Toán cơ bản và nâng cao về góc và đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
BÀI TẬP
1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường phân giác của góc 
^
OBO ′  cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. So sánh các góc 
^
BOC và 
^
BOD
Xem lời giải tại:
2. Cho đường tròn (O ; R) với dây cung AB. Gọi H là trung điểm của AB và I là
điểm chính giữa của cung AB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thằng hàng.
b.  Cho cung 
⌢
CD cũng nhận điểm I làm điểm chính giữa . Chứng minh rằng CD //
AB hoặc CD trùng với AB.
Xem lời giải tại:
3. Cho (O), dây cung AB. Các điểm C và D di chuyển trên (O) sao cho 
⌢
AC =
⌢
BD.
Trong trường hợp nào thì dây CD có độ dài là một hằng số?
Xem lời giải tại:
4. Cho đường tròn (O ; R) với hai tiếp tuyến AB, AC. Một tiếp tuyến khác di động
nằm trên cung lớn 
⌢
CB của (O) cắt các tia AB, AC theo thứ tự ở P và Q. Gọi P’ và Q’
lần lượt là giao điểm của OP và OQ với (O). Kẻ OI vuông góc với P’ Q’. Chứng
minh rằng điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
5. Cho (O ; R). Vẽ hai dây cung AB = R√2 và AD = R sao cho tia AO nằm giữa hai
tia AB và AD. Vẽ dây cung BC song song với AD.
a.  Chứng minh rằng BD = AC
b.  Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M. Chứng minh rằng tam giác MBC
là tam giác đều.
Xem lời giải tại:
6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). MN là dây cung của (O) song
song với BC ( M, N nằm trên cung nhỏ BC và M nằm giữa B và N).
a.  Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang cân.
b.  AM cắt BC tại E. Chứng minh rằng AB.AC = AN.AE.
Xem lời giải tại:
7. Cho (O) , điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MA tới (O), A là tiếp điểm;
Kẻ cát tuyến MBC của (O) ( B nằm giữa M và C ). Chứng minh rằng MA2 =
MC.MB. (Hệ thức lượng trong đường tròn).
Xem lời giải tại:
8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt (O) tại
A và B, cắt (O’) tại C và D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, E và F
lần lượt là hai tiếp điểm với (O) và (O’). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là
giao điểm của EB và CF. Chứng minh rằng:
a.  MENF là hình chữ nhật.
b.  MN vuông góc với AD.
c.  ME.MA = MF.MD.
Xem lời giải tại:
9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B , tiếp tuyến tại A với (O) cắt
(O’) tại D. Tiếp tuyến tại (B) của (O’) cắt (O) tại C. Chứng minh rằng AC.AD2 =
BD.BC2.
Xem lời giải tại:
10. Từ một điểm A nằm bên ngoài (O) , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi BD
là dây cung của đường tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với (O). I là
giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.
Xem lời giải tại:
11. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O) , bán kính 5cm. Tiếp tuyến với
nửa đường tròn tại C cắt tia phân giác của Bˆ tại K. Giao điểm của BK và AC là D
và BD = 4cm. Tính độ dài BK.
Xem lời giải tại:
12. Cho hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau của (O) và M là điểm thuộc
bán kính OA . Kẻ dây cung DE đi qua M, tiếp tuyến tại E cắt đường thẳng AB tại
F.
a.  Chứng minh rằng tam giác FME cân và MF2 = FA.FB.
b.  FD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng FM tiếp xúc với đường tròn
ngoại tiếp tam giác MDN.
Xem lời giải tại:
13. Cho ΔABC nội tiếp (O). Các tia phân giác của Bˆ, Cˆ cắt nhau tại I và cắt
đường tròn lần lượt tại D, E. Dây DE cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh:
a.  ΔAMN, ΔEAI, ΔDAI là các tam giác cân.
b.  Tứ giác AMIN là hình thoi.
Xem lời giải tại:
14. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy
các điểm I và K sao cho 
⌢
AI =
⌢
AK. Dây IK cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E.
a.  Chứng minh: 
^
ADK =
^
ACB
b.  ΔABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.
Xem lời giải tại:
15. Cho (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD⊥AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên
cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường
thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng AB tại I.
Chứng minh rằng:
a.  ΔINE, ΔINF là các tam giác cân.
b.  AI =
AE + AF
2
.
Xem lời giải tại:
16. Trên (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa của
các cung AB, BC, AC. Gọi I là giao điểm của BP và AN, E là giao điểm của NM và
AB, D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔBNI cân
b.  AE. BN = EB. AN
c.  EI / /BC
d. 
