Tài liệu ôn tập phần Giải tích Lớp 12

 0 : 
3
abc
3
cba
 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. 
 * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d 
 (ac + bd)
2
 (a
2
 + b
2
).(c
2
 + d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : 
 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. 
 Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I. 
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I : 
 Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x I. 
 f(x) m : (C) dưới (d) (hay cắt) 
 f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt) 
III- LƯỢNG GIÁC 
1. Đường tròn lượng giác : 
 Trên đường tròn lượng giác, góc đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 
1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2 . 
 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 
6
 (
3
1
 cung phần tư) và 
4
(
2
1
 cung phần tư) 
 x = + 
n
k2
 : là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 
2. Hàm số lượng giác : 
3. Cung liên kết : 
 * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ). 
 * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ 
 * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 
2
 (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 
4. Công thức : 
 a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. 
 b. Cộng : đổi góc a b, ra a, b. 
2 2 0 
+ 
2 
0 
2 
0 A 
x+k2 
M 
cos 
chiếu 
sin 
M 
cotg 
chiếu xuyên tâm 
tg 
M 
 8 
 c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. 
 d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. 
 e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. 
 f. Đưa về 
2
a
tgt : đưa lượng giác về đại số. 
 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / 2. 
 h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b. 
5. Phương trình cơ bản : sin = 0 cos = – 1 hay cos = 1 = k , 
sin = 1 = 
2
+ k2 ; sin = –1 = – 
2
+ k2 , 
cos = 0 sin = –1 hay sin = 1 = 
2
+ k , 
cos = 1 = k2 , cos = – 1 = + k2 
 sinu = sinv u = v + k2 u = – v + k2 
 cosu = cosv u = v + k2 
 tgu = tgv u = v + k 
 cotgu = cotgv u = v + k 
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c 
 * Điều kiện có nghiệm : a
2
 + b
2
 c
2
 * Chia 2 vế cho 
22
ba , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. 
 (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 
2
u
tgt ) 
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : 
 Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. 
 Đặt : t = sinu + cosu = 
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : 
 Đặt : 
2 1
2 0 2
4 2
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu 
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 
 Đặt : 
2
1 t
t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 
 Đặt : 
21
2 0 2
4 2
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu 
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : 
 Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức 
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 
12. Phương trình toàn phương mở rộng : 
 * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u. 
 * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : 
 Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : 
 * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. 
 * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. 
 * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi + x. 
 * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng 
 * t = tg
2
x
 : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 
 9 
14. Phương trình đặc biệt : 
 * 
0v
0u
0vu
22
 * 
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
 * 
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
 * sinu.cosv = 1 
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 * sinu.cosv = – 1 
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 1. 
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg 
 a. Dạng 1 : 
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân, 
 thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : 
byx
ayx
 b. Dạng 2 : 
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. 
 c. Dạng 3 : 
nyx
m)y(F/)x(F
. 
 Dùng tỉ lệ thức : 
db
ca
db
ca
d
c
b
a
 biến đổi phương trình (1) rồi dùng 
 công thức đổi + thành x. 
 d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 
16. Toán : 
 * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = 
 * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. 
 * A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2) 
 A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ; 
 A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2) 
 Dùng các tính chất này để chọn k. 
 * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : 
 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2bc.cosA 
 * pr
R4
abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
 )cp)(bp)(ap(p 
 * Trung tuyến : 
222
a
ac2b2
2
1
m 
 * Phân giác : ℓa = 
cb
2
A
cosbc2
 10 
IV- TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa, công thức, tính chất : 
 * F là 1 nguyên hàm của f f là đạo hàm của F. 
 Họ tất cả các nguyên hàm của f : 
 dx)x(f = F(x) + C (C R) 
 * 
1
u
du u C ; u du C
1
, – 1 
u u
du
ln u C; e du e C;
u
Caln/adua
uu
 sinudu cosu C ; Cusinuducos 
 Cgucotusin/du
2
 ; Ctguucos/du
2
 * 
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
 * 
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0 
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf( 
2. Tích phân từng phần : 
 udv uv vdu 
 Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. 
a. 
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex 
b. xlnu:xlnx
n
c. dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
 từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 
3. Các dạng thường gặp : 
a. xcos.xsin
1n2m
 : u = sinx. 
 xsin.xcos
1n2m
 : u = cosx. 
 xcos.xsin
n2m2
 : hạ bậc về bậc 1 
b. xcos/xtg
n2m2
 : u = tgx (n 0) 
 xsin/xgcot
n2m2
 : u = cotgx (n 0) 
c. chứa a
2
 – u2 : u = asint 
 chứa u
2
 – a2 : u = a/cost 
 chứa a
2
 + u
2
 : u = atgt 
d. )xcos,x(sinR , R : hàm hữu tỷ 
 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx 
 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx 
 11 
 R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx u = cotgx 
 R đơn giản : 
2
x
tgu 
2/
0
x
2
uđặtthử: 
0
xuđặtthử: 
e. 
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x 
f. 
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x 
g. 
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
h. )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u 
i. chứa (a + bx
k
)
m/n
 : thử đặt u
n
 = a + bx
k
. 
4. Tích phân hàm số hữu tỷ : 
 )x(Q/)x(P : bậc P < bậc Q 
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
 + bx + c ( < 0) 
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : 
n
n
2
21n
)ax(
A
...
)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax 
atgtuđặt:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2 
5. Tính diện tích hình phẳng : 
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : 
b
a
D
dx)x(fS 
 f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở . ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của 
đường tròn lượng giác. 
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) 
 (C') : y = g(x) : 
b
a
D
dx)x(g)x(fS 
 Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. 
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 
 / 
b
D
a
S f(x) g(x) dx 
 / 
b
D
a
S f(y) g(y) dy 
 Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. 
 Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. 
x=b x=a 
f(x) 
g(x) 
y=a 
f(y) 
y=b 
g(y) 
 12 
 Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. 
 Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. 
 Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, 
hàm . . 
 Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay 
trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y 
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : 
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : 
b
a
2
dx)x(fV 
b. 
b
a
2
dy)y(fV 
c. 
b
a
22
dx)]x(g)x(f[V 
d. 
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V 
e. 
b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV 
f. 
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV 
 Chú ý : xoay quanh (Ox) : ...dx ; xoay quanh (Oy) : ... dy. 
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Tìm lim dạng 
0
0
, dạng 1
 : 
a. Phân thức hữu tỷ : 
1
1
ax
1
1
axax Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(P
lim 
b. Hàm lg : 1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
a b 
f(x) 
a 
b f(y) 
b 
f(x) 
g(x) 
a 
f(y) 
a 
g(y) 
b 
f(x) 
g(x
0) 
a b 
a b c 
f(x) -g(x) 
b 
c 
f(y) 
-g(y) a 
 13 
c. Hàm chứa căn : )0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax
, dùng lượng liên hiệp : 
 a
2
 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức e)u1(lim
u/1
0u
2. Đạo hàm : 
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : 
o
o
oxx
0
xx
)x(f)x(f
lim)x('f 
 Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : 
 .lim)x(f,lim)x(f
oxx
o
/
oxx
o
/
 Nếu )x(f)x(f
o
/
o
/
 thì f có đạo hàm tại xo. 
b. Ý nghĩa hình học : 
 k = tg = f
/
(xM) 
c. f
/
 + : f , f
/
 – : f 
 f
//
 + : f lõm , f
//
 – : f lồi 
d. f đạt CĐ tại M 
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 f đạt CT tại M 
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 M là điểm uốn của f f
//
(xM) = 0 và f
//
 đổi dấu khi qua xM. 
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
 = 0, (x )
/
 = x
–1
 , (lnx)
/
 = 1/x , 
a
1
log x
x lna
, (e
x
)
/
 = e
x
 (a
x
)
/
 = a
x
.lna, (sinx)
/
 = cosx , (cosx)
/
 = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, 
 (cotgx)
/
 = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ , 
 (u/v)
/
 = (u
/
v – uv/)/v2 
 * Hàm hợp : (gof)
/
 = g
/
[f(x)] . f
/
(x) 
 * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]
g(x)
 hay f(x) dạng tích, thương, 
chứa 
n
... 
f. Vi phân : du = u
/
dx 
3. Tiệm cận : 
ylim
ax
 x = a : tcđ 
 bylim
x
 y = b : tcn 
 0)]bax(y[lim
x
 y = ax + b : tcx 
* Vẽ đồ thị có tiệm cận : 
 - t c đ : khi y càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c . 
 - t c x :khi x và y càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c. 
 - t c n :khi x càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c. 
x a 
y 
x 
y b b 
x 
y 
M 
f(x) 
 14 
* Xét 
)x(Q
)x(P
y 
 Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) 0 
 Có tcn khi bậc P bậc Q : với x , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất 
của Q. 
 Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : 
)x(Q
)x(P
bax)x(f
1
, tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – , có 
thể chia Honer. 
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : 
c
y ax b
dx e
 ( d 0 ) 
 a 0, c 0 : có tcđ, tcx 
 a = 0, c 0 : có tcn, tcđ. 
 c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 
4. Đồ thị các hàm thường gặp : 
 a/ y = ax + b : 
 b/ y = ax
2
 + bx + c 
 c/ y = ax
3
 + bx
2
 + c + d 
 a> 0 : 
 a < 0 : 
 d/ y = ax
4
 + bx
2
 + c 
 a > 0 
 a < 0 
 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c 0) 
 ad - bc > 0 ad - bc < 0 
 f/ y = 
edx
cbxax
2
 (ad 0) 
 ad > 0 
 ad < 0 
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : 
 g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) 
 g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) 
a > 0 
a < 0 a = 0 
a > 0 a < 0 
y
 > 0 
y
 < 0 
y
 = 0 
 ab 0 
y
 < 0 
y
 > 0 
y
= 0 
 x a 
 a 
 x = a 
 y < b 
 y > b 
 b y = b 
 15 
 (C
/
) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). 
