Cho đường tròn (O; R) có dây AB = 12 cm. Vẽ đường tròn (O; r) tiếp xúc với
dây AB tại M.
a.  Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (O; R) và (O; r)
b.  Tính diện tích hình quạt tròn AOB của hình tròn (O; R) nếu diện tích của hình
tròn (O; R) là 48π cm2.
Xem lời giải tại:
36. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với
đường tròn đó (A, B là tiếp điểm). Cho biết MO = 2R.
a.  Tính diện tích của phần tứ giác MAOB nằm ngoài hình tròn (O; R)
b.  Tính diện tích phần chung của hình tròn đường kính MO và hình tròn (O; R).
Xem lời giải tại:
37. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R)
a.  Tính diện tích của phần hình tròn (O) nằm ngoài hình vuông ABCD
b.  Vẽ 
⌢
CmA tâm B, bán kính BC. Tính diện tích hình vành trăng (CmADC) theo R.
Xem lời giải tại: