Tài liệu kiến thức môn Đại số Lớp 11 - Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
cosin
O
cotang
 sin 
tang
p
A
M
Q
B
T'
a
T
1.	Định nghĩa các giá trị lượng giác:
	Nhận xét: 
	· 
	· tana xác định khi ,	
	· cota xác định khi 
2.	Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
II
IV
sina
+
+
–
–
cosa
+
–
–
+
tana
+
–
+
–
cota
+
–
+
–
3.	Hệ thức cơ bản: 
sin2a + cos2a = 1; 	tana.cota = 1
4.	Cung liên kết: 
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung phụ nhau
Cung hơn kém p
Cung hơn kém 
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
0
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin
0
1
0
–1
0
cos
1
0
–1
0
1
tan
0
1
–1
0
0
cotg
1
0
–1
0
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng: 
Hệ quả: 
III. CÔNG THỨC NHÂN
1.	Công thức nhân đôi:
 	 	sin2a = 2sina.cosa
2.	Công thức hạ bậc:	3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan: 
	Đặt: thì: ; ;	 
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1.	Công thức biến đổi tổng thành tích:
2.	Công thức biến đổi tích thành tổng:
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Vấn đề 1: 	TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
: Tập xác định D = R; tập giá trị ; hàm lẻ, chu kỳ .
*	y = sin(ax + b) có chu kỳ 
*	y = sin(f(x)) xác định xác định.
: Tập xác định D = R; Tập giá trị ; hàm chẵn, chu kỳ .
*	y = cos(ax + b) có chu kỳ 
*	y = cos(f(x)) xác định xác định.
: Tập xác định; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ .
*	y = tan(ax + b) có chu kỳ 
*	y = tan(f(x)) xác định 
: Tập xác định; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ .
*	y = cot(ax + b) có chu kỳ 
*	y = cot(f(x)) xác định .
*	y = f1(x) có chu kỳ T1 ; 	y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 	c/ 	
	d/ 	e/ 	f/ 
	g/ 	h/ 	i/ y = 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	a/ y = 	b/ 	c/ 	
	d/ 	e/ 	f/ 
	g/ y = sinx + cosx	h/ y =	i/ y = 
 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
	a/ y = sin2x	b/ y = 2sinx + 3	c/ y = sinx + cosx
	d/ y = tanx + cotx	e/ y = sin4x	f/ y = sinx.cosx
	g/ y = 	h/ y = 	i/ y = 
	Tìm chu kỳ của hàm số:
	a/ 	b/ 	c/ 	
	d/ 	e/ 	f/ 
	g/ 	h/ 	i/ y = tan(-3x + 1)
ĐS:	a/ b/ 6p. c/ d/ 4p. e/ p.	f/ 70p.	 g/ p.	 h/ i/ 
Vấn đề 2: 	ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/	Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
–	Tìm tập xác định D.
–	Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
–	Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
–	Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
	 hoặc .
–	Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2/	Một số phép biến đổi đồ thị:
a/	Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.
b/	Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.
c/	Đồ thị được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
1
0
p
2p
y = sinx
–1
y 
x
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
–	Tập xác định: D = R.
–	Tập giá trị: 
–	Chu kỳ: T = 2p.
–	Bảng biến thiên trên đoạn 
x
0
y
1
0
–1
0
0
–	Tịnh tiến theo véctơ ta được đồ thị y = sinx.
Nhận xét:
–	Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
1
0
p
2p
y = cosx
–1
y 
x
–	Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên 
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.
–	Tập xác định: D = R.
–	Tập giá trị: 
–	Chu kỳ: T = 2p.
–	Bảng biến thiên trên đoạn 
x
0
y
0
–1
0
1
1
–	Tịnh tiến theo véctơ ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:
–	Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
–	Hàm số nghịch biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng 
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.
x
y
O
y = tanx
–	Tập xác định: D = R
–	Tập giá trị: R.
–	Giới hạn: 
	 là tiệm cận đứng.
–	Chu kỳ: T = p.
x
0
y
0
–¥
+¥
–	Bảng biến thiên trên :
– Tịnh tiến theo véctơ ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:
–	Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
–	Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.
x
y
O
y = cotx
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.
–	Tập xác định: D = R
–	Tập giá trị: R.
–	Giới hạn: 
	tiệm cận đứng: x = 0, x = p.
–	Chu kỳ: T = p.
–	Bảng biến thiên trên đoạn :
x
0
y
0
+¥
–¥
–	Tịnh tiến theo véctơ ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:
–	Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
–	Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. 
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
–	Vẽ đồ thị y = sinx.
y
x
–2p
2p
p
O
-p
y = –sinx
1
–1
–	Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = ½sinx½
p
2p
p
O
y = /sinx/
y
1
x
 Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
–	Vẽ đồ thị y = cosx.
–	Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị lên trục hoành 1 đơn vị. 
x
0
p
y = cosx
1
0
–1
0
1
y = 1 + cosx
2
1
0
1
2
–	Bảng biến thiên trên đoạn :
O
y = 1 + cosx
y 
x
-p
p
y = cosx
2
1
–1
Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.
–	y = sin2x có chu kỳ T = p.
–	Bảng biến thiên trên đoạn :
x
0
2x
0
y = sin2x
0
–1
0
1
0
O
y 
x
p
1
y = sin2x
–1
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
–	y = cos2x có chu kỳ T = p.
