Tài liệu Chuyên đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

 ta chọn VTPT của   cũng chính là VTPT của   và viết 
thành phương trình: 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   biết nó đi qua điểm M và song song với mặt phẳng 
  
Giải: 
   //   nên ta chọn VTPT của   chính là VTPT của   
 a)  , 0;0;1      Oxyn n i j k 
Từ đó phương trình qua M nhận 
n làm VTPT là: 
      0 2 0 1 1 5 0 5 0.        x y z z 
 b)  2; 1;0   n n 
Từ đó phương trình qua M nhận 
n làm VTPT là: 
      2 1 1 2 0 1 0 2 4 0.         x y z x y 
Bài tập 
1. Viết phương trình mặt phẳng   biết nó đi qua điểm M và song song với mặt phẳng 
  : 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
17 
2. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và song song với các trục toạ độ 
* 
Phương pháp chung 
Cách 1: 
- Tìm toạ độ các vectơ ,AB AC 
- Tìm toạ độ vectơ n sao cho , 
 
n AB AC ...
  
 
   
n AB
do
n AC
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua A hoặc B hoặc C. 
Cách 2: 
 Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm là 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước 
Giải: 
a) 
 
 
2;4; 5
3;3; 7
 
  
AB
AC
Từ đó VTPT  
4 5 5 2 2 4
, ; ; 13;29;18
3 7 7 3 3 3

   
           
n AB AC 
Suy ra phương trình   : 13 29 18 1 0     x y z 
b) 
 
 
2; 1;3
4; 2;1
  
 
AB
AC
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
18 
Từ đó VTPT  
1 3 3 2 2 1
, ; ; 5;14;8
2 1 1 4 4 2

     
        
n AB AC 
Suy ra phương trình   :5 14 8 0   x y z 
Bài tập 
Viết phương trình mặt phẳng   qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước: 
* 
 Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   qua M(1;2;3) và đi qua d:
1 3 2
2 1 4
  
 

x y z
Giải: 
 Chọn điểm A(1;-3;2)  d , d nhận  2; 1;4 u làm VTCP 
  0;5;1AM , do   qua d, A và M nên: 
 
1 4 4 2 2 1
, ; ; 21; 2;10
5 1 1 0 0 5



     
            
n u
n u AM
n AM
Từ đó phương trình cần tìm: 
21( 1) 2( 3) 10( 2) 0 21 2 10 5 0           x y z x y z 
Bài tập 
1. Viết phương trình mặt phẳng   qua M(-4;1;0) và đi qua 
d
M
A
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
19 
d1:
1 2 3
1 2 3
  
 
x y z
d2:
1 3 2
2 1 3
  
 
x y z
d3:
4 1
3 4 6
 
 
x y z
2. Viết phương trình mặt phẳng   qua A(2;-1;-3) và đi qua 
a) Trục hoành 
b) Trục tung 
c) Trục cao. 
* 
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình   đi qua M(0;-1;1) và vuông góc với d:
2 1
2 1 1
 
 

x y z
Giải: 
Do   vuông góc với d nên  2;1; 1 du cũng là một VTPT của   , từ đó phương 
trình   qua M nhận  2;1; 1 du làm VTPT là: 
     2 0 1 1 1 1 0 2 2 0          x y z x y z 
Bài tập 
Viết phương trình   đi qua M(1;2;3) và vuông góc với d:
3 3
1 2
5
  

 
 
x t
y t
z
Đáp số: Bạn đọc tự giải 
* 
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
20 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   qua d:
x 2 x 2 2t
y 2t , d': y 4
z 1 2t z 3 t
    
 
   
     
 cắt nhau 
Giải: 
Các VTCP của d và d’: 
   '0;1; 2 , 2;0; 1    d du u 
Do   chứa cả d và d’ nên  '
1 2 2 0 0 1
, ; ; 1;4;2
0 1 1 2 2 0

   
           
d d
n u u 
Chọn điểm M(2;0;1)  d , từ đó phương trình   : 
     1 2 4 0 2 1 0 4 2 0           x y z x y z 
Bài tập 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau: 
a) d: 
x 1 t
x 1 y 2 z 4
, d': y t
2 1 3
z 2 3t
  
