Tài liệu bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán THCS

D. Chứng minh thức:
I. Phương pháp giải:
1. Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa.
A B A – B 0
+ Lập hiệu số A- B.
+ Rút gọn A- B và chứng minh A – B 0.
+ Kết luận A B.
2. Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi trực tiếp
+ Biến đổi A:
3. Phương pháp 3: Phương pháp dùng bất đẳng thức đã biết.
3.1) Bất đẳng thức Chauchy
a) , dấu “ = ” sảy ra khi a = b
b) Mở réng cho n số, ta có
3.2) Bất đẳng thức Bu- nha- cop- xki
, dấu “ = ” sảy ra:
3.3) Ngoài ra sử dụng các bất đẳng thức đã học.
4. Phương pháp 4: Phương pháp so sánh.
5. Phương pháp dùng tính chất bắc cầu:
6. Phương pháp 6: Phương pháp tương đương:
A B A1 B1 . (*)
Mà (*) đóng A B .
7. Phương pháp 7.
8. Phương pháp 8: Phương pháp phản chứng.
Đã chứng minh A B ta giả sử A < B các phép biến đổi tương đương dẫn đến vô lý. Ta kết luận: A B .
36 trang | Chia sẻ: xuannguyen98 | Lượt xem: 675 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Tài liệu bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán THCS, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
n
	132 n = 131.132x + 14784	(1)
	Mặt khác n = 132y + 98 nên
	131n = 131.132y + 12838	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131 n = 131.132(x – y) + 1946
	 n = 131.132(x – y) + 1946.
	Vì n có bội chữ số nên n = 1946.
III/ ƯCLN, BCNN.
1) Tìm hai số trong đó biết ƯCLN của chúng.
Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 6.
	Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a £ b) . 
Ta có (a,b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó (a’, b’) = 1 (a, b, a’, b; N)
	Do a + b = 84 nên 6 (a’ + b”) = 84 suy ra a’ + b’ = 14
	Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’ £ b’), ta được:
a’
1
3
5
Do đó
a
6
18
30
b’
13
11
9
b
78
66
54
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300. ƯCLN bằng 5.
Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a £ b).
	Ta có (a,b) = 5 nên a = 5a’, b = 5b’ trong đó (a’, b’) = 1
	Do ab = 300 nên 25a’b’ = 300 suy ra a’b’ = 12 = 4.3
	Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 12 (a’ £ b’) ta được:
a’
1
3
Do đó
a
5
15
b’
12
4
b
60
20
2) Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số vì ƯCLN của chúng.
Ví dụ 3 . Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10, BCNN của chúng bằng 900.
Giải : Gọi các số phải tìm là a và b, giả sử a £ b .
 Ta có (a,b) = 10 nên a = 10a’, b = 10b’, (a’,b’) = 1; a’ £ b. Do đó ab = 100 a’b’(1). 
Mặt khác ab = [a,b].(a,b) = 900.10 = 9000	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra a’b’ = 90. Ta có các trường hợp:
a’
1
2
5
9
Do đó
a
10
20
50
90
b’
90
45
18
10
b
900
450
180
100
3) Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơ clit
Ví dụ 4 . Cho hai số tự nhiên a và b (a > b) 
a) Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì (a,b) = b
b) Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của số nhỏ và số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ.
c) Dùng các nhận xét trên đó tìm ƯCLN (72,56).
Giải : 
a) Mọi ước chung của a và b hiểnn nhiên là ước của b. Đảo lại,do a chia hết cho b nên b là ước chung của a và b. Vậy (a,b) = b.
b) Gọi r là số dư trong phép chia a cho b (a > b) . Ta có a = bk + r (k N), cần chứng minh rằng (a, b) = (b,r)
 Thật vậy, nếu a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d, do đó ước chúng của a và b còng là ước chung của b và r (1). 
