Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán - Chuyên đề 8: Lượng giác

Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
 TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
.
I. Đơn vị đo góc và cung:
 1. Độ:
 2. Radian: (rad)
 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
3600
Radian
0
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
(điểm gốc)
(điểm ngọn)
(tia gốc)
(tia ngọn)
 1. Định nghĩa:
 2. Đường tròn lượng giác:
 Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) 
y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang 
u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
 a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= . 
 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
 T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
 Ta định nghĩa:
 b. Các tính chất :
Với mọi ta có : 
c. Tính tuần hoàn 
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
 Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
 Góc
Hslg
 00
300
450
 600
900
1200
1350
1500
1800
3600
0
sin
0
1
0
0
cos
1
0
-1
1
tg
0
1
kxđ
-1
0
0
cotg
kxđ
1
0
-1
kxđ
kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
 Đó là các cung :
	1. Cung đối nhau : (tổng bằng 0) (Vd: ,)
	2. Cung bù nhau : ( tổng bằng ) (Vd: ,)
	3. Cung phụ nhau : ( tổng bằng ) (Vd: ,)
	4. Cung hơn kém : (Vd: ,)
	5. Cung hơn kém : (Vd: ,)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : 
Bù sin
Đối cos
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 
Phụ chéo
Hơn kém 
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
5. Cung hơn kém :
Hơn kém 
tang , cotang
 Ví dụ 1: Tính , 
 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 
VI. Công thức lượng giác:
 1. Các hệ thức cơ bản:
 Ví dụ: Chứng minh rằng:
 1. 
 2. 
 2. Công thức cộng :
 Ví dụ: Chứng minh rằng:
 3. Công thức nhân đôi:
4 Công thức nhân ba:
 5. Công thức hạ bậc:
 6.Công thức tính theo 
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
 Ví dụ: 
 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: 
 2. Tính giá trị của biểu thức: 
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
 Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 
 9. Các công thức thường dùng khác:
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác 
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
 ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và )
Ví dụ : Giải phương trình:
 1. 2. 	
 3. 4. 	 
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( )
	* Gpt : sinx = m (1)
Nếu thì pt(1) vô nghiệm
Nếu thì ta đặt m = sin và ta có
 * Gpt : cosx = m (2)
Nếu thì pt(2) vô nghiệm
Nếu thì ta đặt m = cos và ta có
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm )
 Đặt m = tg thì 
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm )
 Đặt m = cotg thì 
Các trường hợp đặc biệt:
 Ví dụ: 
 1) Giải các phương trình :
	 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
 2) Giải các phương trình:
 a) c) 
	 b) d) 
	 e) 
2. Dạng 2: 
 ( )
 Cách giải: 
	Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
	Ta được phương trình : (1)
	Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
 	 Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
	 Ví dụ :
	 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
 g) h) 
 k) l) 	 	 
3. Dạng 3: 
 Cách giải: 
 Chia hai vế của phương trình cho thì pt
 (2)
Đặt với thì :
	 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
 Chú ý :
 Ví dụ : Giải các phương trình :
	 a) b) 
 c) d) 
	 e) 
d. Dạng 4: 
 (1)
Cách giải 1:
	Aùp dụng công thức hạ bậc : 
	và công thức nhân đôi : thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
	Chia hai vế của pt (1) cho ta được pt:
	Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
	Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
d. Dạng 5:
 (1)
Cách giải :
Đặt 
 Do 
Thay vào (1) ta được phương trình :
 (2)
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: tìm x.
 Ví dụ : Giải phương trình :
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : 
 Ví dụ : Giải phương trình :
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng 
 giác cơ bản đã biết 
 Ví dụ: Giải phương trình:
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số 
 Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
 hoặc 
 Ví dụ : Giải các phương trình :
	a. b. 
	c. d. 
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
 Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
	a. 
	b. 
	c. 
 d. 
* Phương trình có chứa 
Ví dụ : Giải phương trình : 	a. 
b.