Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy học sinh lớp 6 thông qua tổng quát hoá các bài toán tính tổng trong số học

 mở rộng được bài toán, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm từ các bài toán dễ đến các bài toán khác khó hơn, mang các thuộc tính tổng quát. 
- Giáo viên: Vì thời gian trên lớp hạn chế và một số yếu tố khác nên giáo viên thường là giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh đa phần chưa tổng quát hoá lên, chưa phát triển bài toán, chưa chỉ ra cho học sinh sự liên quan ở các bài toán từ đó chưa sâu chuỗi kiến thức từ đó chưa phát huy hết khả năng tư duy toán học của các em. 
Để góp phần giải quyết thực trạng trên tôi đã mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm. “Phát triển tư duy học sinh lớp 6 thông qua tổng quát hoá các bài toán tính tổng trong số học”
III. Một số giải pháp tiến hành hướng dẫn học sinh tư duy trong dạy học các bài toán tính tổng ở phần số học lớp 6
1.Hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán: 
Phân loại để định hướng lập kế hoạch giải bài toán là khâu hết sức quan trọng. Do đó trong quá trình giảng dạy môn số học lớp 6 tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán tính tổng các số tự nhiên và các bài toán liên quan thành các dạng như sau:
1.1. Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên.
1.2. Dạng toán liên quan đến tính tổng các luỹ thừa với các cơ số và số mũ là những số tự nhiên:
1.3. Dạng toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử số và mấu số là các số tự nhiên.
2. Hướng dẫn học sinh tóm tắt kiến thức cần vận dụng.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh, tôi đã cho học sinh nhắc lại và yêu cầu học sinh ghi nhớ các tính chất sau:.
2.1. Tinh chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên. (a;b;cÎ N)
a + b = b + a 
a + (b + c) = (a + b) + c
a(b + c) = ab + ac
2.2. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số. (a;cÎ N; b;d;qÎ N*)
. 
.
2.3. Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
2.4 Quan hệ chia hết
a + m; b+ m Þ (a± b)+ m ; 
a + m; b + m (a± b) + m
2.5. Một số tính chất khác. Với (nÎ N*)
 Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta có thể dùng công thức: 
 Số số hạng = ( số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + 1 
3. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán:
 3.1.Dạng 1: Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tư nhiên 
Ở số học lớp 6 thì việc làm các bài toán thực hiện phép tính tổng rất thân quen với các em, tuy nhiên thông thường thì các em chỉ dừng lại ở việc tính toán mà ít tư duy để khái quát các bài toán đó, đưa bài toán về dạng tổng
quát, vận dụng kết quả bài toán. Chính vì vậy khi dạy giáo viên cần hướng các em đi từ những ví dụ nhỏ, quen thuộc để từ đó hình thành cách tính tổng quát, vận dụng nó một cách hiệu quả trong các dạng toán liên quan. 
Ví dụ 1. Tính nhanh (Bài tập 31c trang 17 SGK toán 6 tập 1)	
 20 + 21 + 22 ++ 29 + 30 
Tuy đây là bài toán quen thuộc nhưng học sinh vẫn hay bị vướng mắc trong cách giải như: Nhóm các cặp số không logic, nhầm lẫn số lượng hạng tử, lạm dụng máy tính bỏ túi một cách máy móc không khoa học...vì vậy khi thực hiện ví dụ này giáo viên có thể định hướng cho học sinh cách giải như sau: 
Đặt S = 20 + 21 + 22 ++ 29 + 30 (1)
	 S = 30 + 29 + ...+ 21 + 20 (2)
Từ (1) và (2) 2S= (30+20)+(29 + 21)+...+ (21 + 29)+ (20 +30)
	 2S = 50 + 50 +...+ 50; Có (30 – 20):1 + 1 = 11 số 50
	 2S = 50.11 = 550 S = 275 
	Thay số hạng đầu tiên của dãy bằng một số tự nhiên bất kỳ giáo viên cho học sinh phát triển thành bài toán tính tổng các số tự nhiên liên tiếp. Từ đó hướng dẫn học sinh hình thành bài toán tổng quát.