 Đảo lại nếu b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d, do đó ước chung của b và r còng là ước chung của a và b (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ước chung của a và b và tập hợp các chung của b và r bằng nhau. Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó còng bằng nhau, tức là 
(a, b) = (b,r)
c) 72 chia 56 dư 16 nên 972,56) = ( 56,16)
	56 chia 16 dư 8 nên (56,16) = (16,8);
	16 chia hết cho 8 nên (16,8) = 8 . Vậy (72,56) = 8
	Nhận xét : Giả sử a khôngchia hết cho b và a chia hết cho b dư r1, b chia cho r1 dư r2, r1 chia cho r2 dư r3... , rn – 2 chia cho rn-1 dư rn’ rn-1 chia cho rn dư 0. (dãy số b, r1 , r2 ,...,rn là dãy số tự nhiên giảm dần nên số phép chia là hữu hạn do đó quá trình trên phải kết thúc vì một số dư bằng 0). Theo chứng minh ở ví dụ trên ta có 
(a, b) = (b,r1) = (r1,r2) =... =(rn-1’rn)= rn (vì rn-1 chia hết cho rn).
	Như vậy ƯCLN (a,b) là số chia cuối cùng trong dãy các phép chia liên tiếp a cho b; b cho r1; r1 cho r2;... trong đó r1,r2,... là số dư trong các phép chia theo thứ tự trên.
	Trong thực hành ngưêi ta đặt tính như sau:
	72	56
	56	16	1
	16	 8	 3
	 0	 2
 Việc thực hiện một dãy phép chia liên tiếp như trên được gọi là thuật toán Ơ–clit.
Trường hợp tìm ƯCLN của ba số, ta tìm ƯCLN của hai số rồi tìm ƯCLN của kết quả vì số thứ ba.
4) Hai số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1. Nói cách khác, chúng chỉ có ước chung duy nhất là 1.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) 2n + 1 và 3n + 1 ( n N) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải:
	a) Gọi d ƯC (2n + 1,2n + 3) (2n + 3) – (2n + 1) d 
	 2 d d {1; 2} 
	Nhưng d ¹ 2 vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1
c) Gọi d ƯC (2n + 1, 3n + 1) 3 (2n + 1) – 2 (3n + 1) d 1 d d=1
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n đó các số 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau.
Giải : Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì 
	9n + 24 – 3 (3n + 4) d 12 d d { 2 ; 3}
Điều kiện đề (9n + 24, 3n + 4) = 1 là d ¹ 2 và d ¹ 3. Hiển nhiên d ¹ 3 vì 3n + 4 không chia hết cho 3. Muốn d ¹ 2 phải có ít nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n + 4 không chia hết cho 2. Ta thấy:
	9n + 24 là số lẻ 9n lẻ n lẻ
	3n + 4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ 
Vậy điều kiện đó (9n + 24,3n + 4) = 1 là n lẻ.
5) Tìm ƯCLN của các biểu thức số
Ví dụ 1. Tìm ƯCLN của 2n - 1 và 9n + 4 (n N)
Giải : Gọi d ƯC (2n – 1, 9n + 4) 2(9n + 4) - 9(2n – 1) d 17 d
	 d { 1 ; 17 } 
	Ta có 2n – 1 17 2n – 18 17 2(n – 9) 17 n – 9 17 
	 n = 17k + 9 ( k N)
	Nếu n = 17k + 9 thì 2n – 1 17 và
 9n + 4 = 9.(17k + 9) + 4 = 17.9k + 85 17, do đó (2n – 1, 9n + 4) = 17 
 Nếu n ¹ 17k + 9 thì 2n – 1 không chia hết cho 17, do đó (2n – 1, 9n + 4) = 1
Ví dụ 2. Tìm ƯCLN của và 2n + 1 (n Î N *)
Giải : Gọi d Î ƯC thì n(n + 1) d và 2n + 1 d
	Suy ra n(2n + 1) – n(n + 1) d tức là n2 d
Từ n(n+1) d và n2 d suy ra n d . Ta lại có 2n + 1 d, do đó 1d, nên d = 1
Vậy ƯCLN của và 2n + 1 bằng 1 
V. Số lượng các ước của một số (*)
 	Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A = ax.by.cz...
thì số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)...
	Thật vậy, ước của A là số có dạng m.n.p... trong đó 
 m có x + 1 cách chọn ( là 1, a, a2 ,... ax),
	n có y + 1 cách chọn (là 1, b , b2, ..., by),
	p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c2,... cz),...
	Do đó số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)...
Ví dụ 1. Tìm số nhỏ nhất có 12 ước.
Giải : Phân tích số phải tìm ra theo số nguyên tố :
	N = ax.by.cz... ta có (x + 1)(y + 1)(z + 1) ... = 12.
