SKKN Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học lớp 7

là tia phân giác BAC )
AI (chung).
Do đó ∆ IAE = ∆ IAF (c.g.c)
⇒ IE = IF;
AIE = AIF = 600
Ta có FIC = AIC - AIF = 1200 - 600 = 600
Xét ∆ DIC và ∆ FIC có:
DIC = FIC (=600); IC (chung); ICD = ICF 
Do đó ∆ DIC = ∆ FIC (g.c.g) ⇒ ID = IF.
Ta có IE = ID (=IF).
Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy xác định một điểm O ∈ xy sao cho AOx = BOy.
Phân tích: 
Cách vẽ đường phụ trong trường hợp này nhằm tạo ra góc thứ ba (O3) làm góc trung gian để so sánh hai góc AOx (O1) và BOy (O2).
 Lời giải
Vẽ AH ⊥ xy (H ∈ xy) rồi kéo dài lấy một đoạn HC = HA.
Nối BC cắt xy tại O.
Nối OA ta được AOx = BOy.
Thật vậy, ∆AOH = ∆COH (c.g.c) do HC = HA, HO chung, AHO = CHO = 900
Suy ra O1 = O3 ; lại có O2 = O3 (đối đỉnh) nên O1 = O2 hay AOx = BOy.
Vận dụng: Từ việc chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau ta vận dụng vào chứng minh:
Hai đường thẳng song song, hoặc vuông góc.
Phân giác của một góc.
Ba điểm thẳng hàng
Trung điểm của đoạn thẳng.
Tam giác cân, đều, vuông.
Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC), D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vẽ DE vuông góc với BC (E ∈ BC). Chứng minh rằng HA = HE.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC, AD là phân giác. Trên đường thẳng AD lấy các điểm E và F sao cho ABE = CBF. Chứng minh rằng ACE = BCF.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng tỏ rằng DE // BC.
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho ED = EB. Chứng minh rằng ED // AC.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi AB’ là tia đối của tia AB, AD là tia phân giác của góc B’AC. Chứng minh rằng AD // BC.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, D là điểm nằm trong tam giác sao cho DBC = DCA = 300. Chứng minh rằng AC = DC.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B dựng AD ⊥ AB, AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE ⊥ AC, AE = AC. Nối D và E. AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Bài tập 8: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Nối DB, DC. Đường thẳng a qua điểm M cắt các cạnh AC, BD lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Bài tập 9: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của đoạn DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng một nửa độ dài đoạn thẳng khác
Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng ngắn.
Ví dụ 1: Cho góc xAy bằng 600, Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc với Ay (D ∈ Ay). Chứng minh rằng BD = 12 AC.
GT
xAy = 600; Az là tia phân giác xAy . BC ̸ ̸ Ay.
KL
BD = 12 AC
Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng AC rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng BD.
Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AC. Cần chứng minh AE hoặc EC bằng BD. Điều này có được nhờ ∆ ADB = ∆ BEA.
Lời giải
Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AC.
Ta có A1 = A2 =xAy 2 = 300 (Az là tia phân giác xAy )
A2 = C1 (AD ̸ ̸ BC)
Suy ra A1 = C1 ⇒ AB = CB
∆ BAE = ∆ BCE (AB = CB, AE = EC, BE cạnh chung)
⇒ AEB = CEB mà AEB + CEB = 1800
Do đó 2AEB = 1800 ⇒ AEB = 900
∆ EBA có AEB = 900; A1 = 300 ⇒ EBA = 600
Mặt khác ∆ ADB có ADB = 900; DAB = 600 ⇒ B1 = 300
Xét ∆ DAB và ∆ EBA có:
DAB = EBA (=600); AB (chung); B1 = A1 (= 300)
Do đó ∆ DAB = ∆ EBA (g.c.g)
⇒ BD = AE
Mà AE = 12 AC, vậy BD = 12 AC.
Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng BD được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng AC.
(Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB và tìm cách chứng minh rằng AC = BF, ta nhận ra rằng ∆ ABC = ∆ BAF cho ta điều đó)
Lời giải
Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB.
∆ ADB = ∆ ADF (DB = DF, ADB = ADF = 900, AD cạnh chung)
⇒ BAD = FAD 
⇒ BAF = 2 BAD = 1200.
ABC + DAB = 1800 (Ay ̸ ̸ BC)
⇒ ABC = 1800 - DAB = 1200.
Mặt khác ∆ DAB có ADB = 900
⇒ DAB + B1 = 900 ⇒ B1 = 900 - DAB = 300
Ta cũng có : A1 = B1 (= 300); AB (chung); BAF = ABC (=1200)
Do đó ∆ ABF = ∆ BAC (g.c.g)
⇒ BF = AC
Mà BD = 12 BF, do đó: BD = 12 AC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN ̸ ̸ BC và MN = BC2 .
Phân tích
Để chứng minh BC = 2MN , ta tạo ra một đoạn thẳng bằng 2MN, rồi chứng minh đoạn đó bằng BC. 
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
Dễ dàng chứng minh được DM = BC.
Lời giải
GT
∆ ABC; M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC
KL
MN ̸ ̸ BC, MN = BC2
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
Xét ∆ NMA và ∆ NDC có NM = ND, ANM = DNC (đối đỉnh), AN = NC (giả thiết).
Do đó ∆ NMA = ∆ NDC (c.g.c)
Suy ra AM = DC, MAN = NCD.
Ta có MAN = NCD, MAN và NCD so le trong
⇒ AB ̸ ̸ CD ⇒ BMC = MCD
Xét ∆ BMC và ∆ DCM có:	
MB = DC (= AM); BMC = MCD (chứng minh trên); MC (cạnh chung)
Do đó ∆ BMC = ∆ DCM (c.g.c)
Suy ra BCM = DMC, BC = DM
BCM = DMC, BCM và DMC so le trong ⇒ MN ̸ ̸ BC
BC = DM, MN = 12 DM ⇒ MN = 12 BC.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC, trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 12 DE.
GT
∆ ABC; AD ⊥ AB
AD = AB, AC ⊥ AE
AC = AE
M là trung điểm cạnh BC
KL
AM = 12 DE
Phân tích
Ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng minh đoạn thẳng đó bằng DE.
Yếu tố phụ cần vẽ là tia đối của tia MA và trên tia này lấy điểm N sao cho MN = MA.
Lời giải
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MNC có MA = MN,
BMA = NMC (đối đỉnh), MB = MC.
Do đó ∆ MAB = ∆ MNC (c.g.c)
Suy ra BAM = MNC và AB = CN
BAM = MNC ⇒ AB ̸ ̸ CN. Vì vậy:
BAC + ACN = 1800
Ta có: BAC + DAE = 1800
Suy ra ACN = DAE.
Xét ∆ CAN và ∆ AED có:
CA = AE (giả thiết), ACN = DAE, CN = AD (=AB)
Do đó ∆ CAN = ∆ AED (c.g.c)
Suy ra AN = DE, mà AM = 12 AN, do đó AM = 12 DE.
Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 12 BC.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 600. 
 Chứng minh rằng AB = 12 BC.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của cạnh BC, D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD.
Bài tập 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có BAC + B'A'C' = 1800, AB = A’B’, AC = A’C’. M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 12 B’C’.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC có A < 900. Vẽ tia Ax vuông góc với AB (hai tia Ax và AC cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB), trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB và dựng tia Ay vuông góc với AC (hai tia Ay và AB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC), trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 12 DE.
Bài tập 6: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Gọi D, E là trung điểm của các cạnh BC và AC. BE cắt CN ở H. AD cắt CM ở K. Chứng minh rằng HK = 14 AB.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau ở M. 
Chứng minh rằng DM = 13 DE.
Bài tập 8: Cho tam giác đều ABC. Một đường thẳng song song với cạnh AC cắt các cạnh AB và BC ở M và N. Gọi H là trực tâm của tam giác MBN và E là trung điểm đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng HE = 12 CH.
Dạng 3: Chứng minh tổng hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba (Đ1 + Đ2 = Đ3)
Cách 1: Chia Đ3 thành hai phần hợp lí, rồi chứng minh một phần bằng Đ1, phần còn lại bằng Đ2.
Cách 2: Vẽ một đoạn thẳng bù thêm một trong hai đoạn Đ1 (hoặc Đ2) rồi chứng minh đoạn mới này bằng Đ3 và đoạn bù thêm bằng đoạn Đ2 (hoặc Đ1).
Cách 3: Vẽ một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng Đ1 và Đ2 rồi chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng Đ3.
Cách 4: Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn Đ3 và một trong hai đoạn Đ1 (hoặc Đ2), rồi chứng minh đoạn mới này bằng đoạn còn lại Đ2 (hoặc Đ1).
