Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9

nh
⇒ AA1 đi qua M là trung điểm của HO.
Tương tự đối với BB1,CC1, ta có đpcm.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 15
Bài 26. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A1, A2 ∈ BC sao cho BA1 = A1A2 = A2C. Tương tự
B1, B2 ∈CA và C1,C2 ∈ AB. Các đường thẳng AA1, AA2, BB1, BB2,CC1,CC2 cắt nhau tạo thành
lục giác D1D2D3D4D5D6 (hình vẽ). Chứng minh rằng ba đường chéo của lục giác đồng quy.
Lời giải
Do giả thiết, dễ thấy BCB1C2, BCB2C1 là các hình thang nên A, D1, D4, A′ thẳng hàng, với A′ là
trung điểm của của BC và D1D4 là một đường chéo chính của lục giác.
A
B C
A1 A2A′
B1
B2C1
C2
G
D1
D2
D3
D4
D5
D6
Gọi G là giao điểm của AA′ và B1C2, theo định lý Ta-lét ta có
AG
AA′
=
AB1
AC
=
2
3
⇒ G là trọng tâm của4ABC hay D1D4 đi qua trọng tâm G của4ABC.
Tương tự ta có các đường chéo D2D5 và D3D6 đi qua G.
Từ đó ta có đpcm.
Bài 27. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A1, B1,C1 lần lượt là trung điểm
các cung BC
_
, CA
_
,AB
_
. Các cạnh của tam giác ABC và tam giác A1B1C1 cắt nhau tạo thành một
lục giác. Chứng minh ba đường chéo chính của lục giác đồng quy.
A
B C
I O
A′
A1
C1
B1
M1
M2
M3
M4
M5
M6
Lời giải
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 16
Theo tính chất của phân giác ta có:
M2A
M2B
=
A1A
A1B
,
M5A
M5C
=
A1A
A1C
, A1B = A1C
⇒M2A
M2B
=
M5A
M5C
⇒M2M5‖BC (định lý Ta-lét đảo).
Giả sử AA1 cắt BC,M2M5 tại A′, I′. Theo trên ta có:
I′A
I′A′
=
M2A
M2B
=
A1A
A1B
;4A1ABv4A1BA′ (g.g) ⇒ A1AA1B =
AB
BA′
⇒ I
′A
I′A′
=
BA
BA′
⇒ BI′ là phân giác của ÂBC⇒ I ≡ I′.
Từ đó ta có ba đường chéo của lục giác đồng quy tại I.
BÀI TẬP VÀ GỢI Ý LỜI GIẢI
Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB.M là điểm tuỳ ý thuộc (O) sao cho MA > MB. Về
phía nửa mặt phẳng không chứaM đối với bờ AB, dựng hình vuôngMACD.MC cắt (O) tại E.BE
cắt tiếp tuyến qua A đối với O tại F . Chứng minh F ,C, D thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh ÂCF = 90◦⇒ F̂CD = 180◦.
Bài 2. Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AD‖BC). Các tiếp tuyến của (O) tại B, D
giao nhau tại K. Vẽ hình bình hành BDKM. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKM cắt (O) tại N.
Chứng minh ranừg D,M, N thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh B̂NM = B̂AD⇒ B̂ND+ B̂NM = 180◦.
Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB.C là trung điểm cung AB
_
.M chuyển động trong
khoảng BC. (t) là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc củaM trên
AB và (t).CK cắt lại (O) tại N. Chứng minh rằng A,M, N thẳng hàng và từ đó suy ra NH luôn đi
qua một điểm cố định.
Hướng dẫn
Chứng minh N̂MK + ÂMH = 90◦⇒ ÂMN = 180◦.
Đường thẳng NH đi quaC′ cố định, vớiC′ là điểm xuyên tâm đối củaC.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD.M là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMEN cùng chiều
với hình vuông ABCD. Chứng minh rằngC, D, N thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh ÂDN = 90◦⇒ ĈDN = 180◦.
Bài 5. Cho hai đường tròn (O) và (O′) giao nhau tại A, B. Hai điểm M,M′ chuyển động tương
ứng trên (O) , (O′), cùng xuất phát từ A, theo cùng chiều kim đồng hồ cùng vận tốc góc (tức
M̂OA = M̂′O′A). Chứng minh ranừg M, B,M′ thẳng hàng và từ đó suy ra đường trung trực của
MM′ luôn đi qua điểm cố định.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 17
Hướng dẫn
Chứng minh M̂BA+ M̂′BA = 180◦. Dựng đường kính BC và BC′ của hai đường tròn, khi đó ta có
điểm cố định là trung điểm củaCC′.
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC
tại D, E. M, N là trung điểm của AC, BC. MN cắt phân giác trong của B̂AC tại K. Chứng minh
D, E, K thẳng hàng.
Hướng dẫn
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tứ giác CIEK nội tiếp được và từ đó
suy ra D̂EI+ ĈEK = 90◦⇒ (đpcm).
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB‖CD) và hai đường chéo cắt nhau tại O sao cho tam giác OBC
đều. Gọi E,M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh CD, OA, OB và H là trực tâm của tam giác
EMN. Chứng minh HO đi qua trung điểm của cạnh BC.
Hướng dẫn
Chứng minh tứ giác MNOH nội tiếp được. Từ đó suy ra OH là phân giác trong của B̂OC ⇒
(đpcm).
Bài 8. Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB = R
√
2. Điểm C chuyển động trên cung lớn AB
_
.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Các đường thẳng AH, BH cắt lại đường tròn (O) tại M, N.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh M̂BN = 90◦⇒MON là đường kính của đường tròn (O)⇒ (đpcm).
Bài 9. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường tròn (O′) tuỳ ý qua hai
điểm O, B cắt lại BC, AO lần lượt tạiM, N và cắt cung AB
_
tại P. Chứng minhC, N, P thẳng hàng.
Hướng dẫn
Giả sửCP cắt AO tại N′ và chứng minh N′ ≡ N⇒ (đpcm).
Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH⊥BC. Gọi M, N là hình chiếu
vuông góc của H trên AB, AC và K là hình chiếu vuông góc của A trên MN. Chứng minh O, A, K
thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh K̂AB = ÔAB = 90◦− ÂCB⇒ (đpcm).
Bài 11. Cho hai đường tròn (O) và (O′) ngoài nhau và có AA′ là tiếp tuyến chung ngoài; BB′,CC′
là hai tiếp tuyến chung trong (A, B,C ∈ (O) ; A′, B′,C′ ∈ (O′)). BB′ cắt AA′ ởM. H là hình chiếu
vuông của M trên OO′. Chứng minh H, A′,C′ thẳng hàng.
Hướng dẫn
Chứng minh Ô′HC′ = Ô′HA′ và A′,C′ nằm cùng phía đối với bờ HO′⇒ (đpcm).
Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn đối với H là trực tâm. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của H
trên phân giác trong, ngoài của B̂AC. Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của BC.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 18
Hướng dẫn
Gọi O là tâm của đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh
MN và AE cùng song song với AO⇒ (đpcm).
Bài 13. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi E là trung
điểm của AD. Chứng minh EI đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm của BC và F là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp  với BC. Chứng minh
EI‖AF ,MI‖AF ⇒ (đpcm).
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C tuỳ ý thuộc (O) (C 6= A, B). Phân giác
trong của ÂCB cắt (O) tạiM. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc củaM trênCA,CB. Chứng minh
rằng H, O, K thẳng hàng.
Hướng dẫn
H, O, K thuộc đường thẳng Xim-xơn.
Bài 15. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của B trên AC,CD.
M, N là trung điểm của AD, HK. Chứng minh rằng M̂NB = 90◦.
Hướng dẫn
Kẻ BL⊥AD. Chứng minhH, K, L thuộc đường thẳng Xim-xơn của B đối với tam giác ACD. Chứng
minh tứ giác MNBL nội tiếp được⇒ (đpcm).
Bài 16. Cho tam giác ABC với ba đường cao AA1, BB1,CC1 và trực tâm H. Gọi D, E là hình
chiếu vuông góc của B1 trên BC,CC1. Chứng minh rằng đường thẳng DE đi qua trung điểm B1C1.
Hướng dẫn
Sử dụng đường thẳng Xim-xơn của B1 đối với4BCC1.
Bài 17. Cho hai đường tròn (O1,R1) và (O2,R2) tiếp xúc ngoài tại A(R1 > R2). Đường nối tâm
O1O2 cắt (O1) tại B, cắt (O2) tạiC. Gọi O là trung điểm của O1O2. Vẽ cát tuyến ODE vuông góc
với BC. DC, EC cắt (O2) ở M, N. Chứng minh rằng BC, DN, EM đồng quy.