   
   
    
 . 
* 
Dạng 8:   chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1 và d2 chéo 
nhau) 
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình   chứa d1:
6 1
3 4 2
 
 

x y z
 và song song với d2: 1
2 2


 
   
x t
y t
z t
(d1 và d2 chéo nhau) 
Giải: 
d1 nhận  
1
3;4; 2 
d
u làm một VTCP 
d2 nhận  
2
0;1;2
d
u làm một VTCP 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
21 
Do   chứa d1 và song song với d2 nên 
 
1 2
4 2 2 3 3 4
, ; ; 10; 6;3
1 2 2 0 0 1
   
      
 
d d
n u u 
Lấy   10;6; 1 M d , từ đó phương trình   : 
     10 0 6 6 3 1 0 10 6 3 39 0          x y z x y z 
Bài tập 
Viết phương trình   chứa d1: 
3 1
1 2 2
3 1 2
 

 

y z
x
 và song song với d2: 
3
2
2 4
  

 
   
x t
y t
z t
(d1 và d2 chéo nhau) 
Đáp số: Bạn đọc tự giải 
* 
Dạng 9:   đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: 
Giải: 
Bài tập 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
22 
Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M(7;-1;4) và song song với hai đường thẳng 
chéo nhau d1 và d2 trong các trường hợp sau: 
a) 
1 2
1 3
: , :
1 1 2 3 5 8
 
   

x y z x y z
d d 
b) 
* 
Dạng 10:   đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng   
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua d: 
1
1 2 1

 

x y z
 và vuông góc với 
  : 2 4 1 0    x y z . 
Giải: 
 Theo bài ra thì    1;2; 1 , 2;4; 1   du n , do   vuông góc với   và qua d 
nên:  
2 1 1 1 1 2
, ; ; 3; 1;0
4 1 1 2 2 4
 
   
         
d
n u n 
 Chọn M(0;-1;0) thuộc d 
 Từ đó phương trình   qua M nhận n làm VTPT là: 
     3 0 1 1 0 0 0 3 1 0         x y z x y 
Bài tập 
Viết phương trình mặt phẳng   đi qua d: 
2
1 2 2

 

x y z
 và vuông góc với 
  : 5 2 0   x y z . 
Đáp số: 
* 
Dạng 11:   đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau   và   
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
23 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng 
(P), (Q) cho trước, với: 
Giải: 
  nhận  3; 4;3  n làm một VTPT,   nhận  3; 2;5  n làm VTPT 
Từ đó  
4 3 3 3 3 4
, ; ; 14; 6;6
2 5 5 3 3 2
  
   
          
n n n 
 Phương trình   :      14 5 6 1 6 7 0 7 3 3 17 0            x y z x y z 
Bài tập 
Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) 
cho trước, với: 
* 
Dạng 12:   đi qua đường thẳng d cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 13:   tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H 
Phương pháp chung 
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. 
– Một VTPT của (a) là: n IH 
Dạng 14:   tiếp xúc với mặt cầu (S) và có một VTPT 
Phương pháp chung 
- Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu. 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
24 
- (P) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0. 
 Vì (P) có VTPT  n m;n;p mx ny pz D 0     . 
Do (P) tiếp xúc (S)   d I; P r 
Chú ý: 
A B
A B
A B

  
 