	( x ³ y ³ z ³ ... ³ 1).
Số 12 có bội, cách viết thành một tích của một hay nhiều theo số lớn hơn 1 là:
 12 =12.1 = 6.2 = 4.3 = 3.2.2.
 Xét các trường hợp sau:
a) n chứa một theo số nguyên tố : Khi đó x + 1 = 12 nên x = 11. Chọn theo số nguyên tố nhỏ nhất là 2, ta có số nhỏ nhất trong trường hợp này là 211.
b) n chứa hai thừa số nguyên tố: 
Khi đó (x + 1)(y + 1) = 6.2 hoặc (x + 1)(y + 1) = 4.3, do đó x = 5, y = 1 hoặc x = 3 , y = 2. Để n nhỏ nhất ta chọn thứa số nguyên tố nhỏ ứng vì số m lớn, ta có 
n = 25.3 = 96 hoặc n = 23.32 = 72 . Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 72.
c) n chứa ba thừa số nguyên tố : 
Khi đó (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 3.2.2 nên x = 2,y = z = 1 . Số nhỏ nhất là 22.3.5 = 60
 So sánh ba số 211, 72, 60 trong ba trường hợp, ta thấy số nhỏ nhất có 12 ước là 60 
CHỦ ĐỀ THEO DÃY QUY LUẬT
I. Dãy cộng : 
	Xét các dãy số sau: 
	a) Dãy số tự nhiên : 0, 1, 2, 3,...
	b) Dãy số lẻ: 1 , 3, 5 , 7,... c) Dãy các số chia cho 3 dư 1 : 1 , 4, 7,10 ...
	Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kế từ số hạng thứ hai, đều lớn hơn số hạng đứng liòn trước nó cùng một số đơn vị, số đơn vị này là 1 ở dãy a); là 2 ở dãy b); là 3 ở dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng.
	Xét dãy cộng 4,7,10,13,16,19... Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3. Số hạng thứ 6 của dãy này là 19, bằng : 4 + (6 – 1).3; số hạng thứ 10 của dãy này là 4 + (10 – 1).3 = 31.
	Tổng quát, nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy cộng đó (kí hiệu an) bằng:
	an = a1 + (n - 1)d	(1)
	Đó tính tổng các số hạng của dãy cộng
	4 + 7 + 10 + ... + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số)
	Ta viết : A = 4 + 7 + 10 + ... 25 + 28 + 31
	 A = 31 + 28 + 25 + ... + 10 + 7 + 4
	nên 2 A = (4 + 31) + (7 + 28) +... + ( 28 + 7) + (31 + 4) = ( 4 + 31) .10
	Do đó A = 
	Tổng quát, nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an thì tổng của n số hạng đó được tính như sau:
	(2) (*)
	Trường hợp đặc biệt, tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng:
 1 + 2 + 3 + ... + n = 	(3)
II. Các dãy khác
Ví dụ 1 . Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật:
	a) 3 , 8 , 15 , 24 , 35, ...	(1)
	b) 3 , 24 , 63 , 120 , 195, ... 	(2)
	c) 1 , 3 , 6 , 10 , 15, ...	(3)
	d) 2 , 5 , 10 , 17, 26,...	(4)
	 Giải 
	a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng:
	1.3 ; 2.4; 3.5 ; 4.6 ; 5.7,...
	Mỗi số hạng của dãy (1) là một tích của hai theo số, theo số thứ hai lớn hơn theo số thứ nhất là 2 đơn vị. Các theo số thứ nhất làm thành dãy : 1,2,3,4,5,... dãy này có số hạng thứ 100 là 100.
	Do đó số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng : 100 .102 = 10200
	b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng :
	1.3 , 4.6, 7.9 , 10.12 , 13.15,...
	Số hạng thứ 100 của dãy 1 , 4, 7, 10 , 13 , ... là : 1 + 99.3 = 298.
	Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng : 298 . 300 = 89400.
	c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng :
 Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng : 
	d) Dãy (4) có thể viết dưới dạng:
	1 + 12 , 1 + 22 , 1 + 32 , 1 + 42 , 1 + 52,...
	Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng : 1 + 1002 = 10001
BÀI TẬP
1 . Tìm chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ : 
 1, 3, 5, 7,...
2 . a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số.
 b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số
3 . Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay khằng?