Bài toán tổng quát 1: Tính tổng
	S = m + (m +1) + (m + 2) +...+ (m + k) (m;k Î N)
	Với cách thực hiện tương tự ví dụ trên giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành cách giải bài toán
2S = (2m + k) + (2m + k) +...+ (2m + k)
Có: (m + k - m):1 +1 = k +1 cặp hạng tử (2m + k)
 2S = (2m + k)(k + 1)
 S = 
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh.
Từ cách giải, kết quả trên ta có thể cho học sinh vận dụng thực hiện những bài toán liên quan chẳng hạn:
Bài 1: Tính tổng S = 15 +16 +...+ 99 +100. 
Trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra được số hạng 
đầu tiên m = 15, khoảng cách giữa số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng k=85 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 ta tính được tổng S = = 105.43 = 4945
 	Từ việc tính tổng này giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tự tư duy để khai thác bài toán bằng những câu hỏi liên quan khác. 
 Ví dụ: Chứng minh S + 43, sử dụng máy tính bỏ túi tính , tìm 3 ước lớn hơn 40 của S, hoặc so sánh S và 5000;....
Ngoài việc vận dụng tính tổng trực tiếp giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 thực hiện các bài toán liên quan khác đến dãy số một cách dễ dàng, chẳng hạn:
Bài 2: Tìm x biết 15 +16 + ... + 99 + x = 5000
Để thực hiện bài toán này trước hết giáo viên hưóng dẫn cho học sinh
tính tổng 15+16+...+98+99 = = 4845
Lúc này việc tìm x là công việc đơn giản với học sinh: 
4845 + x = 5000 x = 5000 - 4845 = 155
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết x +(x +1) +(x + 2) +...+ (x + 48) +(x+49) = 1275 
Theo như bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học sinh tìm ra được m =x; k=49 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 tính được =1275 x = 1
Tiếp tục khai thác kết quả của bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học sinh thực hiện những dạng toán chứng minh mà nếu không sử dụng kết quả của bài toán tổng quát này có thể là bài toán khó đối với các em chẳng hạn:
Bài 4. Cho S= 1+2+3+...+ 99+100. Chứng minh rằng 2S là tích của 2 số tự nhiên tiên tiếp. 
Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tổng S bằng việc áp dụng trực tiếp kết quả
bài toán tổng quát 1 học sinh tính được S = . Lúc này học sinh nhận ra ngay được 2S = 100.101 và kết luận bài toán.
Qua bài toán trên học sinh tính được tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên liên tiếp (Bài toán gau-xơ trang 19 SGK toán 6 tập 1). Vấn đề nảy sinh lúc này chính là cách tính tổng n số tự nhiên đầu tiên liên tiếp, từ đây giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1. 
Tính tổng: S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n. (nÎ N) 
 Với cách giải như ví dụ 1 học sinh có thể dễ dàng thực hiện được. Tuy nhiên ngoài cách giải trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những cách khác chẳng hạn:
 S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n
 2S = 1.2 + 2.2 +3.2 + ... + n.2 
Û 2S = 1.2 + 2.(3 – 1) +3.(4 – 2) + ... + n.[(n+1) – (n – 1)]
Û 2S = 1.2 – 1.2 + 2.3 – 2.3 + 3.4 -  - (n – 1)n + n (n + 1)
 Û 2S = n ( n + 1) S = 
Nếu khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ (m Î N) thì cách thực hiện bài toán như thế nào. Từ vấn đề đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng
S = m+(m+k)+(m + 2k)+...+{m +(n-1)k}+(m + nk) (m;n;kÎ N)
Với cách thực hiện tương tự cách giải của ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính được.
2S = (m + nk + m) + {(m + k) + m + (n-1)k} + ...+ (nk + m + m)
Û 2S = (2m + nk) + (2m + nk) +...+ (2m + nk)
Có: {(m + nk - m) : k} + 1 = n + 1 cặp hạng tử (2m + nk)
 S = 
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài việc cho học sinh vận dụng thực hiện những bài toán liên quan như định hướng ở bài tổng quát 1. Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh vận dụng thực hiện các dạng liên quan khác chẳng hạn:
Cho dãy số S = 5+9+13+ 17+ ...
Tìm số hạng thứ 15 của dãy rồi thực hiện tính tổng S
Học sinh có thể lúng túng trong cách tìm lời giải, thay cho việc mò mẫn có thể là liệt kê từng hạng tử của học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng bài toán tổng quát 2 bằng việc tìm ra số hạng đầu m = 5, khoảng cách k = 4, n = (15-1) khi đó số hạng thứ 15 xẽ là m+(15-1)k = 5+(15-1).4 = 61.
Lúc này việc tính tổng dãy số xẽ trở nên đơn giản đối với học sinh. Bằng việc áp dụng kết quả bài toán tổng quát 2 học sinh tính được:
 S = = 495
Với cách thực hiện như bài trên những bài toán liên quan đến tính tổng dãy số tự nhiên với khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ, tìm số hạng thứ k của một dãy số trở nên đơn giản đối với các em. 
Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo hướng thay đổi hạng tử trong dãy thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp để học sinh tìm ra bài toán mới từ đó hình thành bài tổng quát. 
Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 98.99 
Vấn đề đặt ra cho học sinh lúc này là hướng giải quyết bài toán. Với cách giải ở trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát ta nhân 2 vế với 2 (số số hạng +1). Với ví dụ này số số hạng trong mỗi tổng là 2 từ đó giáo viên hướng dẫn học sinh nhân 2 vế với 3(số số hạng +1) và thực hiện tương tự ta có được. 
 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + 98.99.3
Û 3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) +...+98.99.(100 – 97)
Û 3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 +...- 97.98.99 + 98.99.100
Û 3A = 98.99.100 A = 
Từ ví dụ trên học sinh dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 3: Tính tổng 
S = 1.2 + 2.3 +3.4 + ... + n.(n+1) (nÎ N)
Với cách giải hoàn toàn tương tự học sinh tính được: 
3S = n.(n+1)(n + 2) S = 
Với cách giải tương tự như trên giáo viên có thể tiếp tục phát triển bài toán bằng cách tăng các thừa số trong mỗi tổng là tích của 3; 4; m số tự nhiên liên tiếp ta xẽ có bài toán tính tổng với tính tổng quát mạnh hơn.
	Tính tổng: S = 1.2... m+2.3.4(m+1)+ ...+ n.(n+1).(n+2)(n+m – 1); 
 Với cách thực hiện như trên nhân cả 2 vế với (m+1) và thực hiện cách tách tương tự ta cũng xẽ có được 
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài việc cho học sinh sử dụng kết quả trên để thực hiện những bài toán liên quan tương tự như phần vận dụng cho bài toán tổng quát 1 giáo viên có thể định hướng thêm cho học sinh vận dụng kết quả bài toán tổng quát 3 để thực hiện một số bài toán liên quan khác chẳng hạn:
Bài 1. Cho S = 1.2 + 2.3 +3.4 + ... + n.(n+1) (nÎ N)
Chứng minh rằng 3S là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.
Để thực hiện bài toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán tổng quát 3 có ngay được: 
S = từ đó học sinh nhận ra ngay 3S = n(n+1)(n+2)
Từ kết quả trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh khai thác tìm ra những câu hỏi liên quan từ đó tìm ra hướng vận dụng cho những bài toán cụ thể khác 
Ví dụ: Với n < 3 So sánh S và (n+1)(n+2); chứng minh S < (n+1)(n+2) 
Bài 2. Cho A =5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21; C= A+21.22; Tính giá trị C.
	Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận ra được 
C = 5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21+21.22
Vấn đề đặt ra ở đây là dãy số không bắt đầu từ 1.2 mà là từ 5.6 vì vậy 
giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện từng bước theo như cách giải ở ví dụ 2.
3C = 5.6.3+6.7.3+...+20.21.3+21.22.3. 
Tách và biến đổi tương tự ví dụ 2 học sinh tính ra được
3C = 5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+...+20.21.22-19.20.21+21.22.23-20.21.22
 C = = 3502
Từ bài toán này giáo viên tiếp tục tổng quát lên cho học sinh: 
Tính tổng: S = m(m+1)+(m+1)(m+2)+...+(m+k-1)(m+k) (m;kÎ N)
Thực hiện tự có được S = 
Thay đổi các thừa số trong mỗi tổng theo một quy luật khác giáo viên hướng dẫn cho học sinh hình thành bài toán mới tự đó tổng quát bài toán lên.
Ví dụ 3 : Tính tổng S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1 
Dựa vào cách tách như trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1 giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tách một cách hợp lý
S = 1.99 + 2(99 - 1) + 3(99 - 2) + ...+ 98(99 - 97) + 99(99 - 98)
Û S =(1.99 + 2.99+ ...+98.99 + 99.99)–(1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99)
Û S = 99(1 + 2 + ...+ 97 + 98 + 99) - (1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99)
Lúc này bài toán trở nên khá quen thuộc đối với học sinh. Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 và kết quả ví dụ 2 
dễ dàng thực hiện được. 
 = 166650 
Từ đây cho học sinh tự tư duy để tổng quát hoá bài toán
Bài toán tổng quát 4: Tính tổng: 
S = 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ...+ (n – 1)2 + n.1 (nÎ N)
Với cách thực hiện như ví dụ 3 học sinh dễ dàng thực hiện được
S = (1.n + 2.n + 3.n +...+ n.n) – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
Û S = n(1 + 2 +3 +...+ n) - [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
Sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1, tổng quát 3 ta được.
S = - S = 
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
 Ngoài những dạng toán vận dụng đã nêu trên ta có thể hướng dẫn cho học sinh vận dụng kết quả thực hiện những dạng liên quan phức tạp hơn. Chẳng hạn:
Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết: 
Bước đầu tiên giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính tổng 
S = 1.20+2.19+...+19.2+20.1
Áp dụng kết quả của bài toán tổng quát 4 cho học sinh tìm được:
 S = ; Từ đây giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhân thấy
 ; Lúc này học sinh dễ dàng tìm được x = 20
Bài 2. Chứng minh rằng A = (1.2+2.3+...+8.9+9.10) - (1+2+...+8+9) có thể viết được dưới dạng tổng bình phương của các số tự nhiên liên tiếp.
Nhóm một cách hợp lý giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện được.
A = (1.2-1)+(2.3-2)+...+(8.9-8)+(9.10-9). 
Û A = 1(2-1)+2(3-1)+...+8(9-1)+9(10-1) = 12+22+32+...+82+92
Từ kết quả của bài tập này giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển thêm với nhiều số hạng từ đó hình thành dạng toán mới.
3.2. Dạng 2: Dạng toán liên quan đến tính tổng các luý thừa với các cơ số và số mũ là những số tự nhiên:
Ví dụ 1: Tính tổng 
S = 12 + 22 + 32 + ...+972 + 982 
Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện bước giải theo chiều ngược lại với bài toán vừa nêu trên để đưa bài toán xuất hiện những dạng quen thuộc. 
S = 1(2 -1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ...+ 97(98 - 1) + 98(99 - 1)
Û S = (1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99) - (1 + 2 + ...+ 97 + 98) 
Lúc này bài toán đã trở nên quen thuộc đối với học sinh. Sử dụng kết quả ví dụ 2 ở dạng 1 và bài toán tổng quát 1 hoặc trường hợp đặc biệt của boặctongr quát 1 học sinh tự mình thực hiện được
S = = 323400 – 4851 = 318549
Từ ví dụ này học sinh có thể dễ dàng tổng quát bài toán.
