Tài liệu Toán học - Bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
LÝ THUYẾT
Để giải PT và BPT vô tỷ (chứa căn) thông thường ta có hai phương pháp cơ bản là nâng lên lũy thừa và đặt ẩn số phụ. Ngoài ra còn có một số cách khác như sử dụng bất đẳng thức (để đánh giá hai vế), sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số, v.v thường được dùng để giải các PT và BPT không mẫu mực.
I. Phương pháp nâng lên lũy thừa:
1. Các dạng cơ bản:
Ví dụ 1: 
Ví dụ 2: 
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1)
Giải: 
Vậy (1) có nghiệm (2) có nghiệm trong . Tức là tìm m để (2) có nghiệm trong . Ta tìm m để (2) không có nghiệm trong .
Trường hợp 1: (2) vô nghiệm 
Trường hợp 2: (2) có nghiệm 
Từ 
Vậy giá trị m cần tìm là 
2. Các dạng khác:
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Nhận xét: Phương trình không có dạng cơ bản, ta khử căn bằng cách bình phương thông thường.
Giải: Điều kiện 
So với điều kiện Nghiệm là 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
Giải: Điều kiện 
Từ Nghiệm là 
Nhận xét: Lúc đầu ta phải chuyển vế (2) rồi mới bình phương. Lý do là vế trái của (2) là hiệu của hai biểu thức không âm nên không đảm bảo vế trái không âm, do đó phải chuyển vế để hai vế không âm rồi mới bình phương.
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Giải: Phương trình (3) luôn luôn có nghĩa. Lập phương hai vế:
II. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Phương pháp đặt ẩn số phụ rất thường được áp dụng để giải PT và BPT vô tỷ trong các trường hợp phương pháp nâng lên lũy thừa làm cho PT và BPT phức tạp, không giải được. Việc chọn và đặt ẩn số là rất đa dạng, nhưng thông thường ta chọn và đặt ẩn phụ là những yếu tố giống nhau để biến đổi phức tạp về đơn giản.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế cho đến lúc hết căn sẽ dẫn đến một bất phương trình bậc 4. Do đó ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giảm bậc. Trong bất phương trình trên có một yếu tố giống nhau giữa các căn thức là 
Giải: 
Điều kiện . Đặt: Khi đó:
Từ 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Nhận xét: Đây là dạng phương trình không đơn giản, chắc chắn bình phương hai vế sẽ không cho ta lời giải. Do đó ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để biến đổi phức tạp về đơn giản. Ta nhận thấy quan hệ 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt: . Khi đó: 
Từ 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Nhận xét: Đối với một PT hoặc BPT căn bậc cao thì rất tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giảm bậc. Ta nhận thấy đối với PT trên chỉ đặt 1 ẩn phụ là không đủ.
Giải: 
Điều kiện: . Đặt: 
Từ đó ta có: . Từ (5) thế vào (4) 
Vậy ta có: . 
Từ 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình 
Nhận xét: Ta nhận thấy (4) có thể viết thành 
Ta cũng nhận thấy 
Giải: 
Điều kiện: 
Đặt: với 
Khi đó: 
Từ 
Từ 
Chú ý: Giải thích cho như sau: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
III. Các phương pháp khác:
Như đã nói ở trên, trong một số trường hợp, ta có thể giải PT và BPT vô tỷ nói riêng và PT và BPT nói chung bằng một số cách không đặc trưng như: dùng bất đẳng thức, sử dụng tính chất của hàm số, phương pháp đồ thị, 
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Giải: 
Ta có: 	Vế trái 
	Vế phải 
Do đó dấu “=” chỉ có thể xảy ra khi . Vậy nghiệm phương trình là 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Xét hàm số . Tập xác định: 
Đạo hàm . Ta có 
Bảng biến thiên:
	2	
 + 0	 -
	 2
Từ đó: đạt được khi hay 
Xét 
Do đó dấu “=” chỉ có thể xảy ra khi . Vậy nghiệm phương trình là 
Chú ý: Ta có thể nhận xét bằng bất đẳng thức Bunhiacopski như ví dụ sau đây.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 
Giải: 
Điều kiện: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
Từ dấu “=” chỉ xảy ra khi