	1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ;	1 + 2 + 3 + 4 ;...
4. a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A.
 b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000.
5. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 1000! chứa thừa số nguyên tố 7, số mới bằng bao nhiêu ?
6. Tích A = 1.2.3... 500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
7. a) Tích B = 38.39.40... 74 có bao nhiêu theo số 2 khi phân tích ra thừa số nguyên tố ?
	b) Tích C = 31 . 32 . 33... 90 có bao nhiêu thừa số 3 khi phân tích ra theo số nguyên tố ?
8. Có bao nhiêu số tự nhiên đồng thời là các số hạng của cả hai dãy sau:
	3, 7 , 11, 15..., 407	(1)
	2,9,16,23,..., 709	(2)
9. Trong dãy số 1, 2, 3,..., 1990, có thể chọn được nhiều nhất bao nhiêu số đó tổng hai số bất kì được chọn chia hết cho 38 ?
10. Chia dãy số tự nhiên kế tiếp 1 thành từng nhóm ( các số cùng nhóm được đặt trong dấu ngoặc)
	(1), (2,3), (4,5,6), ( 7,8,9,10), (11,12,13,14,15),...
	a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100.
	b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 .
11. Cho S1 = 1 + 2,
	 S2 = 3 + 4 + 5,
	 S3 = 6 + 7 + 8 + 9,
	 S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
	 .....
	Tính S100.
12. Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
	a) 1.6; 2.7; 3.8;...
	b) 1.4; 4.7; 7.10;...
13 . Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 , B = 321 : 2
	Tính B – A
14. Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100
	Chứng minh rằng : A < 
15. Tính giá trị của biểu thức:
	a) A = 9 + 99 + 999 + ... + 99 ... 9
	 50 chữ số
	b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 99 ... 9
	200 chữ số
 DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Dãy các số viết theo quy luật đã được trình bày ở chủ đề I. Chúng ta cũng gặp các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo các quy luật nhất định.
Ví dụ 1. Tính nhanh:
Giải 
 Ta có: 	(1)
	(2)
Lấy (1) trừ (2) được:
	2A = 1 - 
Do đó: 	
Ví dụ 2. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
	a) 	b) 
Giải 
a) Ta chú ý r”ng :
Do đó:
b) Trước hết ta viết các mẫu : 6, 66, 176, 336,... dưới dạng 1.6; 6.11; 11.16; 16.21;..., số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1)
	Cần tính tổng A = 
Nhận xét: 
Tổng quát :	
Do đó:	 
Suy ra : 
Ví dụ 3. Tính tổng:
Giải. áp dụng phương pháp khử liên tiếp ở ví dụ trên: viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:
Tổng quát :
	 . 
Do đó: 
	 =
	Suy ra: 
	Tổng quát 
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức:
	a) 
	b) 
Giải
a) Ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp đó mẫu chung, giêng mẫu của các phân số tương ứng ở số chia. Biến đổi số bị chia: cộng từng cặp các phân số cách đều hai đầu ta được:
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia: Viết các tử thành hiệu 100 – 1, 100 – 2 , ... 100 – 99. 
Số chia bằng:
	= 100 + 100 
	= 1 + 100
	Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B = 
Ví dụ 5: 
	a) Tính tổng A =1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 98.99
	b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính.
	B = 12 + 22 + 32 + ...+ 972 + 982
	c) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính:
	C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ... + 98.2 + 99.1
Giải
a) Đó tích mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhóm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của A vì 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 – 0 ở số hạng thứ nhất, 4 – 1 ở số hạng thứ hai, 5 – 2 ở số hạng thứ ba,..., 100 – 97 ở số hạng cuối cùng. Ta có:
3A = 1.2(3 – 0) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ... + 97.98 (99 – 96) + 98.99(100 – 97) 
 = 1.2.3 - 0.1.2 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ...+ 97.98.99 - 96.97.98 + 98.99.100 - 97.98.99 
	= 98.99.100
	Suy ra A = 323400
	Tổng quát ta có : 1.2 + 2.3 + ...+ n(n+1) = 
b) B = 12 + 22 + 32 + ... + 972 + 982 =
	= 1(2 – 1) + 2(3 - 1) + 3(4 – 1) + ... + 97(98 – 1) + 98(99 – 1 ) =
	= (1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 97.98 + 98 .99) – (1 + 2 +3 + ... + 97 + 98)
	= A - 
	Tổng quát : 12 + 22 + 32 + ...+ n2 =
c) C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1 =
 = 1.99 + 2(99 – 1) + 3(99 – 2) +...+ 98(99 – 97) + 99(99 – 98) =
 = (1.99 + 2.99+...+ 98.99 + 99.99) – (1.2+2.3+...+ 97.98 + 98.99) = 
 = 99 ( 1 + 2 + 3 + ... + 99 ) – A =
 = 99.
