Sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp công tác: Ứng dụng đa thức trong giải toán

PHÒNG GD & ĐT PHONG ĐIỀN	CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIẾT NAM 
TRƯỜNG THCS NGUYỄN DUY 	Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
	Phong Điền, ngày 12 – 04 – 2014 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM, GIẢI PHÁP CÔNG TÁC
	Đề nghị công nhận danh hiệu “ Chiến sĩ thi đua cơ sở ” năm học 2013 – 2014 
	Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TOÁN 
I. Sơ lược lý lịch: 
	Họ và tên: Lê Minh Ngọc. 	Bí danh: Không 	Nam, Nữ: Nam 
	Ngày tháng năm sinh: 12 – 02 – 1965 
	Quê quán: Thượng an Phong An Phong Điền Thừa Thiên – Huế 
	Nơi thường trú: 23 Hồng Lĩnh, tổ dân phố 11 Tứ Hạ Hương Trà Thừa Thiên – Huế 
	Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Duy 
	Chức vụ hiện nay: Giáo viên 
	Trình độ chuyên môn, nghiệp vụ: ĐHSP Toán 
	Những thuận lợi, khó khăn trong việc thực hiện nhiệm vụ:
	+ Thuận lợi 
	Được sự quan tâm tạo điều kiện thuận lợi của Ban Giám Hiệu nhà trường
	Được sự giúp đỡ của tổ chuyên môn, và của quý thầy cô giáo trong tổ 
	Học sinh đã có nền nếp về học tập và rèn luyện 
	Các trang thiết bị, đồ dùng dạy học đã đáp ứng cơ bản cho việc đổi mới 	phương pháp dạy học
	Các phương tiện về máy tính, máy chiếu, tivi màn hình lớn đã góp phần thuận 	lợi hơn cho việc ứng dụng công nghệ thông tin 
	Bản thân đã có nhiều năm tích lũy kinh nghiệm 
	+ Khó khăn 
	Bản thân vừa được Phòng Giáo Dục điều động đến công tác trong năm học 	2013 – 2014, nên có một số vấn đề còn chưa đáp ứng được phong trào chung 	của nhà trường 
	Trong môi trường mới, chưa có nhiều điều kiện để học tập, học hỏi bạn bè, 	đồng nghiệp để rèn luyện thêm về chuyên môn, nghiệp vụ 
	Bước đầu chưa được làm quen nhiều với học sinh, nên chưa thể nắm bắt thật 	cụ thể về tâm tư, nguyện vọng và năng lực của học sinh 
	Bản thân cũng chưa có nhiều cơ hội để làm quen với phụ huynh và gia đình 	học sinh 
II. Đặc điểm tình hình của đơn vị 
	Năm học 2013 – 2014 là năm học tiếp tục thực hiện Nghị quyết Đại hội Đảng các cấp. Là năm học, toàn ngành giáo dục thực hiện “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục ”; cùng với phong trào “ Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực” và các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “ Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo”, và cuộc vận động “ Dân chủ - Kỷ cương - Tình thương - Trách nhiệm” 
	Là năm học tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin đi vào chiều sâu, khai thác hiệu quả các phần mềm hỗ trợ dạy học; thực hiện kiểm tra chung theo chỉ đạo của ngành 
	Trường THCS Nguyễn Duy đang phấn đấu xây dựng trường chuẩn trọng điểm 
Những thuận lợi, khó khăn của đơn vị trong việc thực hiện nhiệm vụ: 
	+ Thuận lợi 
	Được sự quan tâm chỉ đạo của UBND huyện Phong Điền,
	Phòng GD – ĐT huyện Phong Điền và của UBND Thị Trấn Phong Điền, sự hỗ 
	trợ nhiệt tình của Ban đại diện cha mẹ học sinh 
	Đội ngũ giáo viên, nhân viên được định biên đầy đủ, có năng lực chuyên môn 	đồng đều, nhiệt tình trong công tác; có nhiều giáo viên giỏi các cấp 
	Hệ thống cơ sở vật chất và trang thiết bị dạy học được đảm bảo 
	Học sinh ở trên địa bàn đã có truyền thống về học tập, rèn luyện; 
	Nhất là về học sinh giỏi các cấp
	Học sinh đã có sự chuyển biến tích cực trong việc tự học, tự rèn 
	Thiết bị dạy học đã đáp ứng được cơ bản cho nhu cầu giáo dục 
	Máy tính và công nghệ thông tin đã được quan tâm đúng mức 
	+ Khó khăn 
	Cơ sở vật chất chưa đáp ứng đầy đủ cho việc nâng cao chất lượng giáo dục 	toàn diện 
	Một số phòng chức năng còn thiếu 
	Đời sống của một bộ phân dân cư còn nhiều khó khăn
	Học sinh ở trên địa bàn khá rộng, thiên tai thường xảy ra 
	Vẫn còn một bộ phận học sinh ham chơi, lười học
	Nhiều phụ huynh chưa quản lý tốt việc học ở nhà của học sinh 
III. Mục đích – Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm 
Trong nhiều năm qua, việc đổi mới phương pháp Dạy – Học đã và đang được tiến hành đồng bộ - Từ quản lý nhà trường, giáo viên đứng lớp cho đến tận học sinh. Xu thế đổi mới phương pháp Dạy – Học hiện nay là: Tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập cho học sinh.
Bộ môn toán học cũng phải hòa nhịp trong trào lưu chung đó
Bởi vậy, trong quá trình dạy học toán nói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen là: sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục tìm hiểu, lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối ưu nhất có thể được. Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, để tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có. Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau, nhiều loại toán khác nhau và sau đó tự mình suy nghĩ khi thất bại hay thành công, rồi rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân. Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc dạng nào? Sau đó tự mình suy nghĩ chọn phương pháp giải phù hợp, từ đó có thể khai thác và phát triển tốt hơn
Trong các chuyên đề Dạy – Học toán ở trường THCS, bản thân tôi đã quan tâm đến chuyên đề “ Ứng dụng đa thức trong giải toán ”
IV. Những giải pháp chính
Chuyên đề “ Đa thức ”, học sinh bước đầu đã được học cuối năm lớp 7 và học kỳ I năm lớp 8; nó được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết các dạng toán đại số khác. Do đó cần làm cho học sinh nắm thật vững chắc và vận dụng một cách thành thạo việc phân tích đa thức để ứng dụng vào giải quyết các bài toán trong chương trình phổ thông
Trong phạm vi nội dung chuyên đề này, bản thân xin giới thiệu thêm một số phương pháp phân tích - Ứng dụng đa thức trong giải toán, để giúp thêm cho học sinh vận dụng trong quá trình học tập, rèn luyện
Muốn vậy, trước hết giáo viên phải giúp cho học sinh hiểu rõ ý nghĩa của việc phân tích đa thức, có tác dụng rất lớn trong việc vận dụng để giải quyết nhiều bài toán khác như: Toán về chia hết, rút gọn biểu thức, giải phương trình – Phương trình nghiệm nguyên; cực trị 
A. Một số phương pháp ứng dụng phân tích đa thức: 
	1. Dạy học sinh chứng minh đẳng thức: 
Ví dụ 1: Chứng minh: ( a + b)2 = ( a - b)2 +4ab 
Giáo viên có thể hướng dẫn hoc sinh chứng minh như sau:
	Cách 1: Ta có thể chứng minh A = B bằng cách
Biến đổi A về để bằng B; hoặc biến đổi B về để bằng A, rồi suy ra A = B 
(a - b)2 + 4ab =a2 - 2ab +b2+4ab=a2 + 2ab + b2 = ( a + b)2
Þ ( a + b)2 = ( a - b)2 + 4ab.
	Cách 2: Biến đổi A = C; và B = C rồi suy ra A = B 
Ta có ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
( a - b)2 + 4ab = a2 - 2ab +b2 + 4ab = a2 + 2ab +b2 
Þ ( a + b)2 = ( a - b)2 + 4ab.
	Cách 3: Xét hiệu A – B; nếu A – B = 0 Þ A = B 
Ta có ( a + b)2 - [( a - b)2 + 4ab] = a2 + 2ab + b2 – ( a2 - 2ab +b2 + 4ab )
	= a2 + 2ab + b2 – ( a2 + 2ab +b2 ) = 0 
Vậy A = B
* Thông qua bài toán trên, sẽ giúp cho học sinh có thêm một số kinh nghiệm và có thể giải một số bài toán sau thuận lợi hơn 
Chứng minh: a) (a - b)2 = ( a + b)2 - 4ab.
	b) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
	c) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
	Ví dụ 2: Chứng minh (Với a ≥ 0, a ≠ 0), (Bài 64a/33 ĐS9)
	Nhận xét : Bài toán cho, ta cần sử dụng hằng đẳng thức sau : 
	Ta thấy cần sử dụng hằng đảng thức Vậy ta có 
	 (đpcm) 
	2. Dạy học sinh phân tích đa thức: 
	2.1. Phương pháp thêm, bớt: 
	Ví dụ 1: x2 – 6x + 8 
	+ Cách 1: x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x – 3)2 – 12 = (x – 3 – 1)(x – 3 + 1)
	 = (x – 4)(x – 2) 
	+ Cách 2: x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2(x – 2)
	 = (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4) 
* Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax2 + bx + c. Để tách hạng tử, ta thực hiện theo các bước sau: 
	 	1) Tính a.c ( được kết quả là d ) 
	2) Phân tích d thành tích của hai thừa số nguyên bằng nhiều cách
	3) Chọn tích của hai thừa số có tổng bằng b, rồi dựa vào đó để tách hạng tử bx 
	Ví dụ 2: 9x2 + 6x – 8 
	1) a.c = 9.(-8) = -72 
	2) -72 = -2.36 = -3.24 = -4.18 = -6.12 =  
	3) -6 + 12 = 6 ( = b) 
	9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x – 2)(3x + 4)
	Ví dụ 3: x4 + 5x3 + 15x – 9 
	x4 + 5x3 + 15x – 9 = x4 - 9 + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
	= (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x – 3) 
	* Ta thấy đa thức x2 + 5x – 3 là không phân tích thành nhân tử (trong phạm vi số hữu tỉ) 
	* Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax2 + bx + c 
	+ Nếu khi phân tích a.c ra tích của hai thừa số nguyên ( bằng mọi cách ), mà không có bộ hai thừa số nào có tổng bằng b 
	+ Hoặc: Nếu sau khi đưa tam thức về dạng a(X2 – k), mà k không phải là bình phương của bất kỳ số hữu tỉ nào.Thì tam thức không phân tích được thành nhân tử (trong phạm vi số hữu tỉ) 
	+ Hoặc: Nếu sau khi đưa tam thức về dạng a(X2 + k), k > 0 thì tam thức không phân tích được 
* Sau này lên lớp trên ta dùng biệt thức D = b2 – 4ac, nếu D < 0 thì kết luận tam thức không phân tích được 
	Ví dụ 4: ( ví dụ minh họa ) 	1. f(x) = x2 – 6x + 4 = x2 – 2.x.3 + 9 – 5 = (x – 3)2 – 5, ( 5 không là bình phương của số hữu tỉ ), f(x) không phân tích được trong phạm vi số hữu tỉ 
	2. g(x) = x2 – 2x + 4 = x2 – 2.x.1 + 1 + 3 = (x – 1)2 + 3, g(x) không phân tích được 
	2.2. Phương pháp đổi biến: 
	Ví dụ 1: A = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = x4 + 2x3 + x2 + 4x2 + 4x – 12 
	= (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12. Đặt y = x2 + x. Khi đó A = y2 + 4y – 12 
	= y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6). Thay y = x2 + x, 
	A = (x2 + x – 2)(x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) 
	Ví dụ 2: B = x2 + 3x – 2xy + y2 – 3y – 10 = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 10 
	= (x – y)2 + 3(x – y) – 10. Đặt t = x – y, B = t2 + 3t – 10 = t2 + 5t – 2t – 10 
	= t(t + 5) – 2(t + 5) = (t + 5)(t – 2). Thay t = x – y, B = (x – y + 5)(x – y – 2) 
	Ví dụ 3: C = (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 
	Với bài toán này, đa số học sinh khai triển, rút gọn rồi phân tích; 
	Nhưng nếu đặt y = x2 + x + 1, thì thuận lợi hơn. 
	Khi đó C = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 + 4y – 3y – 12 = y(y + 4) – 3(y + 4) 
	= (y + 4)(y – 3). Thay y = x2 + x + 1, C = (x2 + x + 5)(x2 + x – 2). 