Ví dụ 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm D, E sao cho BD = CE. Qua D và E vẽ các đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC ở F và G. Chứng minh rằng DF + EG = AB.
GT
∆ ABC có BD = CE (D,E ∈BC),
DF ̸ ̸ AB, EG ̸ ̸ AB
KL
DF + EG = AB
Cách 1: Chia đoạn thẳng AB thành hai phần, rồi chứng minh một phần bằng đoạn thẳng DF và phần còn lại bằng đoạn thẳng EG.
Vì DF ̸ ̸ AB cho nên vẽ thêm DH ̸ ̸ AC (H ∈ AB) giúp ta có AH = DF, mà AB = AH + HB và chỉ cần chứng minh rằng HB = EG là được. Điều này đạt được vì ∆ BHD = ∆ EGC (g.c.g).
Bằng cách tương tự ta cũng có thể vẽ thêm EK ̸ ̸ AC (K ∈ AB) để có
 KA = EG và chứng minh rằng KB = DF.
Cách 2: Vẽ một đoạn thẳng “bù thêm” một trong hai đoạn thẳng một cách thích hợp rồi chứng minh rằng đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng thứ ba và đoạn thẳng bù thêm bằng đoạn thẳng kia.
Vì DF ̸ ̸ AB cho nên vẽ thêm AP ̸ ̸ BC (P thuộc đường thẳng DF), ta có AB = PD mà PD = DF + PF. Do vậy chỉ cần chứng minh thêm PF = EG. Điều này ta cũng có được vì ∆ APF = ∆ CEG. 
Và như vậy ta cũng có thể vẽ thêm AQ ̸ ̸ BC (Q thuộc đường thẳng EG), tương tự như trên ta cũng chứng minh được AB = DF + EG.
Cách 3: Vẽ một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng rồi chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng thứ ba.
Trên tia đối của tia DF lấy điểm M sao cho DM = EG.
Ta đã có: MF = DF + DM nên chỉ còn chứng minh rằng AB = MF.
Từ ∆ MBD = ∆ GCE (c.g.c) ta có MBD = GCE
Suy ra BM ̸ ̸ AF, kết hợp với AB ̸ ̸ DF ta có AB = MF.
Hoàn toàn tương tự có thể vẽ thêm điểm N trên tia đối EG sao cho EN = DF.
Cách 4: Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng còn lại .
Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI = EG và chỉ cần chứng minh AI = DF .
Từ ∆ BID = ∆ EGC (c.g.c) ta có
 IDB = GCE ⇒ AF ̸ ̸ ID
Kết hợp với AB ̸ ̸ DF ta có AI = DF.
Tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm J trên cạnh AB sao cho BJ = DF.
Ví dụ 2: Cho góc xOy bằng 900, Oz là tia phân giác. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB ⊥ Ox và AC ⊥ Oy (B ∈ Ox, C ∈ Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối A với D. Tia phân giác của góc CAD cắt Oy tại E.
Chứng minh rằng AD = CE + BD.
Phân tích
Chọn cách giải là tạo ra đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và cần chứng minh đoạn thẳng đó bằng AD là xong. Xuất phát từ suy nghĩ này ta chọn yếu tố phụ là điểm F trên tia đối của tia BO sao cho BF = CE.
Ta chỉ cần chứng minh tam giác DAF cân đỉnh D.
GT
xOy = 900, Oz là tia phân giác xOy;
AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy
AE là tia phân giác góc CAD
KL
AD = CE + BD
Lời giải
Trên tia đối của tia BO lấy điểm F sao cho BF = CE.
Xét ∆ CAO và ∆ BAO có:
COA = BOA (Oz là tia phân giác xOy), OA (cạnh chung);
CAO = BAO (vì CAO + COA = BAO + BOA = 900, COA = BOA )
Do đó ∆ CAO = ∆ BAO (g.c.g)
⇒ CA = BA
Xét ∆ CAE và ∆ BAF có:
CA = BA (chứng minh trên), ACE = ABF (= 900); CE = BF
Do đó ∆ CAE = ∆ BAF (c.g.c)
Suy ra A1= A3. Mà A1= A2 và 2A1 + DAB = 900
⇒ DAF + A3 = 900
⇒ DAF = DFA.
Ta có ∆ DAF có DAF = DFA
⇒ ∆ DAF cân đỉnh D
⇒ AD = DF
Mà DF = BF + BD = CE + BD, nên: AD = CE + BD.
Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 1000. Vẽ đường phân giác BD của tam giác ABC. Chứng minh BC = BD + DA.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, AM là đường trung tuyến. Đường thẳng d qua G cắt các cạnh AB và AC. Vẽ AA’, BB’, CC’ vuông góc với đường thẳng d (A’, B’, C’ ∈ d).
Chứng minh rằng AA’ = BB’ + CC’.
Dạng 4: Chứng minh đoạn thẳng Đ1 > đoạn thẳng Đ2 (hoặc góc G1 > góc G2).
Cách 1: Tạo ra một tam giác mà có hai cạnh với độ dài bằng hai đoạn Đ1 và Đ2 (hoặc có hai góc bằng hai góc G1 và G2). Sau đó áp dụng các định lý về quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác để chứng minh Đ1 > Đ2 (hoặc G1 > G2).
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh MAC < BAM.
GT
 ∆ ABC có AB < AC, M B = MC
KL
MAC < BAM.
Phân tích
Hai góc MAC và BAM không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc ấy và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC.
Lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
Lời giải
Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC có:
MA = MD, AMB = DMC (đối đỉnh), MB = MC (M là trung điểm cạnh BC).
Do đó ∆ MAB = ∆ MDC (c.g.c)
Suy ra AB = CD, BAM = MDC
Ta có AB = CD, AB < AC ⇒ CD < AC
Xét ∆ ADC có CD < AC ⇒ MAC < MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà MAC < MDC và BAM = MDC, suy ra MAC < BAM.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A = 900. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD BD.
GT
 ∆ ABC có A = 900, AD < AC
KL
BC > BD.
Phân tích
Ta tìm cách tạo ra một tam giác có hai cạnh có độ dài bằng BC, BD.
Điểm E trên tia AC sao cho AE = AD là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp giải bài toán.
Lời giải
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD.
Ta có AE < AC (vì AD < AC) nên E nằm giữa A và C.
Mà BA ⊥ DE và DA = AE ⇒ ∆ BDE cân đỉnh B ⇒ BDE = BEA.
Ta có BEA > BCE (BEA là góc ngoài của ∆ BEC).
Do đó BDC > BCD.
Xét ∆ BDC có BDC > BCD suy ra BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).
Cách 2: Tạo ra một đoạn thẳng trung gian Đ3 (hoặc góc trung gian G3) và nhờ tính chất bắc cầu để chứng minh Đ1 > Đ2 (hoặc chứng minh G1 > G2).
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A = 900. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D, E. Chứng minh rằng DE < BC.
GT
 ∆ ABC có A = 900, D∈AB, E∈AC.
KL
DE < BC.
Phân tích
Rõ ràng không thể so sánh trực tiếp DE và BC. Do đó phải dùng đoạn thẳng trung gian và nhờ tính chất bắc cầu. Đoạn thẳng trung gian đó là DC. DC là yếu tố phụ cần vẽ thêm.
Lời giải
Nối D và C.
Ta có AE, AC lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DE, DC trên đường thẳng AC.
Mà AE < DC (vì E thuộc cạnh AC) suy ra DE < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó).
Mặt khác AD, AB lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DC, BC trên đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) suy ra DC < BC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó).
Ta có DE < DC; DC < BC ⇒ DE < BC.
Vi dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu trong tam giác có điểm D sao cho AD = AB thì AB < AC.
GT
Trong ∆ ABC có điểm D sao cho AD = AB.
KL
AB < AC.
Phân tích
Gọi E là giao điểm của BD và AC. Hình vẽ gợi ý cho thấy AB < AE giúp ta nghĩ đến đường phụ cần vẽ thêm là đường vuông góc AH vẽ từ A đến BD (H ∈ BD).
Lời giải
Vẽ AH ⊥ BD (H ∈ BD). Gọi E là trung điểm của BD và AC. Ta có AB = AD (giả thiết) và AH ⊥ BD. Suy ra HB = HD (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó). Mà HD < HE, do đó AD < AE (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó).
Mặt khác AE < AC (vì E nằm giữa A và C)
Suy ra AD < AC. Mà AB = AD do đó AB < AC.
Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho tam giác ABC (AB = AC), D là điểm bất kì trong tam giác sao cho ADB > ADC. Chứng minh rằng DC > DB.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB BM.
Bài tập 3: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox (H ∈ Ox), MK vuông góc với Oy (K ∈ Oy).
Chứng minh rằng MH < MK.
Bài tập 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC.