–	Bảng biến thiên trên đoạn :
x
0
2x
0
y = cos2x
–1
0
1
0
–1
O
y 
x
1
y = cos2x
–1
Ví dụ 10: Vẽ đồ thị có chu kỳ T = 2p.
x
–
0
0
0
–1
0
1
0
O
y 
x
y = sin
1
–1
x
–
0
0
–1
0
1
0
Ví dụ 11: Vẽ đồ thị có chu kỳ T = 2p.
Ví dụ 12: Vẽ đồ thị có chu kỳ T = 2p.
x
–
0
0
–1
0
1
0
–1
–1
0
1
1
0
–1
1
1
0
1
1
0
1
O
y 
x
y = 
1
–1
O
y 
x
y = 
1
x
0
cosx
–1
0
1
0
–1
sinx
0
–1
0
1
0
cosx – sinx
–1
0
1
1
0
–1
–1
1
0
1
1
0
1
1
Ví dụ 13: Vẽ đồ thị có chu kỳ T = 2p.
y
x
o
y = cosx – sinx
y
x
o
y = ½cosx – sinx½
Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.
–	Tập xác định: 
x
0
tanx
–1
0
1
cotx
 0
–1
1
0
y = 
tanx + cotx
–¥
2
–¥
+¥
2
+¥
–	Chu kỳ T = p.
x
y
y = tanx + cotx
2
–2
O
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.	Phương trình sinx = sina
	a/	
	b/	
	c/	
	d/	
	e/ 	
Các trường hợp đặc biệt:
2.	Phương trình cosx = cosa
	a/	
	b/	
	c/	
	d/	
	e/	
Các trường hợp đặc biệt:
3.	Phương trình tanx = tana
	a/	
	b/	
	c/	
	d/	 
	e/ 	
Các trường hợp đặc biệt:
4.	Phương trình cotx = cota
Các trường hợp đặc biệt:
5.	Một số điều cần chú ý:
	a/	Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
	*	Phương trình chứa tanx thì điều kiện: 
	*	Phương trình chứa cotx thì điều kiện: 
	*	Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện 
	*	Phương trình có mẫu số:
	·	
	·	
	·	
	·	
	b/	Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:
	1.	Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
	2.	Dùng đường tròn lượng giác.
	3.	Giải các phương trình vô định.
Giải các phương trình: 
	1) 	2) 	3) 
	4) 	5) 	6) 
	7) 	8) 	9) 
	10) 	11) 	12) 
	13) 	14) 	15) cos(2x + 250) = 
Giải các phương trình: 
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 	
	11) 	12) 	
	13) 	14) 
	15) 	16) 	
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng
Đặt
Điều kiện
t = sinx
t = cosx
t = tanx
t = cotx
	Nếu đặt: 
Giải các phương trình sau:
	1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 	2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 
	3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 	4) 	
	5) 	6) 
	7) tan2x + cot2x = 2 	8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0
Giải các phương trình sau:
	1) 4sin23x + = 4	2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
	3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13	4) 
	5) + tan2x = 9	6) 9 – 13cosx + = 0
	7) = cotx + 3	8) + 3cot2x = 5
	9) cos2x – 3cosx = 	10) 2cos2x + tanx = 
Cho phương trình . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc.
Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc .
Giải phương trình : .
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
·	Chia hai vế phương trình cho ta được: 
(1) Û 
·	Đặt: 
	phương trình trở thành: 	
·	Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
·	(2) 
Cách 2: 
a/	Xét có là nghiệm hay không?
b/	Xét 
Đặt: ta được phương trình bậc hai theo t: 
	Vì nên (3) có nghiệm khi: 
	Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 
	Ghi chú: 
	1/	Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
	2/	Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 
	3/	Bất đẳng thức B.C.S:
Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 
6) 
Giải các phương trình sau:
1) 	2) 
3) 	4) cosx – 
5) sin5x + cos5x = cos13x	6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2	2) cosx + 4sinx – = 0
3) cosx + 4sinx = –1	4) 2sinx – 5cosx = 5
Giải các phương trình sau:
1) 2sin + sin = 	2) 
Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
·	Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
	Lưu ý: cosx = 0 
·	Khi , chia hai vế phương trình (1) cho ta được: 
·	Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
	 (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và 	cos2x)
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0
Giải các phương trình sau:
1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0	2) 
Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm.
Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô 	nghiệm .
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
·	Đặt: 
·	Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa Suy ra x.
Lưu ý dấu:
·	
·	 
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
·	Đặt: 
·	Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải các phương trình:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0	6) 
Giải các phương trình:
	1) 	2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
	3) 	4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
	5) sin2x + 	
	6) 
Giải các phương trình:
	1) sin3x + cos3x = 1 + sinx.cosx	2) 2sin2x – 
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Giải các phương trình sau:
	1) sin2x = sin23x	2) sin2x + sin22x + sin23x = 
	3) cos2x + cos22x + cos23x = 1	4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 
Giải các phương trình sau:
	1) sin6x + cos6x = 	2) sin8x + cos8x = 
	3) cos4x + 2sin6x = cos2x	4) sin4x + cos4x – cos2x + – 1 = 0
Giải các phương trình sau:
	1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx	2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
	3) sin3x + cos3x = cos2x	4) sin2x = 1 + cosx + cos2x
	5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x	6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
	7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x	
	8) sinx + sin2x + sin3x = (cosx + cos2x + cos3x)
Giải các phương trình sau:
	1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x	2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
	3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
	4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
Giải các phương trình sau:
	1) sinx + sin3x + sin5x = 0	2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
	3) cos2x – cos8x + cos6x = 1	4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx
Giải các phương trình sau:
	1) sin3x + cos3x + = cosx + sin3x
	2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x