. 
Dạng 15:   tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với một mặt phẳng (P) 
Phương pháp chung 
Do   // (P) nên có cùng VTPT, từ đó viết pt   giống dạng 14 
Một vài ví dụ tổng hợp cho vấn đề 
Ví dụ 1: 
Giải: 
Ví dụ 2:
Giải: 
Ví dụ 3: 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
25 
Ví dụ 4: 
Giải: 
Ví dụ 5: 
Giải: 
Ví dụ 6: 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
26 
Ví dụ 7: 
Giải: 
Ví dụ 8: 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
27 
Ví dụ 9: 
Giải: 
Ví dụ 10: 
Giải: 
Bài tập tổng hợp cho vấn đề 
1. 
Đáp số: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
28 
2. 
Đáp số: 
3. 
Đáp số: 
4. 
Đáp số: 
5. 
Đáp số: 
6. 
Đáp số: 
7. 
Đáp số: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
29 
8.   đi qua ba điểm , ,M N P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm  2;3; 5A   
trên các mặt phẳng tọa độ       , , .Oxy Oyz Ozx 
Đáp số: 15 10 6 60 0.x y z    
9.   đi qua ba điểm , ,B G I với ,G I lần lượt là trọng tâm, tâm mặt cầu ngoại tứ diện 
ABCD trong đó        7;9;1 , 2; 3;2 , 5;0;4 , 6;2;5 .A B C D  
Đáp số: 716 3 373 2187 0.x y z    
10.   song song với mặt phẳng   : 2 2 5 0P x y z    và cách điểm  2; 1;4A  một 
khoảng bằng 4. 
Đáp số:    1 2: 2 2 4 0, : 2 2 20 0.x y z x y z         
* 
* * 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
30 
Dạng 1: Đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z có VTCP  1 2 3; ;a a a a 
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;-3) và có VTCP  1;3;5u 
Giải: 
 Phương trình d:
1
2 3
3 5
 

 
   
x t
y t
z t
Bài tập 
Viết phương trình đường thẳng d qua M(0;-1;-2) và có VTCP u trong các trường hợp sau: 
      ) 0;0;1 ) 1; 1;1 ) 2; 1;5  a u k b u c u 
* 
Dạng 2: Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B phân biệt 
Phương pháp chung 
Một VTCP của d là AB , từ đó viết được phương trình d qua A hoặc B 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0;1;1) và B(1;1;-2) 
Giải: 
 1;0; 3 AB , từ đó viết được phương trình d: 
1
1 3



  
x t
y
z t
Vấn đề 
2 
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THOẢ MÃN 
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
31 
Bài tập 
Viết phương trình đường thẳng d qua A(8;2;1) và B(-1;1;1) 
* 
Dạng 3: Đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và song song với đường thẳng  
cho trước 
Phương pháp chung 
d //  nên VTCP của  cũng là VTCP của d 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;1) và song song với 
1 1 1
:
1 2 3
  
  
x y z
Giải: 
 Do d //  nên  1;2;3 du u , từ đó phương trình d:
1
1 2
1 3
 

 
  
x t
y t
z t
Bài tập 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;2) và song song với 
6 4 1
:
3 2 1
  
  
x y z
* 
Dạng 4: Đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và vuông góc với mặt phẳng (P) cho 
trước 
Phương pháp chung 
Ví dụ cho dạng 
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3;2;3) và vuông góc với (P): 
3 6 1 0  x y 
Giải: 
 Từ đó suy ra pt d: 
3 3
2 6
3
 

 
 
x t
y t
z
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
32 
Bài tập 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(4;1;2) và vuông góc với (P): x+z=0 
* 
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 6: Đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và vuông góc với hai đường 
thẳng d1 và d2 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 7: Đường thẳng d đi qua điêm  0 0 0 0; ;M x y z , vuông góc và cắt đường thẳng  
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
33 
* 
Dạng 8: Đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và cắt hai đường thẳng d1 và d2 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 9: Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 
Phương pháp chung 
Tìm các giao điểm 
1
( ) A d P và 
2
( ) B d P . Khi đó phương trình d chính là phương 
trình của AB 
* 
Dạng 10: Đường thẳng d //  và cắt hai đường thẳng d1, d2 
Phương pháp chung 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và d1, mặt phẳng (Q) chứa  và d2. Khi đó 
( ) ( ) d P Q 
* 
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau 
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
34 
* 
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  trên mặt phẳng (P) 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2 
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
35 
Một vài ví dụ tổng hợp cho vấn đề 
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của: 
 a) Đường thẳng Ox 
 b) Đường thẳng Oy 
 c) Đường phân giác góc xOy 
Giải: 
Ví dụ 2: 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
36 
Ví dụ 3: 
Giải: 
Ví dụ 4: 
Giải: 
Ví dụ 5: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
37 
Giải: 
Ví dụ 6: 
Giải: 
Ví dụ 7: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
38 
Giải: 
Ví dụ 8: 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
39 
Bài tập tổng hợp cho vấn đề 
1.  d là đường thẳng đi qua hai điểm    2;3; 1 , 1;2;4 .A B 
2.  d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 2 5 0P x y z    và   : 2 3 0.Q x z   
3.  d đi qua điểm  4;3;1M và song song với đường thẳng  1
1 2
: 3 .
3 2
x t
d y t
z t
 