Chứng minh rằng BAD < DAE.
Bải tập 5: Cho tam giác ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C.
Chứng minh rằng MA + MB > AC + BC.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có BAC = 900, ABC = 540, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DBC = 180. Chứng minh rằng BD < AC.
Bài tập7: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E.
Chứng minh rằng BC < DE.
Dạng 5: Dùng bất đẳng thức tam giác để chứng minh bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. 
 Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM.
GT
∆ ABC có MB = MC
KL
AB + AC > 2AM.
Phân tích
Ta tìm cách tạo ra đường thẳng có độ dài bằng 2AM và là cạnh của tam giác có hai cạnh còn lại bằng hai cạnh AB, AC hoặc tạo ra một tam giác có ba cạnh bằng AB2, AC2 và AM.
Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA.
Tam giác ADC có AD = 2AM, DC = AB, và AC thoả mãn yêu cầu đặt ra ở trên. Điểm D chính là điểm phụ cần vẽ thêm.
Lời giải
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC có:
MA = MD, AMB = DMC (đối đỉnh), MB = MC (giả thiết)
Do đó ∆ MAB = ∆ MDC (c.g.c)
⇒ AB = DC
Xét ∆ ADC có CD + AC > AD (Bất đẳng thức tam giác)
Do đó AB + AC > AD mà AD = 2AM
suy ra AB + AC > 2AM.
Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của góc BAC, (D ∈ BC). M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD.
Chứng minh rằng MB – MC < AB – AC.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng MB + MC < AB + AC.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng AB – AC > BD – CE.
Bài tập 4: Cho tam giác ABC (A = 900), vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng AH + BC > AB + AC.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ điểm D trên cạnh AB, vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại E.
Chứng minh rằng BE > 12 (DE + BC).
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức
Ta có thể nghĩ đến vận dụng định lý Pytago bằng cách tạo ra các tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A = 600. 
 Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
GT
∆ ABC có A = 600.
KL
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
Phân tích
Ta vẽ đường phụ là đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh.
Lời giải
Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB).
Tam giác HAC vuông tại H có BAC = 600 nên là nửa tam giác đều, suy ra:
HA = AC2.
Do đó HB = AB – HA = AB - AC2.
∆ HAC có AHC = 900, theo định lí Py-ta-go, ta có:
AC2 = HA2 + HC2 ⇒ HC2 = AC2 – (AC2)2 = 34 AC2
∆ HBC có BHC = 900, theo định lí Py-ta-go, ta có:
BC2 = HB2 + HC2.
Do đó BC2 = (AB - AC2)2 + 34AC2 = (AB - AC2)( AB - AC2) + 3 4AC2
 = AB(AB - AC2) - AC2(AB - AC2) + 3 4AC2
= AB2 – AB.AC + 14 AC2 + 3 4AC2
= AB2 + AC2 – AB.AC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC và AB = 6cm, AC = 10cm, AM = 4cm. Chứng minh rằng MAB = 900.
GT
∆ ABC có MB=MC, 
AB = 6cm, AC = 10cm, 
AM = 4cm.
KL
MAB = 900.
Phân tích
Các số 6; 10; 4 gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go.
Thật vậy, nếu gọi D là điểm sao cho M là trung điểm của AD ta chứng minh được BD = AC và từ đó chứng minh được tam giác ABD vuông tại A và có các cạnh là 10; 6; 8.
Lời giải
Gọi D là điểm sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AD. 
Xét ∆ MAC và ∆ MDB có MA = MD, AMC = DMB (đối đỉnh); MC = MB
(M là trung điểm cạnh BC).
Do đó ∆ MAC = ∆ MDB (c.g.c) suy ra
AC = BD
Mà AC = 10cm nên BD = 10cm và AD = 2AM = 8cm
Ta có AB2 +AD2 = 62 + 82 = 100
BD2 = 102 = 100
∆ ABD có AB2 + AD2 = BD2 (=100)
Theo định lí đảo Py-ta-go có tam giác ABD vuông tại A nên MAB = 900.
Bài tập tự giải
Bài tập1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AB2 + AC2 = 2AM2 + 12 BC2.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC và AB = 6cm, AC = 10cm, AM = 4cm. Chứng minh rằng MAB = 900.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có ABC = 450, ACB = 300.
Chứng minh rằng AB : BC : AC = 2 : (1 + 3) : 2.
Dạng 7: Chứng minh tính chất của một hình.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. D là điểm bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ ti