Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao hiệu quả giải bài tập chứa căn thức ở lớp 9 trường THCS Hà Đông thông qua việc sửa lỗi thường gặp trong bài tập

nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên. 
	Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc. Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trìnhthường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic.
II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lí luận:
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển hiện nay. Tại nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ương khóa VIII về những giải pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Chính vì vậy đòi hỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. 
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 
 Trong trường THCS môn Toán là một môn nhiều học sinh cho là khó từ đó không thích học. Qua quá trình giảng dạy và gần gũi học sinh tôi nắm được học sinh thường chưa hiểu được công thức và không dám hỏi bạn bè và thầy cô giáo. Với học sinh lớp 9 thì việc giải dạng toán “ Tìm x trong dấu căn đẻ giải phương trình, các bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn... ” gặp nhiều sai xót do các em khi khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn tại của căn bậc hai, các biểu thức liên hợp trong bài toán trục căn thức ở mẫu... nên dẫn đến kết quả sai hoặc bỏ xót nghiệm. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tự tin và hay né tránh nên kết quả kiểm tra phần này thường thấp. 
 Cụ thể khảo sát đầu năm học 2014-2015 kết quả như sau:
Lớp
Giỏi
%
Khá
%
T.Bình
%
Yếu
%
Kém
%
9A
1
4.3
2
8.6
10
43.7
9
39.1
1
4.3
9B
1
4.2
2
8.4
11
45.7
9
37.5
1
4.2
Chính vì vậy cần khắc phục tính rụt rè, thiếu tự tin cho các em bằng cách cho các em phát hiện những chỗ sai trong các lời giải sai và phân tích nguyên nhân, từ đó đưa ra biện pháp để khắc phục.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
 Khi chưa hướng dẫn học sinh giải bằng cách áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh giải thường vướng mắc các sai lầm như sau:
3.1 Sai do bình phương bằng nhau suy ra cơ số bằng nhau (A2 = B2 Û A=B) hoặc khai phương không lấy giá trị tuyệt đối ( )
 Ví dụ1. Muỗi nặng bằng voi!
 Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây:
Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0
Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0
Đặt  
   (1)
   (2)
Nhân 2 vế với vế của (1) với (2) ta được:
 Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận:
 A2 = B2 Û A = B Sửa lại cho đúng 
Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.
Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g)
Ta có:
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong hằng đẳng thức:   thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi.
3.2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1:	Có học sinh viết: 
+Vì và
 nên 	 (!)	
+ Vì và nên (!)
Ví dụ 2: Tính 
+ Học sinh thường làm: 
Nguyên nhân: 
 - Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để tồn tại.
	- Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
Biện pháp khắc phục:
 - Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để xác định, điều kiện để có: ; .
3.3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
Ví dụ : Rút gọn biểu thức sau: A = ( Với a < 0 )
+ Lỗi thường gặp như sau:
	A = = ( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
	 A = = ( với a < 0 )
3.4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:
Ví dụ 1: Tìm x, biết : - 6 = 0
+ Nhiều học sinh làm như sau :
- 6 = 0 2(1 - x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
Theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 	 + Cách giải đúng:
- 6 = 0 = 3.
 Ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. 
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
	+ Nguyên nhân: 
	Học sinh chưa vận dụng hằng đẳng thức   và giá trị tuyệt đối của một số
	+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
	+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
Ví dụ2: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
	Tìm x, biết: 
+ Lỗi thường gặp như sau:
	Vì nên ta có: 3x = 12 x = 4.
	+ Cách giải đúng: 
	Vì nên ta có:
	 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ 3: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
	Rút gọn biểu thức: 
+ Lỗi thường gặp như sau:
	Học sinh A: 
	Học sinh B: 
+ Cách giải đúng: 
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x -1
+ Lỗi thường gặp như sau:
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
 + Cách giải đúng:
B = 4-3+ 2+ (x -1)
B = 4
16 = 4 4 = (do x -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
 + Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
 + Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
 = A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
3.5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
 Rút gọn:  với  
Một học sinh A làm như sau:
Một học sinh B làm như sau:
  (vì )
 Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
 Dễ thấy em học sinh A làm sai!
 Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )	
	Rút gọn biểu thức sau: 
	+Cách giải sai: 
	+ Cách giải đúng là:
	+ Nguyên nhân:
	Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:
 ( A,B Q+ ; x,y,z,m R )
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu và tránh những sai sót.
Ví dụ 3: Bài tập 
	Rút gọn: ( với )
	+Cách giải sai :
	+ Cách giải đúng là : 
	Với . Ta có:
 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:
+ Lỗi thường gặp như sau:
	+ Cách giải đúng :
	Đk để M xác định: ; . Ta xét hai trường hợp:
	* ; y < 0 .
	* ; y>0.
	Vậy: 	nếu ; y0 thì 
	+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc với , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
	+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:
	+ với 
	+ 
	+ tồn tại khi 
	+ , 
	+ Nếu , B > 0 thì 
3.6. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học sinh thường mắc phải một số sai lầm:
Vi dụ 1: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
	+ Lỗi thường gặp như sau:
	a. 
	b. 
	hoặc	 
	hoặc 
	hoặc 
	hoặc 
	- Cách giải đúng:
	a.
 b. 
	- Nguyên nhân:
	+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ ” tương tự như ( với và ) để tính .
	+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương.
	+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: 
	- Biện pháp khắc phục:
	+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng tương tự như ( với và ) .
	+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
	+ Cần khắc sâu các công thức:
	, với B > 0
	, với và 
	, với và 
3.7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số khi giải các bài toán về căn bậc ba :
 Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
	Giải phương trình: 	(2)
	+ Có học sinh làm:: 	
	Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!)
	+ Cách giải đúng: 
	 hoặc x = 1 hoặc x = 2.
	Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: 
	- Nguyên nhân:
	+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số 
	+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
	- Biện pháp khắc phục:
	Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số ; căn bậc hai số học của một số và căn bậc ba của một số a.
3.8. Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 1 : Tìm x, biết : 
(4- .
- Lỗi thường gặp :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4-) x < .
- Cách giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có:
(4- 2x > x > .
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
	- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức :
- Cách giải sai : = = x - .
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 0 hay x -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x -).
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Ví dụ 1: Giải PT:  (*)
 + Lơì giải sai:
Ta có :  
 + Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
 + Lời giải đúng: 
Điều kiện: 
Do đó: (Vì: x + 2011 > 0)
 Û 
Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*).
 Ví dụ 2: 
Giải pt:  (1)
+ Lời giải sai:
(1) Û 
 (Bình phương hai vế )
 (4)
  (5)          
 + Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
xác định khi  .Do đó  Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
Mà (4) 
Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với phương trình (4) với điều kiện: . Do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của (1).
 + Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định . Do đó khi giải xong kết luận phương trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô nghiệm.
Ví du 3: Giải phương trình: 
 + Lời giải sai:
 Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình.
   + Cách giải đúng:
   Ghi nhớ : 
Ví dụ 4:Giải phương trình: 
 + Lời giải sai:
Điều kiện: x > 2
 (loại)
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ :  Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A £ 0; B < 0
Nên mất một nghiệm x= -7
 + Lời giải đúng: 
Điều kiện: x > 2 hoặc x £ -2,5
 (với x > 2 hoặc x £ -2,5)
 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7
4. Kiểm nghiệm
Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh khá giỏi môn toán của trường trong năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào. Kết quả học sinh có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách có hiệu quả. Cụ thể khảo sát sau khi học như sau:
Trước khi vận dụng:
Lớp
Giỏi
%
Khá
%
T.Bình
%
Yếu
%
Kém
%
9A
1
4.3
2
8.6
10
43.7
9
39.1
1
4.3
9B
1
4.2
2
8.4
11
45.7
9
37.5
1
4.2
Sau khi vận dụng kinh nghiệm:
Lớp
Giỏi
%
Khá
%
T.Bình
%
Yếu
%
Kém
%
9A
3
13,0
7
30,4
12
52,3
1
4,3
0
0
9B
3
12,5
6
25,0
14
58,3
1
4,2
0
0
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
 III: KẾT LUẬN
 Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất.
Phần kiến thức về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ các phép biến đổi rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Nâng cao hiệu quả giải bài tập chứa căn thức ở lớp 9 trường THCS Hà Đông thông qua việc sửa lỗi thường gặp trong bài tập” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng giải quyết cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Đặc biệt gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi. Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào. Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !
Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học