 
  
4.  d đi qua điểm  4;3;1M và song song với đường thẳng  2
3 0
: .
2 5 4 0
x y z
d
x y z
   

   
5.  d đi qua điểm  2;1;0A  và vuông góc với mặt phẳng   : 2 2 1 0.P x y z    
6.  d đi qua điểm  2;1;0A  và vuông góc với hai đường thẳng  1
1 0
: ,
2 0
x y
d
x z
  

 
 2
2 1 0
:
0.
x y
d
z
  


7.  d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng  
1
2 0
:
3 2 3 0
x z
d
x y z
 

   
 trên mặt phẳng 
  : 2 5 0.P x y z    
8.  d đi qua  1; 1;1A  và cắt cả hai đường thẳng  
1
1 0
:
2 3 0
x y z
d
y z
   

  
 và  
2
1 2
: .
3
x t
d y t
z t
 


  
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
40 
9.  d song song với đường thẳng  
3
: 1
5
x t
a y t
z t


 
  
 và cắt hai đường thẳng 
 
1 2 2
:
1 4 3
x y z
b
  
  và  
4 3 0
: .
2 1 0
x y z
c
x y z
   

   
10.  d nằm trong mặt phẳng   : 2 0y z   và cắt hai đường thẳng  1
1
:
4
x t
d y t
z t
 


 
 và 
 
2
2
: 4 2 .
1
x t
d y t
z
 

 
 
11. (CĐ GTVT, 2003)  d đi qua giao điểm của   : 2 1 0P x y z    và 
 
1
1 2
: ,
2 1 3
x y z
d
 
 

 vuông góc với  1d và nằm trên mặt phẳng (P). 
12. (CĐ Xây dựng số 3, 2002)  d là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau 
 
1
1
:
x t
d y t
z t
 


  
 và  
2
2 '
: 1 '.
'
x t
d y t
z t


 
 
13.  d đi qua điểm  0;1; 1 ,A  vuông góc và cắt đường thẳng 
4 1 0
: .
0
x y
d
x z
  

 
14.  d vuông góc với mặt phẳng  Oxz và cắt hai đường thẳng 
1 2
1 2
: 4 , : 3 .
3 4 5
x t x t
d y t d y t
z t z t
   
 
      
     
15.  d qua điểm  0;1;1 ,A vuông góc với đường thẳng 
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
 
