Toán học - Bài tập nâng cao tổng hợp căn bậc hai, căn bậc ba

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Rút gọn biểu thức
a.  √12 − 2√18 + 5√3 √3 + 5√6
b.  3√√20 − 2 2√80 + 2√6√45
c.  5 − √13 + √48
d.  √15 + √60 + √180 + √84
Xem lời giải tại:
2. Cho biểu thức:
A =
√x + 1
√x − 2
+
2√x
√x + 2
+
2 + 5√x
4 − x
a.  Rút gọn A nếu x ≥ 0; x ≠ 4
b.  Tìm x để A = 2
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh đẳng thức:
a. 
√a2 + x2 + √a2 − x2
√a2 + x2 − √a2 − x2
−
a4
x4
− 1 =
a2
x2
 ; với |a| > |x|
b. 
5 + 2√6
√3 + √2
2
−
5 − 2√6
√3 − √2
2
= 4√6
( )
√
√
√
( ) ( )
c. 
x√x − y√y
√x − √y
+ √xy : √x + √y 2 = 1 ; với (x > 0; y > 0; x ≠ y)
Xem lời giải tại:
4. Cho biểu thức 
A =
1
2√a − 2
−
1
2√a + 2
+
√a
1 − a
a.  Rút gọn A
b.  Tính giá trị của A biết a =
4
9
c.  Tìm a để |A| =
1
2
Xem lời giải tại:
5. Cho biểu thức 
C =
√x − 2
x − 1
−
√x + 2
x + 2√x + 1
.
(1 − x)2
2
a.  Rút gọn C nếu x ≥ 0; x ≠ 1
b.  Tìm x để C dương
c.  Tìm giá trị lớn nhất của C
Xem lời giải tại:
6. Cho biểu thức 
R =
√x
√x − 2
−
4
x − 2√x
.
1
√x + 2
+
4
x − 4
 với x > 0; x ≠ 4
a.  Rút gọn R
b.  Tính giá trị của R khi x = 4 + 2√3
c.  Tìm giá trị của x để R > 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
Xem lời giải tại:
7. Tính giá trị của các biểu thức sau
a. 
1 + √x 2 − 4√x
1 − √x
 ; với x = 2
b. 
√x − √y 2 + 4√xy
1 + √xy
 ; với x = ‐ 2; y = ‐3
c. 
x + y
y
.
x3y2 + 2x3y2 + xy4
x2 + 2xy + y2
 với x = 2; y = 1
Xem lời giải tại:
8. Cho biểu thức P =
x + 2√x + 1
√x
a.  Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0; x ≠ 1
b.  Tính giá trị của P biết x =
2
2 + √3
Xem lời giải tại:
9. Cho biểu thức P = a − √a
a.  Biết a > 1 , hãy so sánh P và Q = |P|
b.  Tìm a để P = 2
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Xem lời giải tại:
( )
( )
√
10. Cho biểu thức P =
√x + 1
√x − 1
a.  Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên
b.  Tìm các giá trị của x để P = √x
Xem lời giải tại:
11. Cho biểu thức P =
√x + 1 2
√x
> 0 với ∀x > 0 . 
Tìm giá trị của x thỏa mãn P. √x = 6√x − 3 − √x − 4
Xem lời giải tại:
12. Cho biểu thức P =
1 − √x + x
√x
 với x > 0; x ≠ 1
a.  Tính giá trị của P biết x = 7 − 4√3
b.  Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Xem lời giải tại:
13. Thực hiện phép tính
a.  2√6 − 4√3 + 5√2 −
1
4√8 .3√6
b.  2√2 2 − 3√3 + 1 − 2√2 2 + 6√6
c.  20√300 − 15√675 + 5√75 :√15
( )
( )
( ) ( )
( )
d. 
1
3
1
2
−
2
3
3
2
+
2
7
1
6
:
2
7
1
8
Xem lời giải tại:
14. Tính:
a.  √6 + 2√5 + √6 − 2√5
b. 