 (C
/
) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) 
 a/ Điểm cố định : M(xo, yo) (Cm), m yo = f(xo, m), m Am + B = 0, m (hay Am
2
 + Bm + C = 0, m) 
0B
0A
 (hay 
0C
0B
0A
). Giải hệ, được M. 
 b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo) (Cm), m yo f(xo,m), m yo = f(xo, m) VN m Am + B = 0 VN 
m (hay Am
2
 + Bm + C = 0 VN m) 
0B
0A
 (hay 
0
0A
0C
0B
0A
). Giải hệ , được M. 
 Chú ý : C
B
A
 VN B = 0 
VNBCA
0B
 c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm 
vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x , bậc 3, trùng phương. 
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : 
a. (C) : y = f(x), tx (C
/
) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : 
/
C
/
C
/
/
C
C
yy
yy
. Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp 
điểm. 
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) 
 * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. 
 * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = 
số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). 
 * // ( ) : y = ax + b : (d) // ( ) (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 
 * ( ) : y = ax + b (a 0) : (d) ( ) (d) : y = 
a
1
x + m. Tìm m nhờ đk tx. 
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), 
M(xo,yo) (C
/
) g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : 
ky
yy
C
/
dC
 (1). Thế k vào (1) được phương 
trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay 
yo. 
8. TƯƠNG GIAO : 
 * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. 
 * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C
/
m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để 
pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) va ø (d) : 
y = m có n điểm chung. 
 * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C
/
m) : 
 Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C
/
m) = số điểm chung của (C) 
và (d). 
 PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
 + bx + c = 0 (x ) hay dạng bậc 3 : x = f(x) = 0 : lập , 
xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 
9. CỰC TRỊ : 
 * f có đúng n cực trị f
/
 đổi dấu n lần. 
 * f đạt cực đại tại xo 
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
 16 
 f đạt cực tiểu tại xo 
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị f có CĐ và CT /f
 > 0 
 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : 
 Bên phải (d) : x = y
/
 = 0 có 2 nghiệm < x1 < x2. 
 Bên trái (d) : x = y
/
 = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < . 
 1 bên (Ox) 
0
0
/f
CD CTy .y
 2 bên (Ox) 
0
0
/f
CD CTy .y
 * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). 
 * Tính yCĐ.yCT : 
 Hàm bậc 3 : y = y
/
 (Ax + B) + (Cx + D) 
 yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y
/
 = 0. 
 Hàm bậc 2/ bậc 1 : 
v
u
y 
 yCĐ.yCT = 
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y
/
 = 0. 
 * Đường thẳng qua CĐ, CT : 
 Hàm bậc 3 : y = Cx + D 
 Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
 / v
/
 * y = ax
4
 + bx
2
 + c có 1 cực trị ab 0, 3 cực trị ab < 0 
10. ĐƠN ĐIỆU : 
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : 
 i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) 
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) 
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 
 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. 
 Ngoài ra ta còn có : 
 + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. 
 + hàm số tăng trên ( , x1) 
 + hàm số tăng trên (x2, + ) 
 + hàm số giảm trên (x1, x2) 
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 
 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : 
 + hàm số giảm trên ( , x1) 
 + hàm số giảm trên (x2, + ) 
 + hàm số tăng trên (x1, x2) 
b. Biện luận sự biến thiên của y = 
1bậc
2bậc
i) Nếu a.m > 0 và y
/
 = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. 
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
 = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. 
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 
1 2
x x p
2 m
. 
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 
1 2
x x p
2 m
. 
 17 
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến 
(nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y
/
 = 0 với . 
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : 
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số 
điểm chung. 
b. Với pt mũ, log, ., , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt 
đồ thị f. 
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : 
 Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M (C) : F(x, y) = 0; giới 
hạn quỹ tích : M tồn tại m ? xo ? (hay yo ?) 
 Nếu xo = a thì M (d) : x = a. 
 Nếu yo = b thì M (d) : y = b. 
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : 
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) 
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : 
 F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. 
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
 = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : 
đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng 
là trục tung X = 0, tức x = a. 
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : 
M N I
M N I
M M
N N
x x 2x
y y 2y
y f(x )
y f(x )
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt (d) là 
 (d') : y = – 
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo 
m; A, B đối xứng qua (d) I (d) 
 m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. 
14. Tìm điểm M (C) : y = ax + b + 
edx
c
 có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e Z) : giải hệ 
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MM
ccủasốướcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) 
 Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, ma