Toán học - Các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân

 nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau : 
Các bước tiếp theo giống như trên . 
b..Ta có : . Đồng nhất hệ số hai tử số :
	Ta có hệ 
	Suy ra : .
	Vậy : 
3. TỔNG QUÁT :
a. Trường hợp mẫu số không có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức là mẫu số vô nghiệm).
	* Ta phân tích như ở ví dụ 5- cách 1
b. Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn 
	* Ta phân tích giống như ví dụ 5a- cách 2.
c. Trường hợp mẫu số có cả trường hợp không có nghiệm thực và trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn .
	* Ta sử dụng cả hai phương pháp trên .
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm các hàm số sau 
	a.	 b. 
GIẢI
a.Ta phân tích f(x)= .
Bằng cách thay các nghiệm thực của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
Vậy : 
b. Ta phân tích 
f(x)=
Bằng cách thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
Vậy 
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm các hàm số sau 
	a. 	b. 
GIẢI
a. Trong trường hợp này ,mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm thực . Các em hãy chú ý đến cách phân tích sau .
Ta có f(x)= .
Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, cho nên A=1. 
Do đó (1) trở thành : .
Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : 
Vậy : 
* Tính J = . Đặt : . 
Cho nên : 
Do đó , thay tích phân J vào (2) ta có : 
b.Ta phân tích f(x)= 
Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số ta được : 
Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình 
Vậy : 
III. . NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .
Để xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau :
1. Sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản .
2. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản 
3. Phương pháp đổi biến 
4. Phương pháp tích phân từng phần 
A. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .
BÀI TOÁN 1. 
Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác 
bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Dạng 1.: Tính tích phân bất định : 
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 
1=
Bước 2: Ta được :
* Chú ý Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
sử dụng đồng nhất thức : 
 sử dụng đồng nhất thức : .
Ví dụ 1 . Tìm họ nguyên hàm của hàm số : .
Giải
Cách 1. Sử dụng đồng nhất thức : 
Ta có : 
=
Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x) 
Ta có : 
Dạng 2: Tính tích phân bất định : 
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1. Biến đổi I về dạng : 
Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1)
* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
 .
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 
Giải
Biến đổi f(x) về dạng :
Sử dụng đồng nhất thức :
 	.
Ta được : 
.
Dạng 3: Tính tích phân bất dịnh : 
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Biến đổi I về dạng : 
Bước 2 : Áp dụng bài toán 1 để giải (1)
* Chú ý : Phương pháp trên cũng được áp dụng đẻ giải các tích phân dạng : 
Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau : 
Giải :
Ta biến đổi f(x) về dạng : 
Để tính : . Ta lựa chọn hai cách sau :
Cách 1: Sử dụng dạng toán cơ bản .
Sử dụng đồng nhất thức : 
Ta được : 
Cách 2. Dựa trên đặc thù của hàm số dưới dấu tích phân .
Ta có : 
	 .
Dạng 4. Tính tích phân bất định : 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi 
Cách 1: Ta có .
Chú ý : Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến số bằng cách đặt .
Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
Giải
Ta có : 
Dạng 5: Tính tích phân bất định sau : 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Biến đối : 
Bước 2: Khi đó 
Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
Giải
Biến đổi : .
Đồng nhất hệ số hai tử số ,ta được : 
Khi đó : 
Do đó :
Dạng 6. Tính tích phân bất định : 
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1. Biến đổi : . 
Bước 2. Khi đó : 
Trong đó : .
Ví dụ 6 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau : 
Giải
Biến đổi : 
Giả sử : .
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : 
Khi đó : 
Do đó : 
Chú ý : Trong ví dụ trên ta lấy kết quả ví dụ 4 cho : .
Dạng 7. Tính tích phân bất định : .
Ta xét ba khả năng :
Nếu .
Ta thực hiện phép biến đổi : 
Trong đó : 
Khi đó : 
Nếu : 
Ta thực hiện phép biến đổi : 
Trong đó : 
Khi đó : 
Nếu : 
Ta thực hiện phép biến đổi bằng cách đổi biến số : .
Khi đó : ,
 thay vào tích phân đã cho .
Ví dụ 7. Tính tích phân sau : .
Giải
Đặt : .
Khi đó : 
Dạng 8. Tính tích phân bất định : .
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1. Biến đổi : 
Bước 2 : Khi đó :
.
Trong đó : , được xác định ở dạng 4. 
Ví dụ 8 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : .
Giải
Biến đổi : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Khi đó : 
Do vậy : 
Với : . ( Tích phân này đã giải ở ví dụ 7 )
Dạng 9: Tính tích phân bất định : .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi : 
Bước 2 : Khi đó :
Trong đó : .
Ví dụ 9 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số : .
Giải
Biến đối : 
	.
Đồng nhất hệ số hai tử số : .
Do đó : .
Chú ý : Ở ví dụ 4 , ta có : 	
Dạng 10. Tính tích phân bất định : 
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi I về dạng : 
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến số : 
Khi đó : . ( Ta đã có cách giải ở phần " Hàm phân thức " )
Ví dụ 10: Tính tích phân bất định : 
Giải
Ta có : . 
Đặt : 
Thay trả lại : .
B. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Bài toán 2:
 Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng phép biến đổi lượng giác , đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc . Các phép biến đổi lượng giác bao gồm :
Phép biến đổi : Tích thành tổng ( Chúng ta đã thấy ở bài toán 1)
Hạ bậc : .
Các kỹ thuật biến đổi khác .
1. Sử dụng phương pháp biến đổi : Tích sang tổng .
Ở đây chúng ta sử dụng các công thức :
	b. 
	c. 	d. 
Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm : .
Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số : 
Giải
Ta biến đổi : 
Khi đó : 
Ví dụ 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 
Giải
Ta biến đổi : 
Khi đó : 
2. Sử dụng công thức hạ bậc :
Ta nhớ lại các công thức sau : 
	a. .	b. 
	c. 	d. 
	e. 
Ví dụ 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số :
	a. 	b. 
Giải
a. Ta có : 
.
Do đó : 
b.Ta biến đổi : 
Do đó : 
3. Sử dụng nhiều phép biến đổi khác nhau .
Trong phương pháp này dòi hỏi HS cần linh hoạt vận dụng các công thức lượng giác . Ngoài ra còn biết cách định hướng để biến đổi sao cho sử dụng được bảng nguyên hàm .
Ví dụ 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 
Giải :
Ta biến đổi : 
.
Do đó : .
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định . Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau :
a/ Nếu : và với u=(x) là hàm số có đạo hàm thì : 
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x=. Trong đó cùng với đạo hàm của nó ( là những hàm số liên tục ) thì ta được : .
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau :
Bài toán 1: 
Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: chọn x=, trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: lấy vi phân hai vế : 
Bước 3 : Biến đổi : 
Bước 4: Khi đó tính : .
* Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu
Cách chọn
x=a.cos2t
x=a+
Ví dụ 1. Tính tích phân bất định 
	a/ 	b/ 
Giải
a/ Đặt : x=sint ; t
Suy ra : .
Khi đó : 
b/ Vì : , nên 
Đặt : 
Suy ra : 
	.
Khi đó : (*)
Từ : . Ta tìm được sint , thay vào (*) ta tính được I .
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : .
Giải
Vì điều kiện : , nên ta xét hai trường hợp :
Với x>1 
Đặt .
Do đó : 
=
Vậy : 	
Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm .
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Ta có : 
Với : J
Tích phân : 
Ví dụ 3. Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : 
Suy ra : .
Khi đó : 
Chú ý : 
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì : 
2. Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát : .
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân : .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Chọn t=. Trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Tính vi phân hai vế : .
Bước 3: Biểu thị : .
Bước 4: Khi đó : 
* Chú ý : Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp :
Dấu hiệu
Cách chọn
Hàm số mẫu số có
t là mẫu số
Hàm số : 
t=
Hàm 
Hàm 
Với : x+a>0 và x+b>0 : Đặt : 
Với x+a<0 và x+b<0 ,
đặt : 
Ví dụ 4. Tính tích phân bất định sau : 
Giải
Đặt : .
Vậy : 
Ví dụ 5 : Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : t=.
Vậy : 
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : t= 
Do đó : 
Vậy : 
= 
Ví dụ 7: Tính tích phân bất định : .
Giải
Đặt : t= .
Do đó : .
Vậy : 
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : 
Suy ra : .
Vậy : 	
Ví dụ 9: Tính tích phân bất định : 
Giải
Vì : 
Đặt : t = 
Suy ra : 
Vậy : 	. Thay : t= cotx vào .
Ví dụ 10 : Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : 
Vậy : 
Ví dụ 11: Tính tích phân bất định : 
Giải
a. xét hai trường hợp :
Với : Đặt : 
Suy ra : 
Vậy : 
Với : Đặt t = 
Suy ra : 
Vậy : 
BÀI TẬP CHO HAI PHƯƠNG PHÁP : PHÂN TÍCH VÀ ĐỔI BIẾN SỐ
Bài 1 : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau 
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
 	a/. 	b/ 
c/ 	d/ 
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
LUYỆN TẬP TẠI LỚP
Tìm nguyên hàm các hàm số sau :
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	
6. 	7. 
	9. 	10. 
11. 	12. 	
13 . 	14. 
	15. 	16. 
	17. 	18. 
	19.f(x)= 	20. 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. CÔNG THỨC :
Chứng minh : 
Giả sử hai hàm số : u=u(x) và v=v(x) liên tục và có đạo hàm . 
Cho nên : d(u.v)=v.du+u.dv . Suy ra : u.dv=d(u.v)-v.du , 
và .
Lý do sử dụng phương pháp tích phân từng phần :
	Đôi khi ta gặp phải những tích phân mà không thể sử dụng hai phương phương pháp : Phân tích và đối biến số , để tìm họ nguyên hàm trực tiếp được . Vì thế ta phải thông qua việc tìm họ nguyên hàm trực tiếp bằng một hàm số khác ( mà có thể sử dụng hai phương pháp đã biết để tìm ) .
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phàn để tính .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : 
Bước 2: Đặt : 
Bước 3: Khi đó : 
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định : 
Giải
Viết lại : .
Đặt : 
Khi đó : 
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : 
Giải
Ta viết lại : 
Đặt : .
Khi đó : 
Bài toán 2: Tính tích phân bất định dạng : . Với P(x) là một đa thức .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau :
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần , thực hiện theo các bước sau :
+/ Bước 1: Đặt : 
+/ Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần : 
+/ Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức .
Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hệ số bất định ) . Ta thực hiện theo các bước sau :
+/ Bước 1: Ta có : 
Trong đó : A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+/ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :
+/ Bước 3: sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x) và B(x).
* Nhận xét : Nếu bậc của đa thức lớn hơn 3 , thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh , vì khi đó ta thực hiện số lần tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức . Cho nên ta đi đến nhận định như sau :
	- Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng 3 : Ta sử dụng cách 2.
	- Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng 2 : Ta sử dụng cách 1.
Ví dụ 3: Tính tích phân bất định : 
Giải
Ta có : 
Tính : 
Đặt : 
Thay vào (1) : 
Ví dụ 4: Tính tích phân bất định : 
Giải
Theo nhận xét trên , ta sử dụng phương pháp hệ số bất định 
Ta có :
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) 
Đồng nhất thức ta được : 
Khi đó : . 
* Có nhận xét gì khi giải bằng cách lấy tích phân từng phần ba lần ( Do đây là đa thức bậc ba ).
Đặt : (1)
Tính :J=
Đặt : 
Tính : K=
Đặt : 
Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I 
J=
I= 
	- Như vậy vấn đề đặt ra là : Em nào thấy cách nào dễ hiểu và không bị nhầm lẫn , thì chọn cách đó , không nhất thiết là dài hay ngắn , quan trọng nhất là kết quả phải chính xác .
Bài toán 3: Tính tích phân bất định : . ( Với a, b )
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần , theo các bước sau :
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần 
Chú ý : Riêng đối với dạng tích phân này bao giờ cũng phải lấy tích phần từng phần hai lần .
Ví dụ 5: Tính tích phân bất định sau : 
Giải
Ta có : 
Tính tích phân J=.
Đặt : 
Tính tích phân K= .
Đặt : 
Từ (2) và (3) ta có hệ : 
Thay vào (1) ta được : I= 
Bài toán 4: Tính tích phân bất định : 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần .Ta tiến hành theo các bước sau 
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Khi đó : 
Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức .
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : 
Ví dụ 7 : Tính tích phân bất định : 
Giải
Đặt : 
Tính tích phân J= .
Đặt : 
Thay vào (1) ta được : I= 
* Chú ý :
 Qua hai ví dụ 6 và 7 ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x) . Nghĩa là : số bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều .
Bài toán 5: Tính tích phân bất định : 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lấy tích phân từng phần , theo các bước sau :
Bước 1: Đặt : 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần , ta được một tích phân quen thuộc mà có thể tinh được bằng hai phương pháp đã biết .
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định sau : 
Giải
Đặt : 
Suy ra :
I 
BÀI TẬP VỀ : PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 2. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 3. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 4. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 5. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài 6. Tính các tích phân bất định sau :
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM 
Bài 1. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Bài 2. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Bài 3. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Bài 4. Tính các tích phân sau :
II. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 
1. Dạng 1.( Đặt ẩn phụ )
Bài 1. Tính các tích phân sau 
. Đặt : 
. Đặt : 
. Đặt : 
Do đó : 
. Đặt : 
Do đó : 
. Đặt : 
	Vậy : 
. Đặt : 
	Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
. Đặt : 
Vậy : 
2.Dạng 2.
Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp dổi biến số dạng 2
. Đặt : .( Do .
Đặt : 
.
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Tính : . Đặt : 
Tính : . Đặt : 
Vậy : 
Do đó : I-J= 
.
Đặt : 
Tính : . Đặt : 
.
Ta có :
Vậy : 
Đặt : . 
Vậy : 
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
.