2√12 − √6
2√6 − √3
+
10 + √5
2√15 + √3
c. 
3 + 2√2
17 + 12√2
+
3 − 2√2
17 − 12√2
d.  √9 − 2√18. 9 + 6√ √5 − √3 √5 + √3
Xem lời giải tại:
15. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. 
a + b − 2√ab
√a − √b
:
1
√a + √b
= a − b với a > 0; b > 0 và a ≠ b
b. 
3√2 + √6
√12 + 2
−
√54
3
.
2
√6
= − 1
c.  2 +
a − √a
√a − 1
. 2 −
a + √a
1 + √a
= 4 − a với a > 0 và a ≠ 1
d. 
3 + 2√3
√3 + 2
+
2 + √2
√2 + 1
: √2 + √3 = 1
Xem lời giải tại:
( √ √ √ ) √
√ √
√ ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
16. Thực hiện phép tính 
a. 
1
√5 − √2
−
1
√5 + √2
+ 1 .
1
√2 + 1 2
b. 
3 + 2√3
√3
+
2 + √2
√2 + 1
− 2 + √3
c.  0, 1√( − 3)2. 6. −
1
3
2
− √3 − 2 2
2
d. 
3 9
5
− 3
3
−
9
5
+ 4
3 1
3
: 2
3 1
3
Xem lời giải tại:
17. Giải các phương trình sau 
a.  √48x −
75x
4
+
x
3
− 5
x
12
= 12
b.  √3 − x − √27 − 9x + 1, 25√48 − 16x = 6
c. 
5√x − 2
8√x + 2, 5
=
2
7
d.  √9x2 + 12x + 4 = 4
Xem lời giải tại:
18. Rút gọn các biểu thức sau 
a. 
2 − √3
2
+
1 − √3
2
( ) ( )
( )
[ √( ) √( ) ]
(√ √ √ ) √
√ √ √
√
b.  3√2 + √6 √6 − 3√3
c. 
√7 − 4√3
√6 − 2√2
d. 
√9 + 4√5
5 + √20
Xem lời giải tại:
19. Cho biểu thức 
P =
10√x
x + 3√x − 4
−
2√x − 3
√x + 4
−
√x + 1
1 − √x
a.  Rút gọn P
b.  Chứng minh P > ‐ 3
c.  Tìm GTLN của P
Xem lời giải tại:
20. Cho biểu thức
P =
√x
√x − 1
+
3
√x + 1
−
6√x − 4
x − 1
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P <
1
2
Xem lời giải tại:
21. Cho hai biểu thức P =
x + 3
√x − 2
và Q =
√x − 1
√x + 2
+
5√x − 2
x − 4
 với x > 0; x ≠ 4
a.  Tính giá trị biểu thức P khi x = 9
b.  Rút gọn biểu thức Q
( )
c.  Tìm giá trị của x để 
P
Q
 đạt giá trị nhỏ nhất
Xem lời giải tại:
22. Cho biểu thức:
A =
2√x − 9
x − 5√x + 6
−
√x + 3
√x − 2
−
2√x + 1
3 − √x
a.  Rút gọn A
b.  Tính giá trị biểu thức của P khi x =
2
3 − √5
c.  Tìm x để P < 1
d.  Tìm x để P có giá trị nguyên
Xem lời giải tại:
23. Cho biểu thức
M =
a2 + √a
a − √a + 1
−
2a + √a
√a
+ 1
a.  Rút gọn P
b.  Biết a > 1. Hãy so sánh M và √M
c.  Tìm a để P = 2
d.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Xem lời giải tại:
24. Tìm các số x, y, z biết
x + y + z + 11 = 2√x + 4√y − 1 + 6√z − 2
Xem lời giải tại:
25. Cho a > 0, b > 0 và 
1
a
+
1
b
= 1. CMR: √a + b = √a − 1 + √b − 1
Xem lời giải tại:
26. Cho a >0 ; b>0 ; c>0. Chứng minh
a.  a + b ≥
4ab
1 + ab
b. 