Hướng dẫn
Chứng minh BC, DN, EM là ba đường cao của tam giácCOE.
Bài 18. Cho tam giác ABC với ba đường cao AA1, BB1,CC1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
A1B1C1 cắt lại BC,CA, AB lần lượt tại A2, B2,C2. Chứng minh đường thẳng qua A2, vuông góc
với BC, đường thẳng qua B2 vuông góc với CA và đường thẳng qua C2 vuông góc với AB đồng
quy.
Hướng dẫn
Chứng minh ba đường thẳng đó là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Bài 19. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai cát tuyến tuỳ ý MAB và
MCD đối xứng qua MO (với A nằm trong MB và C nằm trong MD). Chứng minh MO, AD, BC
đồng quy.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 19
Hướng dẫn
AD, BC cùng đi qua một điểm trên MO.
Bài 20. Cho đường tròn (O) và dây cung BC không phải là đường kính. Tiếp tuyến của (O) tại
hai điểm B,C giao nhau tại A. M là điểm tuỳ ý thuộc cung BC
_
. Tiếp tuyến qua M cắt AB, AC ở
D, E. OD, OE cắt BC ở I, K. Chứng minh MO, DK, EI đồng quy.
Hướng dẫn
Chứng minh MO, DK, EI là ba đường cao của4ODE.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 20
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG1
Để chứng minh ba điểm A,M, B thẳng hàng (với M nằm giữa A và B), ta có thể sử dụng một
trong các phương pháp sau đây
Phương pháp 1. Chứng minh AM+MB = AB
Bài 1. Ba điểm A,M, B có thẳng hàng hay không nếu
a) AM = 4cm, AB = 7cm,MB = 3cm.
b) AM = 3cm, AB = 7cm,MB = 5cm.
Lời giải
a) Ta có AM+MB = 7(cm) = AB. Vậy ba điểm A,M, B thẳng hàng.
b) Ta có
AM+MB = 8cm> AB = 7cm;
AM+AB = 10cm>MB = 5cm;
MB+AB = 12cm> AM = 3cm.
Như vậy trong ba điểm A,M, B không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nên chúng không
thẳng hàng.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Biết độ dài đoạn thẳng
EF bằng nửa tổng độ dài hai đoạn thẳng AB vàCD. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
Lời giải
A B
CD
E F
K
Gọi K là trung điểm của AC, khi đó EK là đường trung bình của tam giác ADC nên EK‖DC và
EK =
1
2
DC.
Tương tự, ta có FK‖AB và KF = 1
2
AB. Suy ra
EK +KF =
1
2
(DC+AB), mà EF =
1
2
(AB+DC) nên EK +KF = EF .
Chứng tỏ ba điểm E, K, F thẳng hàng, do đó DC‖EF , AB‖EF suy ra AB‖DC.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
Phương pháp 2. Chứng minh ÂMB = 180◦
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).M là một điểm thuộc đường tròn. Gọi D, E, F
theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, D, F
1Bài viết tham khảo thêm
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 21
thẳng hàng. (đường thẳng qua ba điểm D, E, F được gọi là đường thẳng R.Simson).
Lời giải
A
B
C
D
E
F
M
O
Giả sửM là một điểm trên cung nhỏ BC. Do tứ giác ABMC nội tiếp nên ÂBM+ ÂCM = 180◦, mà
M̂BD+ M̂BA = 180◦⇒ M̂BD = M̂CA.
Ta thấy tứ giác BDME nội tiếp nên M̂BD = D̂EM, suy ra D̂EM = M̂CA.
Tứ giác MEFC nội tiếp nên M̂EF + M̂CA = 180◦.
Do vậy, ta có D̂EF = D̂EM+ M̂EF = M̂CA+ M̂EF = 180◦.
Chứng tỏ ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Chứng minh tương tự khi M là điểm thuộc cung nhỏ AC hoặc cung nhỏ AB.
Phương pháp 3. Chứng minh hai tia AM và AB trùng nhau
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, B̂AC = 100◦. Điểm M nằm trong tam giác sao cho M̂BC =
10◦, M̂CB = 20◦. Tính số đo của ÂMB.
Lời giải
A
B C
M
O
Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường thẳng BM, dựng điểm O sao cho tam giác OBM
đều.
Tam giác ABC cân tại A có B̂AC = 100◦ nên ÂBC = ÂCB =
180◦− B̂AC
2
= 40◦.
Do M̂CB = 20◦ và M̂BC = 10◦ nên B̂MC = 180◦− M̂BC− M̂CB = 150◦.
Lại do B̂MC+ B̂MO+ ĈMO = 360◦ và B̂MO = 60◦, nên ĈMO = 360◦−150◦−60◦ = 150◦.
Suy ra4MBC =4MOC (c.g.c) ⇒ M̂CO = M̂CB = 20◦ mà M̂CA = 20◦ nên M̂CO = M̂CA.
Vậy hai tiaCA vàCO trùng nhau nênC, A, O thẳng hàng. Tam giácCOB cân tạiC có ÔCB = 40◦
nên ĈOB = ĈBO = 70◦⇒ ÂBO = ÂBM = 30◦⇒ ÂOB = 180◦− ÔAB− ÂBO = 70◦.
Lại có4ABO =4ABM (c.g.c) ⇒ ÂMB = ÂOB = 70◦.
Phương pháp 4. Chứng minh AM và BM cùng song song với đường thẳng d
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 22
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm P tuỳ ý trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đối
xứng của C qua P. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, AB. Chứng minh rằng ba
điểm P, F , E thẳng hàng.
Lời giải
Gọi O, I thứ tự là các giao điểm của AC và BD; AM và EF . Do MEAF là hình chữ nhật nên tam
giác IAE cân tại I⇒ ÎAE = ÎEA.
Tương tự, có ÔAD = ÔDA.
A
B C
DE
I
OM
P
F
Ta thấy OP là đường trung bình của tam giác ACM nên AM‖OP hay AM‖BD
⇒ ÎAE = ÔDA⇒ ÎEA = ÔAD⇒ EF‖AC. (1)
Lại có IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP‖AC mà IF‖AC, suy ra ba điểm I, F , P
thẳng hàng, dẫn đến FP‖AC. (2)
Từ (1), (2) suy ra ba điểm E, F , P thẳng hàng.
Phương pháp 5. Chứng minh AM và BM cùng vuông góc với đường thẳng d
Bài 6. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFG và hình bình hành EAKG.
a) Chứng minh rằng AK = BC và AK⊥BC.
b) BF cắtCD tại M. Chứng minh rằng ba điểm K, A,M thẳng hàng.
Lời giải
A
B C
D
E
H
M
F
G
K
a) Gọi H là giao điểm của KA và BC. Tứ giác AEKG là hình bình hành nên
ÂEK + ÊAG = 180◦⇒ ÂEK = B̂AC.
Từ giả thiết suy ra EK = AG = AC; EA = AB. Do đó4ABC =4EAK (c.g.c) ⇒ BC = AK.
Lại có ÂBC = ÊAK mà ÊAK + B̂AH = 90◦ nên ÂBC+ B̂AH = 90◦⇒ AH⊥BC hay AK⊥BC.
b) Ta có K̂AG = ÂCH (cùng phụ với ĤAC) nên K̂AC = B̂CF .
Lại có AK = BC, AC =CF nên4KAC =4BCF (c.g.c)
⇒ ÂKC = ĈBF mà ÂKC+ B̂CF = 90◦ nên ĈBF + B̂CK = 90◦⇒ KC⊥BF .
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 23
Chứng minh tương tự, ta có CD⊥BK ⇒ BF ,CD là các đường cao của tam giác KBC nên M là
trực tâm của tam giác KBC, suy ra KM⊥BC mà KA⊥BC nên ba điểm K, A,M thẳng hàng.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, ÂBC = 108◦. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của
ÂCB sao cho ĈBO = 12◦. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng BO).
a) Chứng minh rằng ba điểmC, A,M thẳng hàng.
b) Tính số đo ÂOB.
