Tài liệu bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 4: Phương trình tứ giác nối tiếp

CHUYÊN ĐỀ 4 : PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP
( HAY LỢI ÍCH CỦA VIỆC CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN )
Ta biết tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn . Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo các góc đối bằng 1800 . Biết một tứ giác nội tiếp thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó, ngoài ra còn có thể vận dụng định lý góc nội tiếp để tìm ra những góc bằng nhau. Dưới dây một số lợi ích của việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 
1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A , B , C , M , N cùng thuộc một đường tròn , ta có thể Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp, tứ giác ABVN nội tiếp từ đó suy ra 4 điểm A, B , C , M và 4 điểm A, B , C , N cùng nằm trên một đường tròn . Hai đường tròn này có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, M , N cùng thuộc một đường tròn .
Ví dụ 1: Cho góc vuông xAy . Trên tia Ax lấy điểm B cố định,trên tia Ay lấy điểm C di động. 
Vẽ đường tròn (O) nội tiếp ABC, tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại D , E , F . 
Hai đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G.
a) Chứng minh 5 điểm O , D , G , B , F cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Giải :
a) OFG = OEG (c-c-c) 
 1 = 1 mà 1 = 1 nên 1 = 1 
 từ giác ODGF nội tiếp 
 O , D , G , F cùng thuộc một đường tròn. (1) 
mặt khác, tứ giác ODBF nội tiếp
 suy ra O, D , B , F cùng thuộc một đường tròn (2)
từ (1) và (2) 5 điểm O, D , G , B , F cùng thuộc 
một đường tròn, đó là đường tròn (ODF)
b) Ta có . 
Vậy GAB vuông cân tại G. Vì AB cố định nên G cố định . Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định là điểm G .
2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Để Chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 2: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn . 
 Lấy điểm D nằm giữa B và C . Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB , AC lần lượt tại E và F, cắt đường tròn tại M và N .
a) Chứng minh rằng ME = NF .
b) Khi điểm D di động trên BC, Chứng minh rằng đường tròn 
(AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A . 
Giải : a) Tứ giác OBED có += 1800 
nên tứ giác này nội tiếp đường tròn 1 = 1 . 
tứ giác ODCF có 
nên tứ giác này nội tiếp đường tròn 1 = 1 , 
mà 1 = 1 nên 1 = 1 ; suy ra OEF cân tại O .
Vì ODEF nên DE=DF (tính chất của tam giác cân) 
và DM=DN (đ/ kính vuông góc với dây cung) 
Từ (1) và (2) ME = NF .
b) Tứ giác OBED nội tiếp 2 = 2 . Tứ giác ODCF nội tiếp , 
do đó tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn , suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định .
3. Chứng minh hai góc bù nhau hoặc bằng nhau.
Ta có thể Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn rồi suy ra hai góc đối bù nhau hoặc hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Ví dụ 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên đường tròn lấy một điểm O bất kỳ. Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng BC , CA , AB .
a) Chứng minh rằng 3 điểm D , E , F cùng nằm trên một đường thẳng .
b) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên tiếp tuyến Ax của đường tròn . 
Chứng minh rằng MH . MD = ME . MF .
Giải :
 * Trường hợp điểm M trùng với đỉnh một đỉnh của tam giác ,
 bài toán hiển nhiên đúng. 
* Trường hợp điểm M không trùng với đình của tam giác , 
giả sử M không chứa A 
( nếu M chứa A , cũng Chứng minh tương tự )
a) Tứ giác MDBF nội tiếp 1 = 1 . 
Tứ giác MDEC nội tiếp 2 = 2 . 
Tứ giác AFME nội tiếp ( cùng bù với ) 
 1 = 2 , do đó 1 = 2 dẫn tới D , E , F thẳng hàng .
b) Tứ giác HFMA và MDEC nội tiếp nên : ; . VẬY MHF = MED ( g-g) 
 suy ra MH . MD = ME . MF .
4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích của một điểm.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, tâm O. Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N . Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM . Gọi H là hình chiếu của K trên xy . 
Tìm quỹ tích của điểm H .
Giải :
* Phần thuận :
Vì CN = AM ( tình chất đồi xứng ) 
Vì DK = DM nên CK = CN . 
Tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường tròn 
nên 1 = 1 = 450 ; 2=2 = 450 , do đó .
Vậy Điểm H nằm trên đường tròn đường kính CD .
Giới hạn : Điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn 
đường kính CD nằm trong hình vuông .
* Phần đảo : 
Lấy điểm H bất kỳ trên nửa đường tròn đường kính CD . 
Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AD và BC lần lượt tại M và N . Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM , 
ta phải chứng minh H là hình chiếu của k trên MN .
Thật vậy , Vì nên tứ giác HOCD nội tiếp 
Mặt khác nên tứ giác HKDM nội tiếp KH MN H là hình chiếu của K trên MN .
Kết luận : Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD , nửa đường tròn này nằm tron hình vuông .
Nhận xét về phương pháp giải :
Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường tròn mà ta tính được , tứ đó xác định được điểm H nằm trên đường tròn đường kính BC .
Trong phần đảo, cũng nhờ Chứng minh các tứ giác nội tiếp BOCD , HKDM nội tiếp mà ta tính được , từ đó chứng minh H chính là hình chiếu của K trên MN .
5. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), điểm D di động trên cạnh BC. Vẽ DE AB , 
 DF AC . Xác định vị trí của điểm D để : 
a) EF có độ dài nhỏ nhất,
b) EF có độ dài lớn nhất .	
Giải : 
Tứ giác AFDE có + = 1800 
nên tứ giác này nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD . 
Gọi O là tâm của đường tròn này, Vẽ OM EF thì ME = MF . 
Đặt thì .
Xét tam giác vuông MOE có EM = EO . Sin 
EF = 2. BO. Sin EF = AD. Sin . (*)
a) Do không đổ nên từ (*) suy ra 
EF nhỏ nhất ASD nhò nhất AD BC D là hình chiếu của A trên BC .
b) AD AC ( quan hệ giữa đường xiên AD và AC với hình chiếu của chúng trên đường thẳng BC ).
Từ (*) EF lớn nhất AD lớn nhất D trùng với C ( Vì AC > AB ).
Nhận xét :
 + Về phương pháp giải: Mấu chột trong cách giải trên là chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn và EF là một dây của đường tròn đó . Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề bài .
 + Về kết quả : Kết quả của bài toán vẫn đúng trong trường hợp góc A là góc vuông hoặc góc tù .
phương pháp Chứng minh tứ giác nội tiếp
Posted on August 23, 2008 by goldhung 
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:
Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng .
Cách 2: Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối.
Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.
Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.
Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngoài các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Chúng ta xét bài toán sau:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b)  Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:
Bài 1: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh   AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Từ đó ta có , theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải
Tam giác OCA vuông tại C,  CH là đường cao nên ta có: 
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có 
Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác  ADOE nội tiếp.
Bài 3: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD,  N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh:
a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.
b) OI vuông góc với PQ.
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A vuông góc với  OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K. Chứng minh OK vuông góc với BC.
Một số bài toán SGK đến bài toán HSG
Posted on August 23, 2008 by goldhung 
Bài toán 1: 
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD 
Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm ngoài và nằm trong đường tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Qua bài toán này ta có  thể chứng minh bài toán sau:
Bài toán 2: 
Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B. Khi đó tích MA. MB không đổi và bằng 
Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D. Sau đó chứng minh tương tự  bài toán 1 ta được kết quả.
Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm cố định. Ta cùng xét các bài toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 – 2005 Chuyên toán) Cho  đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.
Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 – 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có: không đổi. Suy ra I là điểm cố định.
Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 – 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE.
Bài tập
Bài 1: Cho đường  tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). M là một điểm thay đổi trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2:
Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm  C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm). Chứng minh rằng:
a)  P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định.