Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức

 A. Phần mở đầu.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều. 
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em. 
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn . 
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ.
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về bất đẳng thức.
B. Phần nội dung.
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1: .
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2. Tính chất 2: .
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng chiều.
3. Tính chất 3: .
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1. 
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C .
Giải:
 Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
 Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 6cosA.cosB.cosC cos2A + cos2B + cos2C (1).
Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dương.
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ sao cho:
 và 
áp dụng tính chất (1), ta có:
Điều phải chứng minh.
2. Sử dụng tính chất 2.
 Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
 +2 (1) với mọi a thuộc R.
Giải: (1) +2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
; 
áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
++ với x,y,z > 0.
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
Từ tính chất ta có đpcm.
Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng: 
 ++
Ví dụ 5: . . .
3. Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
 (3)
Giải: Đặt ; . 
áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm.
Ví dụ 2. Giả sử có nghiệm.
CMR: xy + yz + zx 
Giải:
Đặt , 
áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh:
ma.MA + mb.MB + mc.MC (a2 + b2 + c2).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
 Ta có 
 Tương tự 
 ma.MA + mb.MB + mc.MC (a2 + b2 + c2)(Đpcm)
4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ thoả mãn:
 và 
áp dụng tính chất (1), ta có:
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
Giải: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1.
Ta có 
 Suy ra điều phải chứng minh.
 Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
Giải: Gọi theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB. 
Ta có:
=> (Đpcm).
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và số thực x. Chứng minh rằng:
 .
Ví dụ 6: . . .
 C. Phần kết luận.
I. Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã được tôi vận dụng khi bồi dưỡng cho học sinh về bất đẳng thức. Kết quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng như trước nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức.
II. Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn.
 Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều. Rất mong sự đóng góp ý kiến của người đọc.
 Xin chân thành cảm ơn!
 Thống Nhất, ngày 02/ 3/ 2008.
 Người viết
 Lê Thị Thanh Hoa.