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B, điểm O′ nằm trên đường tròn (O). Kẻ
đường kính O′OC của đường tròn (O). Đường vuông góc với AO′ tại O′ cắtCB ở I. Đường vuông
góc với AC tạiC cắt O′B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Các điểm E, D thuộc nửa đường tròn sao cho
BE_= DE_= CD_. Các điểmM, N trên đường kính BC sao cho BN = NM = MC. Vẽ tam giác đều
ABC (A không nằm trên nửa mặt phẳng chứa D bờ là đường thẳng BC). Chứng minh rằng ba điểm
A,M, D thẳng hàng.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 24
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG2
I. Một số tiêu chuẩn chứng minh ba điểm thẳng hàng
1) Chứng minh ba điểm phân biệt A, O, B theo thứ tự nằm trên một đường thẳng khi có tia Ox sao
cho ÂOx+ x̂OB = 180◦.
Bài 1. Cho ba điểm A, B,C nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Dựng các tam giác đều
DAB và EBC cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. GọiM là trung điểm AE, dựng tam giác đều BMN
sao cho N thuộc nửa mặt phẳng chứa D bờ AB. Chứng minh rằng ba điểm D, N,C thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
A B C
D
E
N
M
Ta có4ABM =4DBN⇒ ÂMB = D̂NB. Mà4MBE =4NBC⇒ B̂ME = B̂NC.
Do đó B̂ND+ B̂NC = B̂MA+ B̂ME = 180◦. Suy ra ba điểm D, N,C thẳng hàng.
2) Các điểm A, O, B thẳng hàng khi đường thẳng AO và OB cùng song song hoặc trùng nhau hoặc
cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.
Bài 2. Chứng minh rằng chân các đường vuông góc của đỉnh A xuống các đường phân giác trong
và ngoài của các góc B vàC của tam giác ABC thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
A
B C
DE
NM
I
Gọi I là giao điểm hai đường phân giác trong tại B và C của tam giác ABC. Gọi M, E, D, N là
chân các đường vuông góc kẻ từ A đến các đường phân giác trong và ngoài của tại các đỉnh B và
C của tam giác ABC. Vì ÂDM = ÂDE =
1
2
(
Â+ Ĉ
)
nên các điểm M, D, E thẳng hàng.
Tương tự các điểm E, D, N thẳng hàng.
Vậy các điểm M, E, D, N thẳng hàng.
3) Đường thẳng d đi qua B và hai đường thẳng d1, d2 song song tương ứng đi qua A và C (A và C
thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d). Nếu
MA
MB
=
NC
NB
thì A, B,C thẳng hàng
(xem tiêu chuẩn 3 trang 5).
2Bài viết tham khảo thêm
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 25
A B
C
N
d2
d1
d
M
Bài 3. Chứng minh rằng trong một hình thang: Trung điểm hai cạnh đáy, giao điểm của hai đường
chéo và giao điểm của hai cạnh bên kéo dài thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Giả sử AC cắt BD tại I, AD và BC kéo dài cắt nhau tại O, đường thẳng OI cắt AB,CD thử tự tạiM
và N.
A B
CD N
M
I
P Q
O
Ta có AB‖CD⇒ AM
DN
=
MB
NC
và
AM
NC
=
MB
DN
⇒ DN = NC⇒MA = MB.
4) Sử dụng tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt
CD tạiM và kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt BC tại N. Chứng minh ba điểm O,M, N thẳng
hàng.
Hướng dẫn giải
A
B
CD
M
N
E
O
Nếu AD⊥AB thì MN là đường kính của đường tròn (O).
* Xét D̂AB> 90◦. Gọi E là điểm đối xứng của A qua MN. Ta có M̂EN = M̂AN = B̂CD.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 26
⇒ tứ giác MNEC nội tiếp⇒ ÂMN = ÊAB⇒ B̂CE = B̂AE
⇒ ABEC là tứ giác nội tiếp⇒ E thuộc đường tròn (O). Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.
* Nếu D̂AB< 90◦ thì chứng minh tương tự.
5) Chuyển bài toán thẳng hàng sang bài toán đồng quy.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD,M là một điểm nằm trên đường chéo AC. Qua M kẻ các đường
thẳng song song với AD và AB. Các đường thẳng đó cắt AB,CD lần lượt tại P và Q, cắt AD tại E,
đường thẳng AQ cắt EC tại H. Chứng minh B,M, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
A B
CD
M
P
Q
E
H
Ta có ÂBE = D̂AQ⇒ QA⊥BE.
Ta lại có D̂CE = P̂QB⇒ EC⊥BQ⇒ H là trực tâm của tam giác BEQ⇒ BH⊥EQ.
Mà4EBM =4AQE (c.c.c) ⇒ ÊBM = ÂQE.
Mặt khác, QA⊥BE (chứng minh trên)⇒ BM⊥EQ.
Vậy ba điểm B,M, H thẳng hàng.
6) Phương pháp diện tích.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD, các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại N. Các đường thẳng AD, BC cắt
nhau tại M. Gọi I, E và K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BD, AC và MN. Chứng
minh I, E, K thẳng hàng (đường thẳng Gauss).
Hướng dẫn giải
A
B C
D
M
N
I
E
K
Ta chứng minh được SNIE =
1
4
SABCD, SMEI =
1
4
SABCD⇒ SINE = SIME .
⇒ khoảng cách từ M và N đến EI bằng nhau⇒ EI qua trung điểm MN.
Vậy các điểm I, E, K thẳng hàng.
II. Áp dụng
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 27
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm tuỳ ý trên (O) ; D, E, H là hình
chiếu vuông góc của M trên BC, AB, AC. Chứng minh rằng D, E, H thẳng hàng.
Lời giải
A
B C
D
M
E
H
Không mất tính tổng quát ta giả sử M thuộc cung BC không chứa A
và M̂BA≥ M̂CA.
Vì MD⊥BC,ME⊥AB nên tứ giác MDBE nội tiếp, suy ra ÊDB = ÊMB (1)
Tương tự ĤMC = ĤDC (2)
Vì tứ giác ABMC nội tiếp nên M̂BE = M̂CA, suy ra ÊMB = 90◦− ÊBM = 90◦− ĤCM = ĤMC.
Kết hợp (1), (2) suy ra ÊDB = ĤDC.
Vậy D, E, H thẳng hàng.
Nhận xét: Đường thẳng qua D, E, H có tên là đường thẳng R.Simson của tam giác ABC ứng với
điểm M. Ta có bài toán ngược sau.
Bài 2. Cho tam giác ABC và điểm M thoả mãn hình chiếu D, E, H của M lần lượt trên các cạnh
BC, AB, AC thẳng hàng. Chứng minh M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nhận xét: Từ hai bài tập trên ta rút ra kết luận sau: Cho tam giác ABC và một điểm M không
trùng với các đỉnh. D, E, H là hình chiếu củaM trên ba cạnh của tam giác ABC. Điều kiện cần và
đủ điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là D, E, H thẳng hàng.
Bài 3. Cho M là điểm trên đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi K, P, Q lần lượt là các
điểm đối xứng của M qua BC,CA, AB. Chứng minh P, K, Q thẳng hàng và đường thẳng PQ luôn
đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên (O).
Lời giải
A
B C
D
E
F
M
Q
P
K
H
J
I
Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của MK,MP,MQ với BC,CA, AB.
nguyenmanhha0210@gmail.com ĐT 0947 137 735
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 7, 8, 9 28
Theo tính chất đối xứng trục, ta có D, E, F lần lượt là trung điểm của MK,MP,MQ. Suy ra
DE, EF , FD là đường trung bình của các tam giác MKP,MPQ,MQK.
Do đó DE‖KP, EF‖PQ, FD‖QK, mà D, E, F thẳng hàng nên K, P, Q thẳng hàng.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I, J là điểm đối xứng của H qua AC và AB.
Ta có I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và các tứ giác MHIP,MHJQ là hình thang
cân.
Do đó Q̂HJ = M̂JH = M̂AC.
Tương tự P̂HI = M̂IH = M̂AB.
Suy ra Q̂HJ+ P̂HI+ ÎHJ = M̂AC+ M̂AB+ ÎHJ = Â+ ÎHJ = 180◦.
Vậy P, Q, H thẳng hàng hay PQ đi qua điểm H cố định.
Nhận xét: Đường thẳng đi qua K, P, Q gọi là đường thẳng Steiner ứng với điểm M của tam giác
ABC.
Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ,M thuộc cung nhỏ AB. D, E, K tương ứng là
các điểm thuộc tia BC,CA, BA sao cho M̂DB = M̂EC = M̂KB. Chứng minh D, E, K thẳng hàng.
Lời giải
A
B C
D
E
M
K
Vì M̂DB = M̂KB nên tứ giác