AN
BN
=
AB
BD
Xem lời giải tại:
17. Từ điểm M nằm ngoài (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và
B; C nằm giữa M và D). Biết sđ
⌢
AB = 1100, sđ
⌢
AC = 300, sđ
⌢
CD = 700. 
a.  Tính các góc của tứ giác ABDC
b.  Gọi I là giao điểm của AD và BC. Tính 
^
BMD,
^
BID
Xem lời giải tại:
18. Cho (O) có đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn sao cho 
sđ
⌢
AC = 220. Trên nửa đường tròn còn lại (không chứa điểm C) lấy điểm D chính
giữa 
⌢
AB và lấy điểm E sao cho sđ
⌢
BE = 560. Gọi I là giao điểm của BD và CE, K là
giao điểm của BE và CD, H là giao điểm của AB và CD.
a.  Tính 
^
BIC,
^
BKC
b.  Chứng minh ΔKBH cân
c.  Chứng minh BO. EK = BE. OH.
Xem lời giải tại:
19. Cho (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại E nằm ngoài đường tròn (A nằm
giữa B và E, C nằm giữa E và D). Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC
tại F. Kẻ tiếp tuyến FG (G là tiếp điểm) với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a.  2
^
EFC =  sđ
⌢
AB +  sđ
⌢
CD
b.  ΔFEC ∼ ΔFBE từ đó suy ra EF = FG.
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác ABC có AB ≠ AC, góc B và C là các góc nhọn. Kẻ đường cao AH,
trung tuyến AM trong đó 
^
BAH =
^
MAC. Hãy tính 
^
BAC.
Xem lời giải tại:
21. Qua điểm A nằm ngoài (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến
của (O) tại B và C cắt nhau tại K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt (O)
tại E và F ( E nằm giữa K và F ). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh
rằng:
a.  Tứ giác EMOF nội tiếp.
b.  AE và AF là các tiếp tuyến của (O)
Xem lời giải tại:
22. Cho hình thang ABCD nội tiếp (O). Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E,
các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm A, D, O, E cùng thuộc một đường tròn
b.  Tứ giác AOCF nội tiếp.
Xem lời giải tại:
23. Trong 
^
AOB < 900 lấy một điểm C. Kẻ CD⊥OA (D ∈ OA), CE⊥OB (E ∈ OB)
. Từ điểm D và điểm E kẻ DN⊥OB (N ∈ OB), EM⊥OA (M ∈ OA). Chứng minh 
OC⊥MN.
Xem lời giải tại:
24. Cho hình vuông ABCD, điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C và vuông
góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F, tia CM cắt đường thẳng AD tại
N. Chứng minh:
a.  Các tứ giác AMCF, ANEC nội tiếp đường tròn
b.  CM + CN = EF
Xem lời giải tại:
25. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt (O’) tại C, tia
O’A cắt (O) tại D. Chứng minh:
a.  Tứ giác OO’CD nội tiếp.
b.  Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC không có góc tù. Đường cao AH và đường trung tuyến AM không
trùng nhau (H, M ∈ BC). Gọi N là trung điểm của AB. Cho biết 
^
BAH =
^
CAM. 
a.  Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
b.  Tính 
^
BAC = ?
Xem lời giải tại:
27. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax,
By với nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O cắt Ax, By lần lượt tại C và
D. Hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = R2
b.  ΔCDE cân
c.  CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
28. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn. Trên Ax lấy điểm M sao cho AM = R√3. Vẽ tiếp tuyến MC (C là tiếp
điểm) của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC tại D. Gọi E là giao
điểm của AD với OM, F là giao điểm của MC với OD.
a.  Chứng minh BD // OM
b.  Các tứ giác OBDM, AODM là hình gì?
c.  EF là tiếp tuyến của (O).
Xem lời giải tại:
29. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính
AOC, AO’D. Đường thẳng AC cắt (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt (O) tại F. Chứng
minh:
a.  Ba điểm C, B, D thẳng hàng
b.  Tứ giác CDEF nội tiếp
c.  A là tâm đường tròn nội tiếp của ΔBEF.
Xem lời giải tại:
30. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC (B nằm
giữa A và C) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh:
a.  AT2 = AB. AC
b.  AB. AC = AH. AO
c.  Tứ giác OHBC nội tiếp.
Xem lời giải tại:
31. Cho ΔABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ dây AD // BC. Tiếp tuyến
tại A và B của đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng
minh rằng:
a. 
^
AIB =
^
AOB
b.  Năm điểm E, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn
c.  IO⊥IE.
Xem lời giải tại:
32. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động
M và N sao cho CM = CN. Vẽ CF⊥BN tại E (F ∈ AD).
a.  Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhật
b.  Chứng minh năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định
tâm O của đường tròn đó.
c.  Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBF vuông cân
d.  Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh ba
điểm K, C, D thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
33. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với
nhau tại I (điểm B thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh:
a.  Tứ giác ABCD là hình thang cân
b.  Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB và COD bằng tổng diện tích hai hình
quạt tròn AOD và BOC (các hình quạt tròn ứng với các cung nhỏ).
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC, AB = AC. Từ một điểm M trên cạnh BC kẻ MD / /AB (D ∈ AC);
ME / /AC (E ∈ AB). Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE. Chứng minh:
a.  ΔBEN cân
b.  Các tứ giác ADEN, ANBC nội tiếp.
Xem lời giải tại:
35. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cung
AB ( không chứa điểm C và D). Gọi giao điểm của MC và MD với AB lần lượt là E
và F, giao điểm của AD và MC là I, giao điểm của BC và MD là K. Chứng minh:
a. 
^
CID =
^
CKD
b.  Tứ giác CDFE nội tiếp
c.  IK // AB
d.  Giả sử ba điểm A, B, C cố định còn D di động trên cung ACB. Chứng minh tâm
đường tròn ngoại tiếp ΔAFD chuyển động trên một đường thẳng cố định.
Xem lời giải tại:
36. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua A kẻ
đường thẳng d⊥AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC và trên đó lấy điểm M
bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt (O) tại N (N ≠ M), tia DB cắt
(O) tại P (P ≠ B). Chứng minh: 
a.  Tứ giác ABMD nội tiếp
b.  Tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (O)
c.  AD // NP
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây AD // BC (AD <
BC), AC cắt BD tại I. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M.
Đường cao AH của ΔABC (H ∈ BC), kéo dài AH cắt (O) tại E. 
a.  Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp
b.  Tính 
^
MIO = ?
c. 
^
BCE =
^
OCA.
Xem lời giải tại:
38. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc trên nửa
đường tròn sao cho BA = R. Gọi D là chính giữa của cung BC. Vẽ các nửa đường
tròn (O1) đường kính AB và nửa đường tròn (O2) đường kính CD ra phía ngoài 
ΔABC và ΔDBC, chúng cắt AD lần lượt tại E và F.
a.  Chứng minh BE // CF
b.  ΔAEB, ΔAFC là các tam giác vuông cân
c.  Tính diện tích các hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB, CD của nửa
đường tròn (O) theo R.
Xem lời giải tại:
39. Trên đường tròn (O; R) cho dây cung BC cố định. Một điểm A di chuyển trên
cung lớn BC (A ≠ B, C). Hai đường cao AE và BF của ΔABC cắt nhau tại H (
E ∈ BC, F ∈ AC). Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Gọi K là hình chiếu
của O trên BC. Chứng minh:
a.  Tứ giác ABEF nội tiếp
b.  ΔABC ∼ ΔEFC
c.  H và I đối xứng với nhau qua BC
d.  Tỉ số 
AH
OK
 không đổi và H di chuyển trên một cung tròn cố định khi A di
chuyển trên cung lớn BC.
Xem lời giải tại:
40. Cho ΔABC đều. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm di động M và N
sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của BN và CM.
a.  Chứng minh BN = CM
b.  Đường tròn ngoại tiếp ΔOMN luôn đi qua một điểm cố định
c.  Tìm quỹ tích điểm O.
Xem lời giải tại:
41. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cố định (B nằm giữa A và C). Một đường tròn
(O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D (M nằm
trên cung nhỏ BC). Tia AN cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là F. Hai dây
BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh:
a.  Tứ giác DEFN nội tiếp
b.  AD. AE = AF. AN
c.  Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO
BÀI TẬP
42. Cho tam giác đều ABC. Lấy cạnh BC của tam giác làm đường kính dựng ra
phía ngoài tam giác nửa đường tròn (O). Trên nửa đường tròn (O) lấy hai điểm
K và L chia nửa đường tròn này thành ba cung bằng nhau: 
⌢
BK =
⌢
KL =
⌢
LC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AK và AL chia đoạn thẳng BC thành ba phần
bằng nhau.
Xem lời giải tại:
43. Cho (O), dây AB của (O) không phải đường kính. M là trung điểm của AB,
quá M dựng hai dây cung CD và PQ, CQ và PD cắt AB tại E và F. Chứng minh rằng
ME = MF.
Xem lời giải tại:
44. Hãy chứng minh rằng trong một tam giác , đường tròn ngoại tiếp đi qua ba
trung điểm của các đoạn nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm ba đường tròn
bàng tiếp của tam giác.
Xem lời giải tại:
45. Cho ΔABC nội tiếp trong (O). Các tia phân giác của Aˆ, Bˆ, Cˆ cắt (O) lần lượt
tại A’, B’, C’.
Chứng minh: AA ′ + BB ′ + CC ′ > AB + BC + AC
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC đều, nội tiếp (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. Gọi M là
giao điểm của AB và CI, N là giao điểm của AC và BI. Chứng minh:
a.  BC2 = BM. CN
b. 
^
AIN có số đo không đổi.
Xem lời giải tại:
47. Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên (O). Gọi M là giao điểm của AB và
CD, N là giao điểm của AD và BC.
a.  Tính các góc của tứ giác ABCD, biết 
^
AMD = 300,
^
BND = 400
b.  Hai phân giác của Mˆ và Nˆ cắt nhau tại I. Chứng minh IM⊥IN.
Xem lời giải tại:
48. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi M, N, P lần lượt là điểm nằm
chính giữa của các cung nhỏ 
⌢
AB,
⌢
BC,
⌢
CA. MN cắt AB tại K; NP cắt AC tại H; MP
cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh:
a.  KH / /BC
b.  AI⊥MP (I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC)
Xem lời giải tại:
49. Chứng minh rằng chân các đường vuông góc kẻ từ một điểm thuộc đường
tròn ngoại tiếp tam giác đến ba cạnh của tam giác ấy nằm trên một đường thẳng.
( Bài toán: Đường thẳng Simson )
Xem lời giải tại:
50. Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm di động theo thứ tự nằm giữa B, C
và C, D sao cho 
^
EAF = 450. Hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt cắt BD tại M và N.
Vẽ AH⊥EF (H ∈ EF). Chứng minh:
a.  Ba đường thẳng AH, FM, EN đồng quy
b.  Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
c.  SAMN = SMNFE.
Xem lời giải tại:
51. Cho ΔABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔAMN
luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Xem lời giải tại:
52. Cho hai điểm O và P cố định. Cho 
^
xOy = 600 quay quanh điểm O sao cho
điểm P luôn nằm trong góc đó. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của P trên Ox và
Oy. Đường thẳng PK cắt Ox tại A, đường thẳng PH cắt Oy tại B.
a.  Chứng minh HK, AB có độ dài không đổi
b.  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OP và AB. Chứng minh tứ giác MKNH nội
tiếp
c.  Chứng minh trung điểm I của HK di động trên một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
53. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm cố định nằm giữa A và
B. Lấy D trên nửa đường tròn. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với CD lần
lượt cắt các tiếp tuyến Ax, By tại M và N. Gọi P là giao điểm của AD và CM, Q là
giao điểm của BD và CN. Chứng minh:
a.  PQ // AB
b.  CM. CN ≥ 2AC. BC
Xem lời giải tại:
54. Cho ΔABC, đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm
đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB lần lượt là I và K.
Chứng minh các đường thẳng BI, CK là các đường cao của ΔABC.
Xem lời giải tại:
55. Từ các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh đối
diện cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC lần lượt tại các điểm A’, B’, C’. Mỗi cung
AA’, BB’, CC’ được chia làm 3 phần bằng nhau. Nối 3 điểm chia gần A, B, C nhất
được một tam giác. Hỏi đó là tam giác gì, chứng minh.
Xem lời giải tại:
56. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng xy. Hai đường tròn bất kì tiếp xúc ngoài
với nhau tại T và cũng tiếp xúc với đường thẳng xy tại A và B. Tìm quỹ tích của
những tiếp điểm T đó.
Xem lời giải tại:
57. Cho hai đường tròn bằng nhau (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm A và B
sao cho AB = R. Kẻ các đường kính AOC và AO’D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
(khác B, C). Gọi giao điểm thứ hai của tia MB với (O’) là P, giao điểm của các tia
CM, PD là Q và giao điểm của các tia MP, AQ là K. Tính tỉ số 
AK
AQ
.
Xem lời giải tại:
58. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến
chung MN cắt đường thẳng OO’ tại I (M, N lần lượt nằm trên (O), (O’)). Chứng
minh đường thẳng IA tiếp xúc với đường tròn đi qua ba điểm M, N, A.
Xem lời giải tại:
59. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm D trên cung BC không chứa A.
Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. 
BC
DH
=
AC
DI
+
AB
DK
b.  H, I, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
60. Cho các cạnh của một tam giác là a, b, c; diện tích của tam giác đó là t thỏa
mãn: (a + b + c)(a + b − c) = 4t. Chứng minh đó là tam giác vuông.
Xem lời giải tại:
61. Cho hình thang ABCD (AD // BC). Chứng minh rằng nếu đồng thời AD > BC
và AC > BD thì AB > CD.
Xem lời giải tại:
62. Cho hình bình hành ABCD và một điểm P nằm ở ngoài hình bình hành đó sao
cho 
^
PAB =
^
PCB (đỉnh A và C nằm ở hai phía đối với đường thẳng PB). Chứng
minh: 
^
APB =
^
DPC.
Xem lời giải tại:
63. Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 
R1 = 3 cm; R2 = 6 cm. Một dây AB của đường tròn (O; R2) tiếp xúc với đường
tròn (O; R1) tại C.
a.  Tính độ dài cung nhỏ AB của đường tròn (O; R2)
b.  Tính độ dài đường tròn đường kính AB
Xem lời giải tại: