Sáng kiến kinh nghiệm: Mở rộng hình học phẳng vào không gian

Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài.
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là môn học lý thú, giúp cho sự phát triển tư duy của học sinh, đặc biệt là tư duy trừu tượng. Tuy nhiên khi nhắc đến không gian cũng như khi hỏi một học sinh nào đó về một bài toán hình không gian thì các em thường lắc đầu và la khó.
Vì sao có hiện tượng đó? sở dĩ có hiện tượng đó là do nó xuất phát từ đặc tính riêng của hình không gian. Khi ta mới tiếp cận với hình không gian ta cảm thấy nó là một môn học cực khó. Vì khi giải toán ta không chỉ phải có cái nhìn trừu tượng có sự tưởng tượng ra hình thể của nó, mà đôi khi còn phải tưởng tượng ra kết cấu không gian của nó như thế nào, hoặc đôi khi ta còn phải liên hệ với các vật thể trong thực tế. Cái khó là ở chỗ đó. Song nếu chỉ vì cái khó đó mà ta không có cái nhìn mới hoặc đầu tư vào môn hình học không gian thì hình không gian mãi mãi là môn học khó nhất. Tuy nhiên nếu ta tập trung, say mê hình học không gian thì ta mới thấy được hình không gian là môn học lý thú, nó không hề khó như ta thường nghĩ.
Riêng tôi hình học không gian là một môn học mà tôi yêu thích, vì vạy tôi quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu.
Nếu tam giác là một hình cơ sở của các hình trong hình học phẳng thì tứ diện được xem là cơ sở cuả các hình trong không gian. Cũng như trong hình học phẳng nếu ta không hiểu sâu, không nắm vững các tính chất cơ bản của tứ diện thì việc giải các bài toán không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn và việc học hình học không gian đã khó lại càng khó hơn.
Từ những lý do trên, tôi quyết định nghiên cứu về hình học không gian và tôi chọn đề tài "Mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian", với mong muốn, một mặt tự bản thân được hiểu sâu hơn về hình học không gian, mặt khác tôi chỉ mong sao đề tài nghiên cứu của mình giúp ích cho học sinh học hình học không gian tốt hơn.
II. Nội dung:
Nội dung đề tài gồm hai phần:
Phần I: Nhắc lại một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng.
Phần II: Phát biểu mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian.
III. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu cơ sở sưu tầm các tài liệu thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, lựa chọn. Kết hợp giải và tham khảo các tài liệu sắp xếp các tính chất, các bài toán sao cho nó đảm bảo tính hệ thống, tính khoa học của đề tài.
IV. Giới hạn đề tài:
Dù có tham vọng nghiên cứu sâu hơn song tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu một số tính chất một soó bài toán cơ bản, thông dụng.
Để hoàn thành được đề tài này tôi đã phải hết sức nỗ lực, song sự nỗ lực của tôi sẽ không đạt được kết quả cao nếu không có sự giúp đỡ tận tình của các thành viên trong tổ khoa học tự nhiên của nhà trường. Tôi xin chân thành cảm ơn vì sự giúp đỡ đó./.
Người viết đề tài
Giáo viên: Mai Thanh Huệ
Phần I:
Nhắc lại một số tính chất của tam giác
trong hình học phẳng
1. Tính chất của phân giác.
Cho D ABC, AD là đường phân giác thì
= 
2. Tính chất về trung tuyến:
Trong tam giác, 3 đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm, điểm này chia trung tuyến thành hai phần theo tỷ số 1: 3 tính từ đáy.
3. Tính chất của trung trực:
Trong mọi tam giác, 3 đường trung trực cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
4. Tính chất đường trung bình.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh đáy và bằng 1/2 độ dài cạnh đáy.
5. Tính chất ba đường cao:
Trong một tam giác bất kỳ 3 đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
Phần II:
Phát biểu mở rộng một số
 tính chất của tam giác trong hình học phẳng
 cho tứ diện trong không gian
1. Tính chất của phân giác:
Ta nêu tính chất của mặt phẳng phân giác qua bài toán.
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD, có 6 mặt phẳng phân giác của 6 nhị diện các cạnh của tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 4 mặt của tứ diện (điểm này gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện). Gọi (P) là phân giác nhị diện AB (P) cắt CD tại M. Gọi S1, S2 là diện tích D ABC và DABD.
Khi đó: = 
A
D
N
I
M
C
B
d1
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi a1, a2, a3, a4, a5, a6 lần lượt là 6 mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB; AC; AD; BC; BD và CD.
Khi đó đặt: d1= (a1) ầ (a2) và I = d1 ầ(a3)
Ta có: I ẻ d1 ị I ẻ(a1) và I ẻ(a2); I ẻ (a3)
Mặt khác: 	(a1) là phân giác nhị diện cạnh AB 
ị d(I;(ABC)) = d(I;(ABD)
(a2) là phân giác nhị diện cạnh CD 
ị d(I;(ACD)) = d(I;(BCD)
(a3) là phân giác nhị diện cạnh AC 
ị d(I;(ABC)) = d(I;(ACD)
ị d(I;(ABC)) = d(I;(ACD) = d(I; (BCD)) = d(I;(ABD))
ị I ẻ(a1) ầ (a2) ầ (a3) là duy nhất do đó giao điểm của (a1); (a2); (a3); (a4); (a5); (a6) là duy nhất.
Giả sử (P) là mặt phẳng phân giác của nhị điện cạnh AB và (P)ầCD=M
Khi đó:	 
Mặt khác do (P) là phân giác của nhị diện cạnh AB và Mẻ(P)
ị d(M; (ABC)) = d(M;(ABD))
ị
2. Tính chất về trung tuyến.
Ta phát biểu mở rộng tính chất trung tuyến trong tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 2: 
Chứng minh rằng trong tứ diện ABCD các đường nối từ đỉnh đến trọng tâm các mặt đối diện của tứ diện đồng quy tại một điểm (gọi là trọng tâm của tứ diện). Điểm này chia đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện thành hai đoạn có độ dài tương ứng theo tỷ số 1:3.
D
B
C
M
G2
G
G1
A
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3, G4 tương ứng là trọng tâm của tam giác đối diện với đỉnh A, B, C và D tương ứng. Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó AM và BM là trung tuyến của D ADC và D BCD ị G1ẻBM, G2ẻBM ị G1, G2 ẻ(ABM) ị AG1 và BG2 cắt nhau tại G.
Ta có: G1, G2 là trọng tâm của DBCD và DACD 
ị G1G2 //AB
Do AG1ầBG2 = G ị = 
Do G1 cố định ị Gẻ AG1 cố định
Chứng minh tương tự ị DG4 và CD3 đi qua G và ta có:
* Chú ý: Các đường AG1, BG2, CG3, DG4 được gọi là trụng tuyến của tứ diện.
Sau đây ta xét thêm tính chất của trọng tâm của tứ diện qua bài toán sau.
Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại trọng tâm của tứ diện.
A
Q
D
N
C
P
B
M
S
R
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh các đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đồng quy.
Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; AD; AC và BD.
Khi đó:
ị MR//= NSị MRNS là hình bình hành ị MN và RS cắt nhau tại trung điểm G' của MN và RS.
Chứng minh tương tự ị MQNP là hình bình hành
ị QP đi qua trung điểm G' của MN.
ị MN, PQ, RS đồng quy tại G'.
Ta gọi: G' = MNầ PQầ RS. Ta chứng minh G' ºG là trọng tâm của tứ diện
Gọi G1 là trọng tâm của DBCD ịmp (ABN) ầ mp(APD) = AG1.
Mặt khác:
	ẻAG1 = (ABN) ầ(APD)
Hay A, G', G1 thẳng hàng.
Gọi G2 là trọng tâm DABC. Chứng minh tương tự ta cũng có G' ẻBG2 ị G' = AG1ầBG2 ịG' ºG là trọng tâm của tứ diện ABCD.
(Điều phải chứng minh)
3. Tính chất của trung trực:
Ta phải biến mở rộng tính chất của trung trực của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
I
D
N
C
M
B
O
P
O1
A
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD, khi đó 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh cắt nhau tại 1 điểm, điểm này cách đều các đỉnh của tứ diện (Điểm này gọi là tâm mặt cầu giao tiếp tứ diện).
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD gọi P1, P2, P3, P4, P5 và P6 là 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh: AB; CD; DA;BC; BD và AC của tứ diện.
Gọi M, N, P là các trung điểm của BC; CD và BD. Khi đó gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD ị O1B = O1C và O1M ^BC; O1N^CD; O1P^BD.
Từ O1 dựng đường thẳng d ^ mp (BCD)
ị d = P2ầP4ầP5. Thật vậy ta có d^(BCD)
ị d ^BC; d ^CD; d ^BD.
Mặt khác O1M^BC; O1N^CD; O1P^BD.
ị (d;M)^BC; (d;N)^CD; (d;P)^BD
Do M,N là trung điểm của BC; CD và DB.
ị(d;M) là mặt phẳng trung trực của BC.
 (d;N) là mặt phẳng trung trực của CD.
 (d;P) là mặt phẳng trung trực của BD.
ị (d;M) ºP4; (d;N) ºP2; (d;P) ºP5.
ị p2ầP4ầP5 = d
Gọi O = dầP6 ((P6) là mặt phẳng trung trực của AC).
ị Oẻd ị OB = OC = OD.
 OẻP6 ị OA = OC 	(4.1)
ị O' ẻ(P1)ầ(P2) ầ(P3) ầ(P4) ầ(P5) ầ(P6)
ị O' ẻd ầ P1 ị O' ºO
ị Giao điểm O của P1, P2, P3, P4, P5, P6 là duy nhất.
ị (P) cắt d tại O, ta có O = (P1)ầ(P2) ... ầ(P6).
Thật vậy ta có Oẻ(P) mặt phẳng trung trực của AD ịOA = OD.
Vậy Oẻ đường trung trực của AB; CD; AD; BD; AC và BC.
Do đó: O = (P1)ầ(P2)... ầ(P6)
Theo (4.1) 	ị O cách đều các đỉnh của tứ diện.
ị O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
4. Tính chất đường trung bình:
Ta mở rộng tính chất của đường trung bình của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
D
B
B'
D'
C'
A
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD. D', B', C' lần lượt là trung điểm của AD, AB và AC thì (D'B'C')//(DBC) và SD'B'C' = SDBC.
Bài giải:
C
Cho tứ diện ABCD, gọi B', C', D' là trung điểm của AB; AC và AD. Khi đó B'C'; C'D' và D'B' lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC; ACD và ADB.
Do đó:
S
; ; 
ị (B'C'D') //(BCD) và DBCD DB'C'D' theo tỷ lệ số
ị 
(Mặt phẳng (D'B'C') được gọi là mặt phẳng trung bình của tứ diện).
5. Tính chất ba đường cao:
Ta mở rộng tính chất trực tâm của tam giác qua bài toán.
Bài toán 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 4 đường cao của tứ diện đồng quy là ABCD là tứ diện trực tâm.
Định nghĩa 1: (Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đôi một vuông góc với nhau).
"Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện trực tâm tương đương với AB ^ CD; AC ^ BD; AD ^BC".
Định nghĩa 2: Đường cao của tứ diện là đường vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện
D
B
D1
A
A1
C
M
Bài giải
* Chứng minh điều kiện cần.
Giải sử ABCD là tứ diện trực tâm ta chứng minh các đường cao của tứ diện đồng quy.
Thật vậy gọi A1 là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A của tứ diện. Đặt DA1 ầ BC = M
Khi đó: AA1 ^ (BCD) ị AA1 ^ BC.
Mà ABCD là tứ diện trực tâm ị AD ^ BC ị BC ^ (AMD) ịBC^ MD; BC ^ AM ị MD là đường cao của D BCD; AM là đường cao của D ABC.
Nếu gọi D1 là hình chiếu vuông góc của D trên AM ị DD1 ^ AM và BC ^ DD1 ị DD1 ^(ABC) ị DD1 cũng là đường cao của tứ diện.
Mặt khác ta thấy hai đường cao của tứ diện AA1; DD1 đều ẻ cùng mặt phẳng (AMD) do đó chúng cắt nhau. Vậy AA1 cắt DD1.