	Phân tích x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1). Vậy C = (x2 + x + 5) (x + 2)(x – 1) 
B. Một số dạng toán vận dụng phân tích đa thức: 
	1. Tính giá trị của biếu thức:
	Ví dụ: Cho y > x > 0 và 
 	Tính giá trị của biểu thức A = 
	Phân tích: Vì có biểu thức x2 + y2, nên ta có thể tính A2 để suy ra A
	Cách 1: Ta có A2 = , và giả thiết có 
	Þ x2 + y2 = Þ A2 = Þ A = hoặc A = - 
	Ta có y > x > 0 Þ x – y 0 Þ A < 0 Þ A = - 
	Cách 2: Hướng dẫn, gợi ý cho học sinh biến đổi từ giả thiết 
	Hay 3x2 + 3y2 - 10xy = 0 hay (x - 3y)(3x - y) = 0; Ta có 0 < x < y < 3y Þ x – 3y < 0 
	Þ x – 3y ≠ 0 Þ 3x – y = 0 Þ y = 3x. Vậy A = 
	2. Giải phương trình – Phương trình nghiệm nguyên: 
	Ví dụ 1: Tìm x biết: x3 + 6x2 + 12x – 117 = 0 Û x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 – 8 – 117 = 0 Û (x + 2)3 = 125 Û x +2 = 5 Û x = 3 
	Ví dụ 2: 
	a. Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0 Û 4(x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 1)2 = 0. vậy x = -1 và y = 1
	b. Có hay không bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn phương trình :
x2 + 4y2 + z2 – 2x + 8y – 6z + 15 = 0 Û (x – 1)2 + (2y + 2)2 + (z – 3)2 + 1 = 0. Ta thấy (x – 1)2 + (2y + 2)2 + (z – 3)2 + 1 ³ 1. Vậy không có bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn phương trình trên 
	c. Giải phương trình x2 + 4y2 + z2 – 2x + 8y – 6z + 14 = 0 
	Theo câu b ta có x = 1, y = -1, z = 3 	 
	3. Chứng minh chia hết: 
	Ví dụ 1: Chứng minh (4n + 3)2 – 25 chia hết cho 8 với mọi n nguyên 
	Ta có (4n + 3)2 – 25 = (4n – 2)(4n + 8) = 8(2n – 1)(n + 2) chia hết cho 8 "n Î Z 
	Ví dụ 2: Chứng minh n3 – 3n2 – n + 3 chia hết cho 48 "n lẻ 
	+ Xét n3 – 3n2 – n + 3 = n2(n – 3) – (n – 3) = (n – 3)( n2 – 1) = (n – 3)(n – 1)(n + 1); thay n = 2k +1. Ta có (2k – 2).2k.(2k + 2) = 8(k – 1).k.(k + 1) 
	+ Ta có (k – 1).k.(k + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp, nên chia hết cho 6 
	+ Vậy n3 – 3n2 – n + 3 chia hết cho 48 "n lẻ 
	Ví dụ 3: . Chứng minh A là số nguyên "n Î Z 
	+ Xét = = = 
	+ Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 "n Î Z 
	+ Vậy A là số nguyên 
* Tóm lại: 
Chuyên đề “ Đa thức ”, học sinh đang được học ở chương trình lớp 8 và “ Ứng dụng đa thức trong giải toán ” được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết các dạng toán đại số khác trong chương trình phổ thông.
Với những nhóm bài tập tương tự nhau sẽ giúp cho học sinh rèn luyện được kỹ năng giải những bài toán liên quan đến đa thức, góp phần phát triển năng lực toàn diện cho học sinh 
V. Về kết quả lan tỏa trên địa bàn: 
	Có thể tổ chức chuyên đề, hội thảo để xây dựng, đúc rút kinh nghiệm và ứng dụng 
VI. Kết luận: 
	Vấn đề “Ứng dụng đa thức trong giải toán”, là rất cần thiết trong việc phát triển tư duy, khả năng suy luận lôgic của học sinh. Tuy nhiên, không phải bất kỳ bài toán nào, chúng ta đều có thể thuận lợi để tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực. Để giúp cho học sinh không phải thụ động, lúng túng khi tiếp xúc với dạng toán này, đòi hỏi giáo viên cần đầu tư thời gian, công sức, sưu tầm, lựa chọn bài tập phù hợp với điều kiện của học sinh mỗi lớp mình đang giảng dạy, từ đó mà tổ chức các hoạt động làm cho học sinh giảm bớt căng thẳng và hứng thú với giờ học hơn. Bản thân tôi đã thực hiện được một số vấn đề như trên, và nhận thấy rằng, nếu duy trì, rèn luyện thường xuyên, có hệ thống, sẽ phát huy được khả năng tư duy, năng lực hoạt động của học sinh một cách tích cực và hiệu quả 
XÁC NHẬN, XẾP LOẠI HĐKH TRƯỜNG
Xếp loại: ......
TM.HĐKH
CHỦ TỊCH
HIỆU TRƯỞNG
Nguyễn Trọng Khương
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
Lª Minh Ngäc
( Họ tên và chữ kí)
XÁC NHẬN, XẾP LOẠI CỦA HĐKH HUYỆN
	 Xếp loại: .............. 
	 CHỦ TỊCH HĐKH