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Bài 1. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Đặt :
Ta có : 
Thay vào (1) : 
Đặt : 
Vậy : 
Tính : 
Vậy thay vào (1) ta có : 
Đặt : 
Tính 
Vậy thay vào (1) thì : 
Đặt : 
Đặt : 
Từ (1) và (2) ta có hệ : 
Đặt : 
Đặt : 
Đặt : 
Đặt : 
Thay các kết quả vào (1) ta có : 
Đặt : 
Đặt : 
Thay các kết quả vào (1) ta có : 
Đặt : 
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
IV. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Bài 1. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Bài 1.
. Do : 
Vậy : 
. Do : 
Vậy : 
. Vì : 
. 
- Vì : 
- Vậy : 
. 
- Lập bảng xét dấu : 
-Vậy : 
- Nhận xét : 
- Vậy : 
- Ta có : 
-Vậy : 
-Vì : 
- 
- Vậy : 
- Tính : Đặt : 
- Vậy : .
- Tính : . Đặt : 
Vậy : 
Do đó : 
Bài 2. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Bài 2. 
-Do : 
Vậy : 
Do : 
- Do : 
- Vậy : 
	Vì : 
Mặt khác : 
Vậy : 
	Vì : 
Do đó : 
- Vì : 
	Vì : 
* Tính J: Đặt : 
Do đó : 
* Tính K. Giống như trên ,ta có :
V. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ 
* Trước khi làm bài tập , tổng hợp cho HS các phương pháp phân tích đã hướng dẫn .
Bài 1. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : 
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : f(x)=
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
. Đồng nhất hệ số hai tử số :
Vậy : 
Bài 2. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Phân tích : 
Vậy :
.
Phân tích : 
Vậy : 
Tính : . Đặt : 
Do đó : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
Tính : . Đặt : 
. Thay vào (1) : 
.
Phân tích : 
Tính : . Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
Tính : 
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Do đó : I=-()=
.
Phân tích : 
Do đó : 
Tính : . Đặt : 
Do đó : 
.
Đặt : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Do đó : Đặt : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
Tính : 
Đặt : 
Vậy : 
Cho nên : 
Phân tích : 
Tính 
Tính : 
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
Cho nên : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Cho nên : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
Phân tích : 
Đặt : 
Vậy : 
Phân tích : 
Vậy : 
Tính : . Đặt : 
Do đó : 
VI. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
* Nhắc nhở học sinh :
Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba ,hạ bậc
Thuộc các công thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ hơn kém nhau 1góc bẹt .
Lẻ sin thì đặt cosx=t , và lẻ cos thì đặt sinx=t . Còn chẵn sin,chẵn cos thì đặt tanx =t 
Đặc biệt chú ý đến hai cận để có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1
Ngoài ra còn chú ý đến một số công thức tính tích phân như : , 
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Bài 2. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Do đó : 
Vậy : 
Tính : 
Bài 3. Tính các tích phân sau :
GIẢI
.
.
Tính : 
Tính : . Đặt : 
Do đó : 
.
.
Bài 4. Tính các tích phân sau .
GIẢI
.
Đặt : 
Vậy : 
.
Đặt :
Đặt : 
Vậy : 
Vì : 
Vậy : 
.
Vì : 
Vậy : 
Bài 5. Tính các tích phân sau 
GIẢI
Đặt : 
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Bài 6. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Tính : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Tính : 
Đặt : 
Đặt : 
.
Đặt : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
Tính : .
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Bài 7. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
.
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Bài 8. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
. Đặt : 
Vậy : 
.
Đặt : 
Đặt : 
Vậy ta có hệ : 
.
Đặt : 
.
Đặt : 
Tính : 
Tính : 
Vậy : 
Bài 9. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
. Sử dụng công thức hạ bậc :
Tính : 
Vậy : 
Tính : 
Vậy : 
.
Vậy : .
.
Đặt : 
Vậy : 
.
Phân tích : 
Vậy : 
VII. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ -LOGARIT
* Nhắc nhở HS :
Thuộc các công thức nguyên hàm sau : 
Sử dụng thành thạo các cách tính tích phân : Đổi biến số , từng phần .
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
.
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
.
Đặt :
.
Đặt :
Vậy : 
Tính : .
Đặt : 
Vậy : 
Bài 2. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Đặt : 
.
Đặt : 
Vậy : 
Phân tích : 
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
.
Đặt : 
Vậy : 
Bài 3. Tính các tích phân sau :
GIẢI 
Vậy ta có hệ : 
. Vậy : .
.
Đặt : 
.
Đặt : 
Bài 4. Tính các tích phân sau 
GIẢI 
Tính : . Đặt : 
-Tính J. Đặt : 
Do đó : 
- Tính K . 
- Vậy : 
Đặt : 
Vậy : .
-Tính J; 
VIII. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 
Dạng 1. 
Nếu hàm f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên thì : .
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên thì : 
Vì các tính chất này không có trong SGK nên khi tính tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau :
	Bước 1: Phân tích 
	Bước 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số . Đặt t=-x
	- Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J=-K su