Tương tự như trên, ta cũng sẽ chứng minh được các đường cao AA1; BB1; CC1; DD1 đôi một cắt nhau, mà các mặt phẳng (ABC); (ABD); (ACD); (BCD) đôi một cắt nhau ị AA1; BB1; CC1; DD1 không đồng phẳng ị AA1; BB1; CC1; DD1 đồng quy.
Đặt H = AA1 ầ BB1, ầ CC1 ị H là trực tâm của tứ diện.
* Chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử ABCD là tứ diện có các đường cao AA1; BB1; CC1; DD1 đồng quy, ta chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm.
Đặt H = AA1 ầ BB1, ầ CC1ầ DD1.
M = DA1 ầ BC.
Thì 	AA1^ (BCD) ị AA1 ^ BC.
DD1^ (ACD) ị DD1 ^ BC.
ị BC ^ (AMD) ị BC ^ AD.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ị AB ^ CD và AC ^ BD.
ị ABCD là tứ diện trực tâm.
(Bài toán được chứng minh).
Nhận xét:
Qua việc mở rộng số tính chất của tam giác cho tứ diện ta thấy.
+ Hình học phẳng và hình học không gian có mối quan hệ lôgíc có tính tương hỗ nhau, chứ không như một số người vẫn cho rằng hình học không gian là một mảng riêng của hình học.
+ Nếu tam giác là cơ sở của hình học phẳng thì tứ diện là cơ sở của hình học không gian.
+ Các tính chất của tam giác trong hình học phẳng hoàn toàn có thể mở rộng được cho tứ diện trong không gian.
Từ các bài toán mà tôi đã nêu ra ở trên có thể giúp chúng ta có một cách nhìn biện chứng hơn đối với môn hình học và hình không gian nói riêng giúp cho các giáo viên như bản thân tôi, cũng như các em học sinh có thể dạy tốt, học tốt hơn phần hình học không gian trong chương trình THCS.
Kết luận.
Đề tài tập trung nghiên cứu một số tính chất của tứ diện với các nội dung bao gồm.
Phần I: Trong phần này tôi chỉ đưa ra một số tính chất của tam giác theo các (sgk) mà học sinh THCS đã được học.
Phần II: Trong phần này tôi đã tập trung nghiên cứu đưa ra các bài toán về tứ diện có liên quan đến các tính chất của tam giác. Trong đề tài này tôi đã giải quyết được 6 bài toán về tứ diện.
Trong quá trình làm đề tài bản thân tôi đã thu được nhiều điều bổ ích. Đầu tiên là những kiến thức về hình không gian, giúp tôi hiểu sâu hơn, tự tin hơn trước hình không gian. Bên cạnh đó từ nghiên cứu làm đề tài tôi đã hiểu thêm về phương pháp nghiên cứu khoa học và làm thế nào để làm việc cũng như nghiên cứu khoa học được tốt nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ khoa học tự nhiên nhà trường, Ban giám hiệu nhà trường đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài. Dù đã cố gắng tốt nhất nhưng đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp./.
Tài liệu tham khảo
 Hình học 7 - NXB Giáo dục năm 2001.
‚ Hình học 8 - NXB Giáo dục năm 2001.
ƒ Hình học 9 - NXB Giáo dục năm 2001.
„ Hình học 11 - NXB Giáo dục năm 2001.
… Giải toán hình học 11 - Trần Thành Minh (NXB giáo dục 2000).
† Nâng cao hình học 11 Phạm Khắc Ban - NXBGD năm 2001.
‡ Các chuyên đề toán PT hình học 11
Nguyễn Danh Phan - NXB giáo dục năm 1999.
ˆ Tuyển tập 100 bài toán hình không gian chọn lọc-Nguyễn Đức Đông 2001.
‰ Tuyển tập 340 bài toán hình học không gian 
IF.AHANY GIN - Hoàng Hữu Như dịch - NXB - TPHCM năm 1998.
phòng giáo dục huyện Nga Sơn
Trường THCS nga lĩnh
-------------@&?-------------
Đề tài
phát biểu mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian
Người thực hiện: Mai Thanh Huệ
Đơn vị: 	 Trường THCS nga Lĩnh
Năm học: 2004 - 2005
************