	Tổng quát: 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + (n –1)2 + n.1 = 
 BÀI TẬP
16. Tính nhanh:
	A = 
17. Viết tất cả các phân số dương thành dãy:
a) Hãy nêu quy luật viết của dãy và viết tiếp năm phén số nữa theo quy luật ấy.
b) Phân số là số hạng thứ mấy của dãy ?
18 . Tìm x, biết rằng
a) ;
b) =
C/ Phương trình nghiệm nguyên
I/ Phương trình nghiệm nguyên: ax + by = c
 Điều kiện đó có nghiệm: (a,b) = d; 
Cách giải:
+ Đặt ẩn phụ liên tiếp.
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình, từ đã nghiệm của (1) là
+ Phương pháp phân tích thành nhân tử.
+ Phương pháp loại trừ.
+ Phương pháp xuống thang.
CHỦ ĐỀ: ĐẠI SỐ
A/ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I. Phương pháp chung.	
Phương pháp đạt nhân tử chung.
 Phương pháp nhóm các hạng tử.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp tách các hạng tử. 
Vì đa thức bậc hai: phân tích đa thức thành nhân tử có thể sử dụng các cách sau:
C1: Tách b = b1 + b2, sao cho b1.b2= a.c khi đã thực hiện nhóm các hạng tử đã phân tích thành nhân tử.
C2: Nếu= 0 có hai ngiệm (hoặc nghiệm kép ) là khi đã
Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
 Phương pháp đồng nhất các hạng tử: 
II/ Các bài tập áp dụng
Dạng bài phân tích thành nhân tử
Bài 1. Hãy phân tích các đa thức sau thành ácan tử.
5x2 – 5y2
x3 - 2x2y + xy2 – 16x
x4 + 1
x8 + x4 + 1.
x10 + x5 + 1
x2 + 3x - 4 .
(x4 + 2x3 – 3x2 + 2x – 2)
Bài 2. Giải phương trình:
x2 + 2x = x + 2
3x2 + 7x + 4 =0
B. Chia đa thức
1. Đặt chia.
2. Dùng sơ đồ Hooc – ne.
an
an-1
...
a0
q
an
qan+ an-1
...
r
 + Vì q là ước của a0
 + Nếu r = 0 thì
Vý d”: 
a) Tìm a sao cho 
b) Tìm a và b sao cho 
C/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
1)Đưa về tam thức bậc hai rồi biến đổi về dạng:
a) y = a + A2a , 
Tương tự vì: y = a + a ;
 Và : y = a + a ;
b) y = a - A2a => Maxy = 
Tương tự vì: y = a - a Max;
 Và : y = a - a Max
c)Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất của: y= - x2 + 2x +7 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = 3x2 +6x + 5
2) Vì dạng biểu thức là phân thức mà tử thức và mẫu thức chứa tam thức bậc hai có cách giải. Cách 1: Đặt: rồi biện luận k phương trình đã phải có nghiệm(Xét ) rồi kết luận.
Cách 2: + Max khi g(x) đạt giá trị nhỏ nhất. (k là hằngsố)
 + Min khi g(x) đạt giá trị lớn nhất (k là hằngsố)
 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = 
 Giải: Đặt:
 Đã phương trình (*) có nghiệm khi
 Vậy: Max A = khi x = 
 A không có giá trị nhỏ nhất.
 Lưu ý vì tam thức bậc hai có hai nghiệm x1và x2 ta luôn có:
+ af(x)vì 
+ af(x)vì 
+ Nếu => f(x1) .f(x1)
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = 
3. Vì tổng của hai hay nhiều số không đổi, ta có:
Gỉa sử 
 Khia đã: Max
4. Vì tích của hai hay nhiều số không đổi, ta có:
Gỉa sử 
 Khia đã: Min
5. Bất đẳng thức Chaychy
a) , dấu “ = ” sảy ra khi a = b
b) Mở réng cho n số, ta có
D. Chứng minh thức:
I. Phương pháp giải: 
1. Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa.
A B A – B 0 
+ Lập hiệu số A- B.
+ Rút gọn A- B và chứng minh A – B 0.
+ Kết luận A B.
2. Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi trực tiếp
 + Biến đổi A:
3. Phương pháp 3: Phương pháp dùng bất đẳng thức đã biết.
3.1) Bất đẳng thức Chauchy
a) , dấu “ = ” sảy ra khi a = b
b) Mở réng cho n số, ta có
3.2) Bất đẳng thức Bu- nha- cop- xki
, dấu “ = ” sảy ra:
3.3) Ngoài ra sử dụng các bất đẳng thức đã học.
4. Phương pháp 4: Phương pháp so sánh.
5. Phương pháp dùng tính chất bắc cầu:
6. Phương pháp 6: Phương pháp tương đương: 
A B A1 B1 ...(*)
 Mà (*) đóng A B .
7. Phương pháp 7.
8. Phương pháp 8: Phương pháp phản chứng.
Đã chứng minh A B ta giả sử A < B các phép biến đổi tương đương dẫn đến vô lý. Ta kết luận: A B .
II. Các bài tập vận dụng:
A.Chứng minh dựa vào BĐT và định nghĩa, Tính chất cơ bản:
1. 	Cho a, b > 0 Chứng minh
2. 	Chứng minh: 
3. 	Cho a + b ³ 0 Chứng minh: 
4. 	Cho a, b > 0 . Chứng minh: 
5. 	Chứng minh: Vì a ³ b ³ 1: 
6. 	Chứng minh ; a , b , c Î R
7. 	Chứng minh: \
8. 	Chứng minh
9.	a.	Chứng minh: 
b.	Chứng minh10. 	Chứng minh
11. 	Chứng minh: 
12. 	Chứng minh: 
13. 	Chứng minh: 
14.	Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì : 
15.	Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
a.	 ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b.	 abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
 	c.	 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
B. Chứng dựa vào bất đẳng thức cô - si
1.	Chứng minh: 
2.	Chứng minh 
3.	Chứng minh vì a , b , c ³ 0
4.	Cho a, b > 0. Chứng minh , vì m Î Z+ 
5.	Chứng minh: 
6.	Chứng minh: 
7.	Chứng minh: .
8.	Chứng minh: 	, a > 0
9.	Chứng minh .
10.	Cho a , b > 0. Chứng minh: 
11.	Cho a , b ³ 1 , Chứng minh: .
12.	Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13.	Cho a > b > c, Chứng minh: .
14.	Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh
	a)	b + c ³ 16abc.
	b)	(1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
	c)	
15.	Cho x > y > 0 . Chứng minh	
16.	Chứng minh
	a)	 ,"x Î R	b)	 , "x > 1	c)	
17Chứng minh: 
18.	Chứng minh: , "x , y Î R
19Chứng minh ; a , b , c > 0
20.	Cho a , b , c > 0. C/m: 
21.	 áp dụng Bất đẳng thức Cô- si
	a.	 	vì a , b , c , d ³ 0	(CÔsi)
	b.	 	vì a , b , c ³ 0 , 	((CÔsi)
22.	Chứng minh: ; a , b , c > 0
23.	Chứng minh 
Lêi giải
I.Chứng minh dựa vào BĐT và định nghĩa, Tính chất cơ bản
1. 	Cho a, b > 0 Chứng minh (*)
	(*) Û Û .
2. 	Chứng minh: («)
	÷	a + b £ 0 , («) luôn đúng.
	÷	a + b > 0 , («) Û Û .đóng
	Vậy: .
3. 	Cho a + b ³ 0 Chứng minh Û 
	Û Û .
4. 	Cho a, b > 0 . Chứng minh: («) 
	(«) Û Û 
	Û Û .
5. 	Chứng minh: Vì a ³ b ³ 1: («) 
 Û Û
	Û 
	Û Û ,
	÷	Vậy : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0.
6. 	Chứng minh ; a , b , c Î R
	Û . 
7. 	Chứng minh: 
	Û
File đính kèm:
Tai_lieu_boi_duong_HSG_Toan_THCS.doc