Sáng kiến kinh nghiệm - Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong tọa độ Oxy - Ngô Thị Thùy Trang

rong những dạng trên để viết phương trình của đường thẳng. Tuy nhiên ta vẫn có thể chuyÓn ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tõ d¹ng nµy qua d¹ng kh¸c.
c. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng 
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta xét số nghiệm của hệ phương trình
 (I)
F Chú ý: Nếu a2b2c2 thì : 
d. Góc giữa hai đường thẳng. 
Góc giữa hai đường thẳng có phương trình cho ở mục c, có VTPT được tính theo công thức: 
e. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d(M0,) = 
f. Điểm thuộc đường thẳng
2. Các dạng bài tập 
Cách thực hiện đề tài:
 Thông thường để giải tốt một bài toán hình giải tích, ta theo các bước sau:	
 + Vẽ hình ở nháp, phân tích kỹ các giả thiết tránh khai thác sai, thừa.
	+ Lựa chọn phương án giải và trình bày bài
Đối với bài tập viết phương trình đường thẳng ta có thể phân tích theo sơ đồ :
Lưu ý: Trong các dạng bài tập thì đối với học sinh trung bình, yếu chỉ nên tiếp cận từ dạng 1 đến dạng 6 . Các dạng còn lại giành cho học sinh khá giỏi và nâng cao hơn là bài tập bổ sung ở cuối đề tài.
Một số chú thích sơ đồ: 
+) Để viết PTTS hoặc PTCT của đường thẳng ta cần tìm : một điểm và một vtcp của rồi thay vào PTTS hoặc PTCT. 
+) Để viết PTTQ của đường thẳng ta cần tìm : một điểm và một vtpt của rồi thay vào (*) và biến đổi để có được PTTQ.
+) Ngoài ra để viết PTTQ của ta cần có và hệ số góc k thay vào (**).
+)Từ những kiến thức liên quan ta có thể viết được dạng phương trình của đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng có phương trình cho trước
Điểm
M(x0; y0)
Vectơ
Chỉ phương
Vectơ
pháp tuyến
Điểm
M(x0; y0)
Phương trình tham số
Phương trình TỔNG QUÁT 
 Ax + By + C = 0
+Vectơ pháp tuyến 
+Vectơ chỉ phương 
+Hệ số góc k = 
Phương trình cơ bản
A(x – x0) + B(y – y0) = 0(*)
Điểm
M(x0; y0)
Hệ số góc k
Phương trình cơ bản
y – y0 = k(x – x0) (**)
(d1) // , (d1) có dạng
Ax + By + C1 = 0
(d2) , (d2) có dạng
Bx – Ay + C2 = 0
Khoảng cách từ điểm M(x0; y0)
đến đường thẳng là:
d(M,) = 
Các trường hợp riêng của 
phương trình tổng quát
1. C=0, qua gốc tọa độ O.
2. A=0, cùng phương với Ox.
3. B=0, cùng phương với Oy.
	+Phương trình trục Ox: y=0
	+Phương trình trục Oy: x=0
Phương trình chính tắc
, 
 Như vậy qua việc phân tích sơ đồ giúp cho học sinh biết được muốn viết được phương trình của đường thẳng thì ta cần xác định yếu tố gì? Và cần làm gì ?
2.1 Một số dạng toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
* DẠNG 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
a) Hướng dấn Cách giải: 
Phương trình đường thẳng d đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương có dạng : 
Chính tắc: ( Nếu a.b ≠ 0)
Tham số: 
Tổng quát: hoặc 
Chú ý: Nếu d có vtcp thì d có vtpt hoặc 
b) ví dụ: 
	Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua và có vtcp 
Giải:
(ta có thể chọn một trong ba cách viết phương trình của đường thẳng sau để trả lời câu hỏi bài toán đưa ra)
*) Đường thẳng () đi qua điểm M(1;-3) và có vtcp có phương trình tham số là: 
*) Phương trình chính tắc của là: 
*) Đường thẳng có vtcp nên có vtpt 
Phương trình tổng quát của là: 
* DẠNG 2 : Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
a) Hướng dấn Cách giải: (Ta lựa chọn một trong ba cách viết PTĐT)
Phương trình đường thẳng d đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng : 
Chính tắc: hoặc (Nếu A.B ≠ 0)
Tham số: hoặc 
Tổng quát: 
Chú ý: Nếu d có vtpt thì d có vtcp hoặc 
 Nếu d có vtpt thì d có PTTQ có dạng: 
b) Ví dụ: 
Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua và có vtpt 
Giải:
(ta có thể chọn một trong ba cách viết phương trình của đường thẳng để trả lời câu hỏi bài toán đưa ra)
 có vtpt có vtcp là 
 có phương trình tham số là: 
 có PTTQ là: 
phương trình chính tắc của là: 
* DẠNG 3 : Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc 
a) Hướng dấn Cách giải: 
Phương trình ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: 
Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì (d) có dạng: y=k.x + m (k≠0, m R, k R)
b) Ví dụ: Viết phương trình ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3
Giải:
phương trình ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3 có dạng là:
Chú ý: Hoặc ta có thể viết PTĐT này dưới dạng PTTS hoặc PTTQ
Hướng dấn: Vì có hệ số góc nên có vtcp là rồi viết PTTS hoặc PTTQ
* DẠNG 4 : Viết PTĐT ( d) đi qua hai điểm phân biệt A( ) và B( )
a) Hướng dấn Cách giải: (Ta lựa chọn một trong ba dạng viết PTĐT để trả lời câu hỏi bài toán)
- Tính toạ độ vecto 
- Khi đó cũng chính là một vtcp của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B
- Trở lại bài toán dạng: viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm (A hoặc B) và có vtcp ()
Chú ý: Đ­êng th¼ng (d) c¨t Ox, Oy lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm A(a;0), B(0;b) cã pt lµ: 
b) Ví dụ: Viết PTĐT ( d) đi qua hai điểm phân biệt 
Giải
M
N
 Vì qua điểm nên có vtcp là 
 nên có phương trình tham số là: 
Chú ý: qua nên có vtcp là hoặc ; khi viết ptts thì đi qua điểm M hoặc điểm N đều được.
* DẠNG 5 : Viết PTĐT ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và song song với một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: 
a) Hướng dấn Cách giải: 
Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtcp (hoặc vtpt ) của đường thẳng (d)
Viết PTĐT (d): Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến 
Cách 2:
- Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: (*)
- Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
- Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng này cũng chính là vtcp (vtpt) của đường thẳng kia.
b) Ví dụ: Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường thẳng (d’) : 
Giải:
Cách 1:
 có vtpt là 
∆
d
 song song với đường thẳng d có pt: nên có vtpt là: có vtcp là: 
 nên có ptts là: 
Cách 2:
Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: (*)
Mặt khác Q (2;1) (∆) nên 2.2 + 1+m = 0m= -5
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 
Nhận xét: Ta dễ nhận xét cách giải quyết bài toán của cách 2 là khoa học và tốt hơn cách 1.
* DẠNG 6 : Viết PTĐT ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và vuông với một đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: 
a) Hướng dấn Cách giải: 
Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtcp (hoặc vtpt ) của đường thẳng (d)
Viết PTĐT (d): Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến 
Cách 2:
- Vì nên phương trình (d) có dạng: (hoặc) (*)
- Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
- Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý 1: Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng này chính là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia.
Chú ý 2: Nếu d vuông với một đường thẳng : y=kx+m thì đường thẳng d có phương trình dạng: y= x+n (Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1)
b) Ví dụ: Viết PTĐT ( d) đi qua một điểm P (-1;1) và vuông góc với đường thẳng (∆) : 
Giải:
Cách 1:
 có vtpt là 
d
∆
 (d) vuông góc với đường thẳng có pt: nên có vtcp là: 
 nên có ptts là: 	
Cách 2:
Vì (d) (∆) nên (d) có dạng: (*)
Mặt khác P (-1;1) (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0m= 1
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 
Nhận xét: Ta dễ nhận xét cách giải quyết bài toán của cách 2 là khoa học và tốt hơn cách 1.
* DẠNG 7 : Viết PTĐT ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc cho trước (Bài toán liên quan đến góc)
a) Hướng dấn Cách giải: 
 Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là: 
 (2)
-Sau đó áp dụng công thứ tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ từ đó suy ra giá trị k cần tìm
- Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)
b) Ví dụ: Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M (1;2) và tạo với (∆) một góc 450
Giải:
PTĐT (d) được viết dưới dạng: y – 2 = k ( x-1) kx – y +2 – k = 0
Vì (d) hợp với (∆) một góc 450 nên: 
Vậy phương trình (d) là: 
 hay 
* DẠNG 8 :Viết PTĐT (∆) đi qua điểm M0(x0;y0) và cách điểm N( một khoảng bằng a. (Bài toán liên quan đến khoảng cách)
a) Hướng dấn Cách giải: 
Gọi phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là: 
 (2) =>ta cần tính số k?
-Áp dụng công thức: d(N,∆)=a. Từ đó suy ra giá trị k cần tìm
- Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)
b) Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.
Giải:
PTĐT (∆) ®i qua ®iÓm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:
 (2’)
Vì (∆) cách N(1;2) một khoảng bằng 1 nên:
Ta có: d(N, ∆) =1 
Vậy phương trình (∆) là: 
Qua dạng này học sinh cần biết giải bài toán:
Cho đường thẳng có ptts: .
Tìm điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm một khoảng bằng 5.
Giải: Nhận xét: Điểm nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d.
Gọi.
Ta có:.
Theo giả thiết: 
. Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt và .
* DẠNG 9: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I
a) Hướng dấn Cách giải: 
- Lấy một điểm A thuộc ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
- Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A’ và song song với 
b) Ví dụ: A’
d1
A
d
I
Ÿ
Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I.
Giải
Dễ thấy ; gọi là điểm đối xứng với A qua I suy ra 
(với I là trung điểm của AA’)
Vì nên phương trình () có dạng: 
 qua nên: 
* DẠNG 10: Tìm hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆
a) Hướng dấn Cách giải: 
Cách 1:
Bước 1: Viết pt đường thẳng d đi qua A và d vuông góc với ∆
Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆. Khi đó 
Bước 3: là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì tọa độ 
Bước 2: Do nên tọa độ H
A’
∆
A
H
Bước 3: là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: 
Gọi là hình chiếu của điểm A trên ∆ 
Khi đó 
 (1)
 cùng phương với 
Do đó: (2)
Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
b) Ví dụ: Cho đường thẳng và điểm 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên 
b) Tìm điểm là điểm đối xứng của qua 
Giải
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên 
Đường thẳng AHpt AH có dạng: 
AH đi qua A nên: 
Vậy phương trình AH là: 
+ 
Tọa độ H là nghiệm hệ: 
b) là điểm đối xứng của qua là trung điểm của 
Chú thích: Dạng 10 không phải bài toán viết phương trình đường thẳng nhưng giúp ta giải quyết bài toán ở dạng 11.
* DẠNG 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng ()
a) Hướng dấn Cách giải: 
§Để giải các bài toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt nhau hay song song.
 ó Nếu (d)// ()
Bước 1: Lấy A(d). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua () 
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)
 ó Nếu (d) cắt () tại điểm I
Bước 1: Lấy A(d) (A≠I). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ()
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.
b) Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : và . Lập phương trình đường thẳng đối xứng với (d1) qua (d2).
Giải
 Xét (d1) và (d2) , Ta có: . Vậy () cắt ( ) tại điểm I
 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ => I(0;1)
Lấy A(1;0) (d1) 
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’ (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10)
Vậy phương trình của là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm I và A’
 : 
* DẠNG 12 : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2). Với: (d1) :và (d2): 
a) Hướng dấn Cách giải: 
- Tính tích vô hướng của 2 vecto lần lượt là vtpt của (d1) , (d2)
- Phương trình ®­êng ph©n gi¸c của góc tạo bởi (d1) vµ (d2):
-Khi đó: tồn tại 2 đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d1) vµ (d2):
- Tuỳ vào yêu cầu đề toán mà ta phải biết cách ph©n biÖt ®­êng ph©n gi¸c gãc nhän, gãc tï; ®­êng ph©n gi¸c gãc trong, ngoµi cña gãc tam gi¸c để suy ra PTĐT mà ta cần tìm.
Dựa vào bảng sau: 
Phương trình phân giác góc nhọn
Phương trình phân giác góc tù
-
(∆1)
+
(∆1)
Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:
 Cho đường thẳng và 2 điểm 
Cùng phía
Ký hiệu: 
Lúc đó:
	TH 1: 
thì A, B cùng phía đối với đường thẳng .
Khác phía
TH 2: 
thì A, B khác phía đối với đường thẳng .
Chú ý 2: + Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về dạng tổng quát
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
b) Ví dụ: 
1) Cho 
a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Giải
a) Vì: nên d cắt d’
b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
2) Cho 2 đường thẳng (d1):3x+4y-1=0 và (d2): 4x+3y+5 = 0 . Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)
Giải:
(d1) có vtpt là 
(d2) có vtpt là 
Ta có: =3.4+4.3=24 >0
Ta có phương trình : 
Vì >0 nên phương trình đường phân giác góc nhọn cần tìm là: 
2.2 Ứng dụng viết phương trình đường thẳng vào bài toán viết phương trình của các loại đường thẳng trong tam giác.
Lưu ý: ta dựa vào kiến thức về cách viết PTĐT của mục 2.1 để hình thành nên kĩ năng viết phương trình của các loại đường trong tam giác
* DẠNG 13 : Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác và cạnh của tam giác 
a) Hướng dấn Cách giải: Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm 
Bài toán viết PT
Hình
Phương trình tham số
Phương trình tổng quát
Cạnh AB tam giác
A
A
C
B
Trung tuyến AM
B
M
C
Đường cao AH
A
H
C
A
B
Đường trung trực 
B
I
C
Đường phân giác 
Dựa vào dạng 12 trong phần 2.1 để làm
b) Ví dụ: 
1) Cho tam giác ABC với . Viết phương trình tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác ABC; đường trung trực của cạnh AB.
Giải
Phương trình cạnh AB:
Đường thẳng AB đi qua nên có vtcp là đường thẳngcó vtpt là: 
Phương trình tổng quát của AB là: 
Phương trình đường trung tuyến AM:
M là trung điểm của BC nên 
Đường trung tuyến AM đi qua nên AM có vtcp là có vtpt là 
Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là:
Phương trình đường cao AH:
Đường cao AH đi qua và có vtpt 
Phương trình tổng quát của đường cao AH là: 
Phương trình đường trung trực của AB:
Gọi K là trung điểm của AB nên 
Gọi là đường trung trực của AB đi qua điểm và có vtpt 
Phương trình tổng quát của là: 
2) Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của biết 
Giải
+ Phương trình cạnh AB: 
+ Phương trình cạnh AC: 
+ Phương trình hai đường phân giác của góc A: 
+ Xét đường phân giác 
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của : 
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của : 
Vì nên B và C nằm cùng phía đối với là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: 
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Qua và có vtpt 
Qua và có vtcp 
Qua 
Qua và có hệ số góc 
Qua và song song với đường thẳng 
Qua và vuông góc với đường thẳng 
 Qua 
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của DABC.
Bài tập 3: LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi ®­êng th¼ng (d) qua ®t() biÕt:
a, 	b, 
Bài tập 4: Cho hai ®iÓm A(1; 1), B(3; 6). ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua A vµ c¸ch B mét ®o¹n b»ng 3.
Bài tập 5: Viết ph­¬ng tr×nh ®­êng ph©n gi¸c cña gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng:
Bài tập 6: Cho I(1;2) và đường thẳng 
Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và song song với ( ).
Tìm phương trình đường thẳng (’ ) đối xứng với ( ) qua A.
ĐS: a) (d): 3x-5y+7=0 b) (’ ) : 3x-5y+33=0
Bài tập 7: Cho đường thẳng . Lập phương trình đường thẳng d đi qua và tạo với một góc 
Bổ sung bài tập liên quan ( cần cho học sinh khá giỏi)
Bài tập 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng , 
A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng
d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn
1) PTTS của d: . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d.
	 = Û Û 
	Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
Bài tập 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d1: và d2: . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: Þ .
	Giả sử: Î d1, Î d2. 
	M(–1; 1) là trung điểm của BC Û Û 
	Þ , .
Bài tập 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn
Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là (a2 + b2 ¹ 0) 
	=> VTPT của BC là: . 
	Phương trình 	AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 	ax + by –2a –b =0
	BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 – bx + ay +4b + 2a =0
	Do ABCD là hình vuông nên d(P, AB) = d(Q,BC) 
	Û 
	· b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; 
	AD: 2x + y – 4 =0
	· b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; 
	CD: –x + y+ 2 =0
Bài tập 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích bằng ; trọng tâm G của DABC nằm trên đường thẳng 
d: 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp D ABC.
Hướng dẫn
Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C, AB) = 
	Þ ; Trọng tâm G Î d
	Þ 3a –b =4 (3)
	· (1), (3) Þ C(-2; -10) Þ r = 
	· (2), (3) Þ C(1; –1) Þ 
Bài tập 5*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình d1: . Phương trình đường cao vẽ từ B là 
d2: . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC. 
Hướng dẫn
	B(0; –1). Þ MB ^ BC. 
	Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật. 
	phương trình đường thẳng MN: . N = MN Ç d2 Þ .
	NC ^ BC Þ phương trình đường thẳng NC: .
	C = NC Ç d1 Þ . 
	AB ^ CM Þ phương trình đường thẳng AB: . 
	AC ^ BN Þ phương trình đường thẳng AC: 
Bài tập 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
Hướng dẫn
	M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
	Mặt khác: . Gọi H là hình chiếu của I lên AB 
	Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
	.
	Vậy d: y – 3 = 0 hoặc d: 12x – 5y – 69 = 0.
Bài tập 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1). Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của .
Hướng dẫn
Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có: 
	(I là trung điểm MN).
	.
	AB = 2AM AB = 2AN N là trung điểm AB .
Bài tập 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: ,
d2: . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Hướng dẫn
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: 
	Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 
	KL: và 
Bài tập 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh . Biết chu vi của bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
, (do ).
	Gọi AH là đường cao .
	.
Bài tập 10*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng n