Tài liệu ôn thi: Giải toán trên máy tính Casio

án.
Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) và f(2n+1) = f(2n) + 1 với mọi n nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của n khi 1 ≤ n ≤1994.
-- Giải --
Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; .
Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số 1 lớn nhất trong biểu diễn cơ số 2 của các số nhỏ hơn 1994. Vì 1994 < 211 – 1 nên f(n) có nhiều nhất là 10 chữ số. Ta có f(1023) = f(11111112) = 10. Vậy giá trị lớn nhất là 10.
Lưu y: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) bằng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 của n.
Chứng minh: 
1) n chẵn thì n = 2m = 102.m. Vì m và n = 102.m có cùng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 (trong hệ cơ số 2, khi nhân một số với 2 = 102, ta chỉ thêm số 0 vào cuối số đó). Theo quy nạp (vì m < n), f(m) bằng đúng chữ số 1 của m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) cũng bằng đúng chữ số 1 của m, tức là n.
2) n lẻ thì n = 2m + 1 = 102.m + 1 khi ấy n có số chữ số 1 nhiều hơn m là 1. Ta có: f(n) = f(2m + 1) = f(m) + 1. Áp dụng quy nạp ta có, f(m) bằng đúng số chữ số 1 của m nên f(n) cũng bằng đúng số chữ số 1 của m cộng 1, tức là bằng đúng số chữ số 1 của n.
Nhận xét: 	@ Dạng toán này là dạng toán khó, thường rất ít xuất hiện trong các kỳ thi “Giải toán bằng máy tính bỏ túi Casio”, nhưng sử dụng phương pháp hệ cơ số giúp chúng ta phân tích được một số bài toán từ đó sử dụng các phương pháp chứng minh toán học và các nguyên lý để giải. Nói cách khác, đây là một phương pháp giải toán.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Tìm cơ số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630)q chia hết cho 7. Biểu diễn số a với q tìm được trong cơ số 10. (HD: áp dụng tính chất chia hết)
Bài 2: Hai người chơi lần lượt lấy ra số viên sỏi bất kì từ một trong ba đống sỏi. Người nhặt viên sỏi cuối cùng sẽ thắng. Người đi trước thường thắng. Vì sao? (HD: sử dụng hệ cơ số 2)
Bài 3: (Vô địch Trung Quốc, 1995) Cho f: N -> N thỏa mãn f(1) = 1 và f(2n) < 6f(n), 3f(n).f(2n+1) = f(2n).(1+3f(n)) với mọi n nguyên dương. Tìm mọi nghiệm của phương trình f(k) + f(n) = 293. (HD: Vì 3f(n)+1 và 3f(n) là nguyên tố cùng nhau nên f(2n) = 3pf(n), suy ra p nguyên dương. f(2n) = 3f(n) và f(2n + 1) = 3f(n)+1 dẫn đến: Với số n viết trong hệ cơ số 2 thì f(n) có đúng các chữ số của n viết trong hệ cơ số 3).
Bài 4: Xác định tất cả các hàm số f: N -> R thỏa mãn f(1) = 1; nếu n chẵn, nếu n lẻ. (HD: Dùng qui nạp chứng minh: f(n) chính là số chữ số của n viết trong cơ số 2)
Bài 5: Giả sử f: N -> N thỏa mãn f(1) = 1; f(3) = 3 và với mọi n nguyên dương thì f(2n) = f(n); f(4n+1)=2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) – 2f(n). Tìm số n ≤ 1988 mà f(n) = n.
VI. Dạng 6: DÃY TRUY HỒI
Dạng 6.1. Dãy Fibonacci
6.1.1. Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v và giả sử tất cả các con thỏ đều sống.
	Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?
-- Giải --
- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.
- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2.
- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 3.
- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa đẻ. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ.
Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, 
Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)
Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.
Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:
u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1	(với n 2)
Dãy có quy luật như trên là dãy Fibonacci. un gọi là số (hạng) Fibonacci.
6.1.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh được số hạng thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức sau: (*)
Chứng minh
Với n = 1 thì ; Với n = 2 thì ;
Với n = 3 thì ;
Giả sử công thức đúng tới n k. Khi ấy với n = k + 1 ta có:
Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.
6.1.3. Các tính chất của dãy Fibonacci:
1. Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1
Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có: 
	u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)
2. Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = 
Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm như sau: 
	u25 = = 2332 + 1442 = 7502.
3. Tính chất 3: 
4. Tính chất 4: 
5. Tính chất 5: 
6. Tính chất 6: 
7. Tính chất 7: 
8. Tính chất 8: trong đó là nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0, tức là 
Nhận xét:	F Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy Fibonacci mà không cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy. Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính được (kết quả không hiển thị được trên màn hình). Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8 giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể của Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó. Dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực.
6.1.4. Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử
	6.1.4.1. Tính theo công thức tổng quát
Ta có công thưc tổng quát của dãy: . Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
Muốn tính n = 10 ta ấn , rồi dùng phím một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 
	6.1.4.2. Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
	----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
(21)
Chú ý: F Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất. Đối với máy fx-500 MS thì ấn , đối với máy fx-570 MS có thể ấn hoặc ấn thêm để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi.
Dạng 6.2. Dãy Lucas
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1	(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci. 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
	----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
b. Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17
Ấn các phím: (u13 = 2584)
 (u17 = 17711) Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711
Dạng 6.3. Dãy Lucas suy rộng dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1	(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> lấy u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím: 	
Dạng 6.4. Dãy phi tuyến dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u32+ u22 = u4 gán vào A
	----> lấy u42+ u32 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím: 	
b. Tính u7
	Ấn các phím: (u6 =750797) 
	Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165
	Kết qủa: u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính. Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209.
Dạng 6.5. Dãy phi tuyến dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 ----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> Tính u4 gán vào A
	----> Tính u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 	
Dạng 6.6. Dãy Fibonacci suy rộng dạng
	Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 ----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	 ----> gán u3 = 2 vào biến nhớ B
	 ----> tính u4 đưavào C
Lặp lại các phím: 	 ----> tính u5 gán biến nhớ A
	 ----> tính u6 gán biến nhớ B
	 ----> tính u7 gán biến nhớ C
Bây giờ muốn tính un ta và, cứ liên tục như vậy n – 7 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 (u10 = 149)
Dạng 6.7. Dãy truy hồi dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> tính u5 gán vào B
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n 2). 
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím:
b. Tính u7 ?
Ấn các phím: (u7 = 8717,92619)
	Kết qủa: u7 = 8717,92619
Dạng 6.8. Dãy phi tuyến dạng 
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1?
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Dạng 6.9. Dãy Fibonacci tổng quát 
	Tổng quát: trong đó u1, u2, , uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u.
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng.
Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng. Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.
Ví du: Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u1 = a vào biến nhớ A 
	----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím: --> Tính u3 gán vào A
	 --> Tính u4 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét: 	@ Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao. Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần.
	@ Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, ) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
	@ Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1.
a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 
Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1.
a. Tính u3; u4; u5; u6; u7. b. Viết qui trình bấm phím để tính un. c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25.
Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số 
a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy. b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un.
c. Lập một qui trình tính un. d. Tìm các số n để un chia hết cho 3.
Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1.
a. Lập một quy trình tính un+1 b. Tính u2; u3; u4; u5, u6 c. Tìm công thức tổng quát của un.
Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; . Tìm số dư của un chia cho 7.
Bài 6: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương.
Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3 
Tìm giá trị a100?
Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm. b. u2002 chia hết cho 11.
Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: 
u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = với mọi n = 0, 1, 2, 3, .
Chứng minh rằng: 
a. chia hết cho 20 b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=?
Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) 
Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u14 của dãy?
Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) 
a.Cho . Tính ?
b. Cho . Tính ?
c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2). Tính u12 ?
Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức, n là số tự nhiên, n >= 1. Biết x 1 = 0,25. Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100?
VII. Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
	Phương trình sai phân là một trong những dạng toán khó và phức tạp, nó không được nhắc đến trong các sách giáo khoa phổ thông hiện tại (cả sách cấp 2 và cấp 3) mà chỉ được nguyên cứu trong các trường đại học, cao đẳng. Đối với toán phổ thông chỉ được viết dưới dạng các bài toán thực tế như lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số  nhưng trong các kỳ thi HSG gần đây dạng toán này thường xuyên xuất hiện, nhất là các kỳ thi cấp khu vực. Trong phần này chỉ trình bày các kiến thức cơ bản và đơn giản nhất về phương trình sai phân bậc hai và các dạng toán có liên quan đến các kỳ thi HSG bậc THCS.
	Yêu cầu: Các thí sinh (trong đội tuyển trường THCS Đồng Nai) phải nắm vững các kiến thức cơ bản về dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phương pháp tuyến tính hóa.
7.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:
	Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số có dạng: trong đó a0; b, c là hằng số.
	Nghiệm tổng quát: 
Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng: có nghiệm tổng quát .
Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là có hai nghiệm thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt () khi ấy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: trong đó C1, C2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: .
-- Giải --
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Với n = 0 ta có: 
Với n = 1 ta có: 
Giải hệ => 
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: 
Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng: trong đó C1, C2 là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: .
-- Giải --
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Với n = 0 ta có: 
Với n = 1 ta có: 
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: 
Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng: trong đó ; C1, C2 là hằng số tự do xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: 
-- Giải --
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức . 
Ta có: 
Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Với thì C1 = 1 và => C2 = 0.
Vậy nghiệm tổng quát có dạng: .
Bài tập Tìm nghiệm un của các phương trình sau:
a. 
b. c. 
7.2. Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2:
7.2.1. Mở đầu:
Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; .
	Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; .
Ví dụ: Tính giá trị dãy: 
7.2.2. Phương pháp tuyến tính hóa:
7.2.2.1. Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:
Ví dụ 1: Cho dãy . Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho?
 Giải Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng: 	(*)
Cho n = 1; 2; 3 ta được 
Thay vào (*) ta được hệ: => 
Vậy 
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên.
7.2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
-- Giải --
Ta thấy (với mọi n) vì nếu un = 0 thì un-1 = 0 hoặc un-2 = 0 do đó u2 = 0 hoặc u1 = 0. Vô lí.
Đặt khi ấy có phương trình đặc trưng có nghiệm .
Công thức nghiệm tổng quát: . Với n = 0; 1 ta có: .
Vậy hay 
7.2.2.3. Phương pháp biến đổi tương đương:
Ví dụ 3: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
 Giải Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: .
Thay n + 1 bởi n ta được: .
Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được: 
Do nên 
Suy ra có phương trình đặc trưng có nghiệm 
Công thức nghiệm tổng quát 
Từ các giá trị ban đầu suy ra: 
Vậy số hạng tổng quát: 
Bài tập
Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau: 
Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: 
7.3. Một số dạng toán thường gặp:
7.3.1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:
Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số . Lập công thức truy hồi để tính theo , .
-- Giải --
Cách 1:
Giả sử (*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được .
Thay vào (*) ta được hệ phương trình : => 
Vậy 
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.
Cách 2:
Đặt khi ấy chứng tỏ là nghiệm của phương trình đặc trưng do đó ta có: và 
Suy ra: 
Vậy 
hay 
tức là .
7.3.2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số(*). Tìm công thức tổng quát un của dãy?
Giải
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là: có hai nghiệm 
Vậy 
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: => 
Vậy số hạng tổng quát .
7.3.3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến