Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác có hiệu quả bài toán hình học Bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất, lớn nhất về diện tích

KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
“BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT VỀ DIỆN TÍCH”
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Học toán gắn liền với hoạt động giải toán. Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo con người mới. Việc khai thác có hiệu quả các bài toán là một trong những cách bồi dưỡng cjo học sinh những năng lực đó.
 Ngoài ra việc khai thác có hiệu quả bài toán còn đem lại cho học sinh lòng say mê hứng thú môn học bởi tâm lý học sinh luôn muốn biết, muốn tìm tòi cái mới.
 Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, một phương pháp hữu hiệu là từ một bài toán và cách giải bài toán đó ta có thể hướng dẫn cho học sinh khai thác để phát biểu và giải được nhiều bài toán khác.
 Bài toán hình học về bất đẳng thức và cực trị là một trong những dạng toán khó; vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải loại toán này là rất cần thiết và cần nhiều thời gian.
 Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải loại toán đề cập ở trên, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bày việc hướng dẫn học sinh “ Khai thác có hiệu quả bài toán hình học: bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất, lớn nhất về diện tích”.
II. NỘI DUNG
 Ta bắt đầu từ một bài toán quen thuộc trong chương trình toán 8.
 Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông ở A. M là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AC và AB. Với vị trí nào của điểm M trên cạnh BC thì diện tích tứ giác AQMP lớn nhất.
 Phân tích bài toán: 
 Từ hình 1 ta có một số
 cách phân tích bài 
 toán như sau:
Hình 1
 Hướng 1: Ta thấy diện tích tam giác ABC không đổi. Vậy diện tích tứ giác AQMP lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 
 Hướng 2: Mặt khác: SAPMQ = SABC – ( SBQM + SCPM). Vậy diện tích tứ giác APMQ lớn nhất khi và chỉ khi SBQM + SCPM nhỏ nhất tỉ số nhỏ nhất. 
 Từ đó ta có các cách giải bài toán như sau:
 Cách 1: Ta có 
 => . Đặt BM=x; MC=y.
 =>. Do đó mà (x+y)2 ≥ 4xy.
 => . Dấu “=” xảy ra x = y M là trung điểm của BC.
 Vậy SAQMP đạt giá trị lớn nhất bằng khi M là trung điểm của BC.
 Cách 2: Ký hiệu SABC = S; SBQM = S1; SMPC = S2. 
S2
S1
Hình 2
 Ta có: SAQMP = S – ( S1 + S2 ).
 Do đó SAQMP lớn nhất S1 + S2 nhỏ nhất nhỏ nhất.
 Ta có: QM // AC => các tam giác BQM và BAC đồng dạng => 
 PM // AB => các tam giác PCM và ACB đòng dạng => 
 => ( Vì (x+y)2 ≤ 2(x2 + y2) )
 Vậy S1 + S2 hay .
 Dấu “=” xảy ra x = y M là trung điểm của BC.
 Nhận xét 1: - Về cách giải, ở bài toán 1 để tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích APMQ lớn nhất, ta phải xét mối liên hệ giữa diện tích APMQ với diện tích tam giác ABC.
 - Mặt khác, ta nhận thấy rằng nếu lấy điểm E đối xứng với điểm M qua AB, điểm F đối xứng với điểm M qua AC thì 3 điểm E,A,F thẳng hàng ( Bài 159 sách bài tập toán 8, tập một) và diện tích tam giác MEF gấp hai lần diện tích tứ giác AQMP. Vì vậy, ta có thể phát biểu thành một bài toán mới như sau:
Hình 3
 Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M di chuyển trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MEF lớn nhất.
 Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh ba điểm E,A,F thẳng hàng bằng cách chứng minh góc EAF bằng 1800. Điều đó dẫn đến việc ta phải chứng minh ∆EAQ= ∆MAQ và ∆FAP=∆MAP, từ đó suy ra SAEQ=SMAQ và SAMP=SFAP => SFEM = 2SAQMP đưa về bài toán 1.
 Nhận xét 2: Dựa vào cách giải bài toán 1 ta có thể thay tam giác ABC vuông ở A bằng một tam giác ABC bất kỳ. Khi đó P,Q được thay là giao điểm của các đường thẳng qua M song song với AB và AC, và thay việc tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác APMQ lớn nhất bằng việc chứng minh
 SAPMQ≤ . Ta có bài toán 1.2.
 Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AC tại P, đường thẳng qua M và song song với AC cắt AB tại Q. Chứng minh rằng: .