Bài toán tổng quát 1: Tính tổng 
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2 
Thực hiện tương tự ví dụ trên học sinh tính được
S = = 
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những vận dụng đã nêu như trên ta có thể cho học sinh thực hiện một số bài toán bằng việc vận dụng nhiều kết quả của những bài trước từ đó tiếp tục tổng quát bài toán thêm một bước nữa chẳng hạn: 
Tính tổng S = 52+62+72+...+192+202
Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào cách thực hiện như ví dụ 1 và dựa vào kết quả bài vận dụng 2 của bài tổng quát 3 và kết quả bài toán tổng quát 1 học sinh xẽ tính được.
S = (5.6+6.7+7.8+...+20.21)- (5+6+7+...+19+20)
Û S ==2840 
Sau khi học sinh thực hiện song bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tổng quát bài toán này lên và nêu rõ đấy chính là bài toán tổng quát của bài tổng quát 1 ở trên.
 Tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo một hướng khác bằng việc hoán đổi vị trí giữa luỹ thừa và cơ số của bài toán từ đó giáo viên hình thành cho học sinh bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23+ 24 
 Học sinh có thể có nhiều lựa chọn cho lời giải. Để thực hiện nhanh hiệu quả và cách giải không chỉ bó hẹp trong mình ví dụ này giáo viên có thể hướng cho thực hiện lập tổng 2S tương tự như ví dụ 1 ở dạng 1. Ta có
 2S = 22 + 23+ 24+ 25
 Û 2S – S = 25 – 2 = 30 S = 30 
Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23++ 2n	(nÎ N*)
Với cách thực hiện tương tự học sinh dễ dàng tính được.
2S = 22 + 23++ 2n + 2n+1
Û 2S – S = 2n+ 1- 2 S = 2n+ 1- 2
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
 Ngoài những dạng trên giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát thực hiện một vài dạng toán liên khác quan chẳng hạn:
Bài 1: Tính tổng: S = 24+25+...+29+210
Điểm khác với bài toán tổng quát là trong bài toán trên luỹ thừa không 
bắt đầu từ mũ 1. Vẫn cách thự hiện như trên giáo viên cho học sinh tự thực hiện bài toán.
2S = 25+26+...+210+211 S = 2S -S = 211-24.
Qua bài toán trên giáo viên có thể tiếp tục cho học sinh tự mình tổng 
quát bài toán lên,
Bài 2. Tính tổng S = 2m + 2m+ 1 + + 2n-1 + 2n (m;nÎ N*)
	Với cách thực hiện hoàn toàn tương tự học sinh tự thực hiện và tìm được kết quả. S = 2n+1-2m
	Cần lưu ý với học sinh đây chính là bài tổng quát của bài tổng quát 1 với hạng tử đầu tiên là cơ số 2 và số mũ là số tự nhiên bất kỳ.
Theo hướng này giáo viên tiếp tục cho học sinh tổng quát hoá lên thêm
một bước nữa bằng việc thay cơ số 2 bằng một số tự nhiên bất kỳ khác,
Bài 3: Tính tổng S = km + km+ 1 + + kn-1 + kn 
 	Với cách thực hiện tương tự giáo viên cho học sinh lập tích kS
	kS = km+ 1 +km+2 + kn +kn+1
 	S(k-1) = kn+1-km S = 
Bài toán này giáo viên có thể không yêu cầu học sinh giải mà cho học sinh xem cách giải, sử dụng kết quả cho những dạng toán liên quan. Giáo viên nhấn mạnh thêm cho học sinh là kết quả bài toán trên cũng đúng với một số dương k () bất kỳ. 
Bài 4. Tính tổng: 
a. A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ 999910 chữ số 9
b. B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1111100 chữ số 1
Đây là một dạng toán khó đối với học sinh ngay cả khi học sinh sử
dụng máy tính trực tiếp thì cũng rất khó khăn, rất dễ nhầm lẫn. Vì vậy giáo 
viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi để đưa bài toán về dạng quen thuộc từ đó học sinh tư duy và tính ra được.
A = 101–1+102 – 1 + 03 – 1+ ... +1010 –1 
 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 ) – 10. Áp dụng kết quả của bài 3
học sinh dễ dàng thực hiên được A = 
Bằng việc sử dụng máy tính hoặc tính toán thông thường thì bài toán
lúc này cũng trở nên đơn giản hơn đối với các em. 
A = 1111110 số 10 – 10 = 11119 số 100
 	Trước khi thực hiện câu b giáo viên có thể chỉ ra cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa câu a và câu b từ đó hướng dẫn cho học sinh thực hiện bước sau: 
9B = 9.(1+11+111+1111+ ...+111110 chữ số 1) = 9+ 99 + 999 + ... + 999910 chữ số 9
9B = 11119 số 100 ( Theo kết quả của câu a) 
 Vậy B = = 1234567900
Từ hai kết quả trên giáo viên có thể cho học sinh tự tư duy thực hiện
những câu tính tổng tương tự khác chẳng hạn:
Tính các tổng sau :
C = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 222210 chữ số2
D = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + 333320 chữ số3
Nếu học sinh chưa tìm ra cách thực hiện giáo viên chỉ cần hướng dẫn
2 + 22 + 222 + 2222 +... = 2(1+11+111+1111+...)
3 + 33 + 333 + 3333 + ... =3(1+11+111+1111+...)
Kết hợp với vận dụng bài 4 học sinh hoàn toàn dễ dàng thực hiện được 
và mở rộng cho nhiều bài toán tượng tự khác.
Khi dạy giáo viên cần biết cách hướng dẫn học sinh tự khái quát bài toán, từ 1 bài toán hay từ 1 cách giải ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khác cũng như xây dựng bài toán tổng quát này dựa trên bài toán tổng quát khác có như vậy các em mới khắc sâu kiến thức và vận dụng kiến thức đó để thực hiện các bài toán liên quan một cách dễ dàng hiệu quả. 
3.3 Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử số và mẫu số là những số tự nhiện 
Ví dụ 1: Tính tổng : 
 B = + + + ... + (Câu 2b đề 13 trang 51 kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ toán 6)
	Giáo viên hướng dẫn học sinh tư duy và nhận thấy được :
 = - ; = - ; Từ đây giáo viên hướng dẫn học sinh tổng quát lên được: Với . Thì. Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh áp dụng phân tích tiếp được = - ....; 
 = - . Lúc này học sinh dễ dàng lập được
 B = - + - + - + ... + - ; Thực hiện đơn giản học sinh tính được B = - = 
Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 1: 
 	Tính tổng : . 
	Với cách thực hiện tương tự như ví dụ 1 học sinh xẽ tính được.
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
 Ngoài việc vận dụng kết quả vào các dạng toán liên quan như đã nêu trên ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả thực hiện một số bài toán khác chẳng hạn.
Tính tổng 
Với cách thực hiện như ví dụ 1 học sinh dễ tính được:
 Trong bài toán này số hạng đầu tiên không phải nên nếu học sinh tính được n = 49 và áp dụng kết quả bài toán tổng quát thì kết quả xẽ sai lệch. Vì vậy giáo viên cần lưu ý cho học sinh và tổng quát bài toán lên cho học sinh ở một mức cao hơn nữa mà hạng tử đầu tiên là ; 
 (mÎ N*; kÎ N)
Giáo viên thực hiện bài toán tương tự như cách giải trên tính ra kết quả cho học sinh = 
Vấn đề nảy sinh lúc này là nếu tích của hai thừa số ở mẫu số mỗi hạng tử không phải là 2 số tự nhiên liên tiếp nữa thì hướng giải quyết như thế nào. Từ vấn đề này học sinh tự tư duy đặt ra ví dụ mới.
Ví dụ 2 Tính nhanh (Bài tập 95 trang 19 SBT toán 6 tập 2)
Giáo viên hướng dẫn học sinh tư duy tìm ra mối liên hệ 
; ;.... 
Từ đây h