  và cắt đường 
thẳng 
2
2 0
: .
1 0
x y z
d
x
   

 
16. (CĐSP, B, 2002)  d là đường thẳng AH với H là trực tâm tam giác BCD trong đó 
       0;1;0 , 2;3;1 , 2;2;2 , 1; 1;2 .A B C D  
17.  d là đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC với 
     2;1; 1 , 3; 1;3 , 6; 1;0 .A B C   
18.  d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với 
     1; 2;1 , 4;0;2 , 2; 1; 4 .A B C   
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
41 
19.  d đi qua điểm  2;1; 4A  cắt và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng 
   : 1 0, : 4 2 2 1 0.P x y z Q x y z        
20.  d là đường cao AH trong tam giác ABC với      1;1;2 , 2;3;1 , 3; 1;4 .A B C  
* 
* * 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
42 
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm  0 0 0; ;I x y z bán kính R 
Phương pháp chung 
Phương trình mặt cầu đó là      
2 2 2 2
0 0 0
     x x y y z z R 
* 
Dạng 2: Mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng cho trước 
Phương pháp chung 
- Gọi phương trình TQ của mặt cầu là 
 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0          x y z Ax By Cz D A B C D 
Tâm   2 2 2; ; ,      I A B C R A B C D 
- Do mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D cho trước nên ta lần lượt thay toạ độ vào 
phương trình mặt cầu sẽ lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn 
- Giải hệ và tìm ra A, B, C, D 
* 
Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mặt phẳng (P) và đi qua 3 điểm A, B, C cho 
trước 
Phương pháp chung 
Vấn đề 
3 
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THOẢ MÃN 
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
43 
- Do (S) đi qua 3 điểm A, B, C cho trước nên I cách đều A, B, C hay I thuộc d – là trục 
đường tròn ngoại tiếp  ABC 
- Viết phương trình d - trục đường tròn ngoại tiếp là giao của 2 mặt phẳng   và   - 
lần lượt là mặt phẳng trung trực của AB và BC 
- Tìm ( ) I d P 
- Viết phương trình mặt cầu tâm I bk IA = IB = IC 
* 
Dạng 4: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B cho trước 
Phương pháp chung 
- I cách đều A, B nên I thuộc mặt phẳng trung trực   của AB 
- Tìm    I d (là một hệ phương trình 3 ẩn) 
- Viết phương trình mặt cầu 
* 
Dạng 5: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng   
Phương pháp chung 
- Tính khoảng cách từ I đến   , đó chính là bán kính của mặt cầu 
- Viết phương trình mặt cầu 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
44 
* 
Dạng 6: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  
Phương pháp chung 
- Gọi H là hình chiếu của I đến  , khi đó IH chính là bk của mặt cầu 
- Tìm H: 
C1: H thuộc  nên tham số hoá điểm H, tìm vectơ IH, cuối cùng: 
. 0  
d d
IH u IH u , sau đó tìm I 
C2: áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng 
- Viết phương trình mặt cầu 
* 
Dạng 7: Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính R’ cho trước 
Phương pháp chung 
- Ta tìm bán kính của mặt cầu (S):  
22
' , ( )    R R d I P 
- Tìm tâm I của mặt cầu (S): có thể áp dụng khoảng cách từ tâm đường tròn bk R’ đến 
tâm mặt cầu (S) 
- Ta sẽ tìm được 2 mặt cầu như vậy 
* 
Dạng 8: Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 0   Ax By Cz D tại 
 0 0 0; ; ( )M x y z P cho trước 
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
45 
* 
Dạng 9: Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C cho trước 
Phương pháp chung 
* 
Dạng 10: Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 0   Ax By Cz D và một 
đường thẳng d: 0 0 0
  
 
x x y y z z
a b c
Phương pháp chung 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
46 
* 
Một vài ví dụ tổng hợp cho vấn đề 
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1;1;1) và B(-1;3;1) có tâm I thuộc Oy 
Giải: 
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A(3;1;0) và B(5;5;0) có tâm I thuộc Ox 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
47 
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S): 
 a) Có tâm nằm trên Ox, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) 
 b) Có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0) 
Giải: 
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(6;3;-4) và 
 a) Tiếp xúc với Ox 
 b) Tiếp xúc với Oy 
 c) Tiếp xúc với Oz 
Giải: 
Ví dụ 5: Viết phương trinh mặt cầu (S) tâm I(4;-3;2) và: 
 a) Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) 
 b) Tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) 
 c) Tiếp xúc với mặt phẳng (Ozx) 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
48 
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt cầu đi qua A(0;1;0), B(1;0;0) và C(0;0;1) và tâm I nằm trên 
(P): 3 0.   x y z 
Giải: 
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 
 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau 
 b) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 
Giải: 
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
49 
Ví dụ 8: Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 2 0  x y z 
Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0) và C(0;3;2) và cắt mặt phẳng 
(P) theo thiết diện đường tròn bán kính bằng 1 
Giải: 
Bài tập tổng hợp cho vấn đề 
1. Tìm các giá trị của m để phương trình sau là phương trình mặt cầu. Khi đó hãy tìm tâm 
và bán kính của mặt cầu. 
a)    2 2 2 2 2 2 2 3 8 37 0.x y z mx m y m z m          
Đáp số: 2,m     24, ;2 ; 3 , 3 6 24.m I m m m R m m      
b)    2 2 2 24 6 3 2 2 3 18 32 5 0.x