Hình 4
 Phân tích bài toán: Rõ ràng bài toán này là bài toán tổng quát của bài toán 1, chỉ khác nhau về yêu cầu. Bài toán 1 là tìm vị trí của điểm M để SAPMQ lớn nhất ( bài toán cực trị); còn bài toán 2 là chứng minh ( bài toán chứng minh bất đẳng thức). Nhưng cả hai cách giải của bài toán 1 đều áp dụng được cho bài toán 2. Từ đó ta có thể giải bài toán 2 bằng 3 cách như sau:
 Cách 1: Để tính tỉ số ta kẻ đường cao từ đỉnh B hoặc C của tam giác ABC. Khi đó:
 Vậy .
111
 Cách 2: Tương tự cách 2 của bài toán 1.
 Cách 3: Bài toán 2 là bài toán chứng minh bất đẳng thức, vì vậy ta có thể giới thiệu cho các em giải theo cách giải bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta xét hai trường hợp sau:
Khi M là trung điểm của BC :
Hình 5
 Dễ thấy . Thật vậy : ∆ ABC có MQ//AC (gt), BM=MC => Q là trung điểm của AB => , tương tự . Do đó 
 2. Khi M không là trung điểm của BC : thì MB>MC hoặc MB<MC.
Hình 6
 Không mất tính tổng quát ta giả sử MB<MC. Trên đoạn thẳng MC lấy điểm H sao cho MB=MH. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại K, cắt QM kéo dài tại G. Xét tam giác QMB và tam giác MGH ta có :
 (đ đ)
 BM=MH ( cách dựng)
 GK//AB => ( 2 góc so le trong)
 => ∆QMB=∆GMH ( g.c.g) => QM=MG ( 2 cạnh tương ứng). 
 Từ đó suy ra 2SAPMQ = SAKGQ = SAKHMQ+SBQM = SAKHB< SABC (**)
 Xét tương tự với trường hợp MB > MC.
 Từ (*) và (**) suy ra (đpcm).
 Nhận xét 3 : - Từ bài toán trên ta thấy SAPMQ đạt giá tri lớn nhất bằng khi M là trung điểm của BC với S = SABC. Khi đó tổng diện tích hai tam giác QMB và PMC đạt giá trị nhỏ nhất. Hai kết quả của bài toán trên là 
tương đương với nhau.
 - Ở bài toán 1.2, xét trường hợp điểm M nằm trong tam giác ABC. Lúc đó, qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC, cắt các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại các điểm Q,H,N,K,G,P (Hình 7). Áp dụng kết quả của bài toán 2 ta chứng minh đựơc S1+S2+S3 ≥ S :3 ( S là diện tích tam giác ABC). Từ đó ta có bài toán 1.3.
 Bài toán 1.3 : Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại Q, H, N, K, G, P. Gọi S1 = SQHM, S2 = SNMK, 
S3 = SPMG ; S = SABC.
 a) Chứng minh S1 + S2 + S3 ≥ 
 b) Tìm vị trí của điểm M để S1 + S2 + S3 nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải :
S3
S1
S2
Hình 7
 a) Xét tam giác AHG có : hình bình hành AQMP nội tiếp trong tam giác. Áp dụng kết quả bài toán 2 ta có : S1 + S3 ≥. Tương tự:
 với tam giác BQK ta có: S1 + S2 
 với tam giác CPN ta có: S2 + S3 
Suy ra 
 => 
 b) Từ nhận xét bài toán 2 ta có S1 + S2 + S3 nhỏ nhất M đồng thời là trung điểm của HG, QK và NP.
 M là trung điểm của HG AM đi qua trung điểm của BC
 M là trung điểm của QK BM đi qua trung điểm của AC
 M là trung điểm của NP CM đi qua trung điểm của BA 
 Khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC
 Nhận xét 4: - Từ bài toán 2, cũng là tam giác ABC có 2 góc nhọn B và C, dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC còn 2 điểm P,Q nằm trên cạnh BC, lúc này ta không yêu cầu chứng minh nữa mà yêu cầu tìm vị trí của M sao cho 
diện tích MNPQ là lớn nhất. Từ đó ta có bài toán 1.4.
 Bài toán 1.4 : Cho tam giác ABC có 2 góc nhọn B và C. Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC còn hai điểm P,Q nằm trên cạnh BC. Hãy tìm vị trí điểm M sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ là lớn nhất.
 Phân tích : Bài toán này thực chất là bài toán 1 được mở rộng nhưng đòi hỏi HS phải biết cách liên hệ với bài toán 1 hoặc bài toán 1.2 để áp dụng kết quả của nó vào bài toán này. Từ cách giải của bài toán 1, ta nhận thấy rằng để tìm được vị trí điểm M sao cho diện tích MNPQ lớn nhất ta phải tìm được mối liên hệ giữa diện tích của MNPQ với diện tích tam giác ABC ; tức là ta phải tạo đường cao của tam giác ABC để tính diện tích. Vì cạnh PQ của hình chữ nhật nằm trên cạnh BC, suy ra đường cao phải kẻ là đường cao xuất phát từ đỉnh A. Kẻ đường cao AI ta có thể áp dụng ngay kết quả bài toán 1 vào hai tam giác AIB và AIC. Từ đó ta có thể giải bài toán 1.4 như sau :
Hình 8
Giải :
 Cách 1 : Kẻ đường cao AI. Gọi K là giao điểm của AI với MN. 
 Áp dụng kết quả bài toán 2 cho tam giác AIB và tam giác AIC, ta có :
 Vậy xảy ra khi và 
. 
 Các đẳng thức này xảy ra khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC ( kết quả bài toán 1.2).
Vậy khi M là trung điểm của AB thì hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. 
 - Việc biết cách chuyển bài toán 1.4 về để áp dụng kết quả của bài toán 1.2 đã giúp cho việc giải bài toán một cách nhẹ nhàng và nhanh chóng, góp phần củng cố các kết quả thu được khi giải bài toán 1 và bài toán 1.2.
 Cách 2 : Từ cách giải bài toán 1, nhìn vào hình vẽ, học sinh có thể nghĩ 
ngay đến việc tính tỉ số diện tích tứ giác MNPQ và diện tích tam giác ABC
 bằng cách kẻ đường cao AI của tam giác ABC. 
Lúc đó :
SMNPQ = MN.MQ ;
 SABC = 
Hình 9
Suy ra 
 Và giải như cách 1 của bài toán 1.
 Cách 3 : Ta có thể giải bài toán như sau : Kẻ AIBC ; AI cắt MN ở K.
 Đặt AI=h ; BC=a ; MN=x ; MQ=y. Khi đó: KI=y; AK=a-y
 SABC = SAMN+SMNPQ+SNPC+SBMQ.
 => mà NP=MQ=KI=y
 mà PC+BQ = BC – QP = a – x 
Hình 10
. Hay a.h = xh + ay .
 Vậy 
 Ta có không đổi (vì tam giác ABC cho trước) nên diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất x.(a – x ) lớn nhất mà x và a – x là hai số dương và 
x+a-x = a không đổi, do đó x(a-x) lớn nhất x = a – x 2x = a MN là đường trung bình của tam giác ABC M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC. 
Khi đó: 
Vậy khi M là trung điểm của AB thì hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất bằng .
 Nhận xét 5: Với bài toán 1.4, nếu HS nắm chắc cách giải bài toán 1 và bài toán 1.2 các em có thể nhanh chóng vận dụng được kết quả để giải hoặc biết dùng cách giải tương tự để giải chứ không cần phải giải như cách 3 vừa dài dòng vừa khó. Và khi nắm chắc cách khai thác kết quả của bài toán, ta có thể đưa ra bài toán mới bằng cách thay việc nội tiếp tam giác ABC hình chữ nhật MNPQ bởi hình bình hành MNPQ thì kết quả bài toán vẫn không thay đổi. Ta có bài toán 1.5.
 Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC. Dựng hình bình hành MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC, còn hai điểm P,Q nằm trên cạnh BC. Hãy tìm vị trí điểm của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ là lớn nhất.
Hình 11
Hình 12
 Phân tích bài toán: 
 Rõ ràng để vận dụng kết quả bài toán 1.2 ta chỉ cần kẻ qua A đường thẳng AI//MQ ( IBC). Vận dụng bài toán 1.2 vào hai tam giác AIC và AIB với các hình bình hành IKNP và IKMQ hoặc dùng cách giải 1 của bài toán 1 bằng cách kẻ đường cao AI và tính tỉ số diện tích của tứ giác MNPQ với diện tích của tam giác ABC. 
 Nhận xét 6: Như vậy, các bài toán trên đã xoay quanh việc nội tiếp hình bình hành vào trong một tam giác để diện tích hình bình hành đó là lớn nhất. Vậy nếu hình bình hành là cố định thì tam giác được dựng như thế nào sẽ có diện tích nhỏ nhất. Ta xét bài toán sau:
 Bài toán 1.6: Cho góc xOy và điểm H cố định thuộc miền trong của 
góc đó. Một đường thẳng d quay xung quanh điểm H, cắt Ox, Oy lần lượt 
tại C và D. Hãy dựng đường thẳng d để diện tích tam giác COD nhỏ nhất.
 Phân tích bài toán: Ta nhận thấy rằng tam giác COD thay đổi khi cạnh CD quay quanh điểm H. Dựa vào kết quả của bài toán 1.2 ta nghĩ đến việc tạo ra hình bình hành có đỉnh là H và O trong tam giác COD. Từ đó để giải bài toán 1.6 ta có thể làm như sau:
Hình 13
 Cách 1: Từ H kẻ HA//Ox ( AOy); HB//Oy ( BOx).
 Áp dụng kết quả bài toán 1.2 ta có: hay 
SCOD ≥ SHAOB.
 Vì O,H cố định, Ox,Oy cố định nên OAHB cố định và SOAHB không đổi. 
 Vậy SCOD nhỏ nhất khi SCOD= 2SHAOB xảy ra khi H là trung điểm của CD. Ta có cách dựng đường thẳng d như sau:
 Từ H kẻ HA//Ox ( A Oy). 
Trên tia Oy ta lấy điểm D sao 
cho OD=2.OA. Nối DH cắt Ox
 tại C. 
CD là đường thẳng cần dựng.
Hình 14
 Cách 2: Ở bài toán này ta có thể chứng minh diện tích tam giác COD
 nhỏ nhất bằng cách: qua H dựng đường thẳng d cắt Ox, Oy tại C và D sao cho CH=HD. Ta chứng minh diện tích tam giác COD nhỏ nhất. 
Thật vậy: Qua H kẻ đường thẳng d’ bất kỳ cắt Ox,Oy tại C’,D’. Ta cần chứng minh:SCOD < SC’OD’. 
 Sẽ có các khả năng: OC’OD hoặc OC’OD.
Hình 15
 *) Giả sử OC’OD.
 Từ D kẻ đường thẳng song song với Ox cắt C’D’ tại N.
 => ∆HC’C =∆ HND (g.c.g) => SHC’C < SHDD’ 
 => SHCC’+SC’HDO < SHDD’+SC’HDO hay SCOD < SC’OD’.
 Trường hợp OC’>OC và OD’<OD chứng minh hoàn toàn tương tự.
 Nhận xét 7: Ở bài toán 1.6, nếu HS hiểu và nắm vững cách giải bài toán 1.2 thì dễ dàng hiểu được cách giải bài toán 1.6. Tuy nhiên cách giải thứ nhất được trình bày trực tiếp nên HS dễ hiểu, dễ vận dụng hơn. Còn cách giải 2 phải xét nhiều trường hợp nên lời giải bài toán dài và khó hiểu hơn.
 Bây giờ ta xét một bài toán khó hơn mà muốn vận dụng được kết quả bài toán 1.2 ta phải kẻ đường phụ để chuyển về bài toán đó. Ta có bài toán 1.7.
Bài toán 1.7:Cho hình thang ABCD ( AB//CD), hai đường chéo AC và
BD cắt nahu tại P. Chứng minh rằng :.
 Phân tích bài toán: Từ yêu cầu của bài toán, gợi cho ta nghĩ đến việc vận dụng bài toán 1.2 để giải. Quan sát hình vẽ ta thấy rằng ABCD là hình thang nên ta có ngay SDAC = SCDB ( hai tam giác có chung đáy, chiều cao bằng nhau) => SAPD = SBPC . Vì vậy thay việc chứng minh ta có thể chứng minh.
Vì vậy ta nghĩ đến việc ghép 2.SAPD thành diện tích một hình bình hành và chuyển SABCD thành diện tích một tam giác chứa 2.SAPD và có diện tích bằng SABCD.
 Giải:
Hình 16
 Cách 1: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt DC kéo dài tại E. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE tại Q. Áp dụng kết quả bài toán 1.2 ta có: (1)
 Mà SDAB = SCAB ( vì AB//CD) => SPAD = SPBC (2) 
 Do APDQ và ABDE là hình bình hành nên QD=AP, DE=AB, góc QDE và góc PAB bằng nhau ( góc có cạnh tương ứng song song) 
 => ∆APB = ∆DQE ( c.g.c) (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra: SPAB+SPCD = SDQE + SPDC 
 => 
 => 
 => (đpcm)
 Đẳng thức xảy ra khi D là trung điểm của EC AB=CD ABCD là hình bình hành.
 Cách 2: Chúng ta có thể sử dụng công thức tính diện tích để làm trực tiếp mà không sử dụng kết quả bài 1.2 để giải.
 Ký hiệu SPAB = S1; SAPD = S2 ; SDPC = S3; SPBC = S4.
S1
S4
S2
S3
Hình 17
 Kẻ AQ DB; CR BD, ta có : 
 .
 => ( S1 + S3)2 ≥ 4. S1.S3 = S2.S4 (1)
 Vì ABCD là hình thang nên S2 = S4, vậy (S2 + S4)2 = 4.S2.S4 (2)
 Từ (1) và (2) => (S1 + S3)2 ≥ (S2 + S4)2 => S1 + S3 ≥ S2 + S4
 => 2 (S1 + S3) ≥ S1 + S2 +S3 + S4 => .
Đẳng thức xảy ra S1 = S3 S1 = S2 = S3 = S4 ABCD là hình bình hành.
 Nhận xét 8: Ở bài toán 1.7 học sinh vận dụng thành thạo kết quả bài toán1.2 thì bài toán dễ dàng được chứng minh, các em nhanh chóng tìm ra hướng giải,còn nếu không biết cách chuyển bài toán để áp dụng kết quả bài toán 1.2 thì việc tìm hướng giải bài toán khó khăn hơn nhiều(cách giải 2).
 Bài toán 1.8: Cho hình bình hành ABCD và điểm M cố định trên cạnh BC, lấy điểm N bất kỳ trên cạnh AD. Gọi H là giao điểm của AM và BN, I là giao điểm của MD và NC. Tìm vị trí của điểm N để diện tích MHNI lớn nhất.
 Phân tích bài toán: Nhìn vào hình vẽ ta thấy: điểm M cố định trên cạnh BC còn điểm N bất kỳ trên cạnh AD. Lúc đó ABMN và DCMN luôn là hình thang. Vì vậy vẽ hình xong ta cần suy nghĩ xem có thể vận dụng kết quả bài toán 1.2 hay bài toán 1.7 vào bài tập này và vận dụng như thế nào?
Hình 18
 Giải: Nối M với N ta được 2 hình thang ABMN và DCMN. 
 Áp dụng kết quả bài toán 1.7 ta có:
 Mà 
 Đẳng thức xảy ra AB // MN.
 Tương tự , đẳng thức xảy ra MN // CD.
 Từ đó suy ra:
 Vậy diện tích tứ giác HMIN lớn nhất bằng khi MN // AB.
 - Như vậy, trong bài toán trên thì bài toán 1 là trường hợp đặc biệt của bài toán 1.2, bài toán 1.2 là tiền đề để giải các bài toán còn lại. Phương pháp chung là vận dụng kết quả của bài toán 1.2 vào các bài toán còn lại mặc dù các bài toán đó vẫn có những cách giải khác. Để vận dụng có hiệu quả nhất định thì giáo viên cần phải biết hướng dẫn học sinh phân tích bài toán. Với bài toán đã giải ta tìm các kết quả tương đương, lưu ý các kiến thức đã sử dụng để giải. Với bài toán mới, ta tìm cách liên hệ với bài toán đã giải bằng cách dựa vào hình vẽ hoặc dựa vào yêu cầu của bài toán.
III. KẾT LUẬN
 Trên đây là một số suy nghĩ và việc làm của tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy nhằm “ Khai thác có hiệu quả bài toán hình học: bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất, lớn nhất về diện tích”.
 Tôi nhận thấy các bài toán, dạng toán được giới thiệu có hệ thống thì việc tiếp thu của các em có hiệu quả hơn. Việc khai thác bài toán sẽ giúp các em có định hướng giải các bài toán khác mà sử dụng được kết quả của bài toán đã giải. Tôi nghĩ rằng đó cũng là điều chúng ta cần quan tâm, cần tìm tòi và tích luỹ để chất lượng học tập của các em ngày càng được nâng cao.
 Tuy nhiên bài viết không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong được sự góp ý của người đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn.
 Vinh, ngày 10 tháng 04 năm 2010.
MỤC LỤC
 I. Đặt vấn đề trang 1
 II. Nội dung trang 2
 III. Kết luận trang 19
 IV. Tài liệu tham khảo trang 20
 V. Mục lục trang 21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. SGK Toán 8, tập một.
 2. SBT Toán 8, tập một.
 3. Các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học phẳng ở THCS
 4. 108 bài toán cực trị hình học.