a
b
+
b
c
+
c
a
≥ 3
Xem lời giải tại:
27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = √x − 2 + √y − 3 biết x + y = 6
Xem lời giải tại:
NÂNG CAO
BÀI TẬP LIÊN QUAN
28. So sánh các số sau:
A = 2√1 + 2√3 + 2√5 + . . . + 2√19 và 
B = 2√2 + 2√4 + 2√6 + . . . + 2√18 + 2√20
Xem lời giải tại:
29. Tìm x, y nguyên thỏa mãn √x + √xy − √y = 2
Xem lời giải tại:
30. Cho xy + √ 1 + x2 1 + y2 = a
Hãy tính S = x√1 + y2 + y√1 + x2 theo a.
Xem lời giải tại:
31. Chứng minh rằng: 
2 + √3
√2 + √2 + √3
+
2 − √3
√2 − √2 − √3
= √2
Xem lời giải tại:
32. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau:
A =
3
√20 + 14√2 +
3
√20 − 14√2
( )( )
Xem lời giải tại:
33. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau:
A =
20
3 + √5 + √2 + 2√5
Xem lời giải tại:
34. Tính giá trị của biểu thức 
B = 1 +
1
12
+
1
22
+ 1 +
1
22
+
1
32
+ . . . + 1 +
1
992
+
1
1002
Xem lời giải tại:
35. Với mỗi k nguyên dương ta đặt Sk = √2 + 1 k + √2 − 1 k
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, n (m>n) thì: 
Sm+ n + Sm− n = Sm. Sn
Xem lời giải tại:
36. Chứng minh rằng: 
3 3
√2 − 1 =
3 1
9
−
3 2
9
+
3 4
9
Xem lời giải tại:
37. Cho biểu thức sau:
A =
1
1 − √x
+
1
1 + √x
:
1
1 − √x
−
1
1 + √x
+
1
1 − √x
√ √ √
( ) ( )
√ √ √ √
( ) ( )
a.  Rút gọn A
b.  Tìm giá trị của A khi x = 7 + 4√3
c.  Với giá trị nào của x thì nghịch đảo của A có giá trị nhỏ nhất.
d.  Với giá trị nào của x thì A. √x nhận giá trị nguyên.
e.  Tìm giá trị của A khi |x| =
1
9
Xem lời giải tại:
38. Chứng minh rằng nếu |x| ≥ |y| thì
|x + y| + |x − y| = x + √x2 − y2 + x − √x2 − y2 .
Xem lời giải tại:
39. Cho biểu thức P = √a + 6 + 6√a − 3 + √a + 6 − 6√a − 3
Tính giá trị của biểu thức với a ≥ 3
Xem lời giải tại:
40. Chứng minh rằng phương trình x5 + x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là 
x =
1
3
1 −
3 25 + √621
2
−
3 25 − √621
2
Xem lời giải tại:
41. Chứng minh rằng số x0 = 2 + √2 + √3 − 6 − 3√2 + √3 là một nghiệm
của phương trình x4 − 16x2 + 32 = 0
| | | |
( √ √ )
√ √
Xem lời giải tại:
42. Chứng minh rằng x =
3
√9 + 4√5 +
3
√9 − 4√5 là nghiệm của phương trình 
x3 − 3x − 18 = 0 từ đó hãy tìm x.
Xem lời giải tại:
43. Với x ≥ 9, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
√x − 9
5x
Xem lời giải tại:
44. Cho a, b > c và c > 0. Chứng minh rằng: √c(a − c) + √c(b − c) ≤ √ab
Xem lời giải tại:
45. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a
b + c + d
+
b
c + d + a
+
c
d + a + b
+
d
a + b + c
> 2
Xem lời giải tại:
46. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 1. Chứng minh 
x2
√1 − x2
+
y2
√1 − y2
+
z2
√1 − z2
≥ 2
√ √ √ √
Xem lời giải tại: