Rèn luyện kĩ năng tính toán và chứng minh trong tam giác đồng dạng

?
b.  So sánh MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Xem lời giải tại:
18. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy
cắt các cạnh bên AD, BC tại M, N sao cho 
AM
MD
=
1
2
.
a.  Tính tỉ số 
BN
NC
 ?
b.  Cho AB = 8 cm, CD = 17 cm. Tính MN?
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC, Aˆ = 1200, AB = 3 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đường phân giác AD
(D ∈ BC).
Xem lời giải tại:
20. Cho ΔABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB).
a.  Chứng minh DE // BC.
b.  Tính độ dài AB, biết DE = 6 cm, BC = 15 cm.
Xem lời giải tại:
21. Cho ΔABC, gọi I là trung điểm của AB, E là trung điểm của BI, D thuộc cạnh
AC sao cho CD =
1
3
CA. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính các tỉ số 
BF
FD
;
EF
FC
 .
Xem lời giải tại:
22. Cho tam giác ABC có các góc B và C là góc nhọn, đường phân giác AD. Biết 
AD = AB = √5cm, BD = 2cm. Tính độ dài DC.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB).
Tính 
DB
DC
.
EC
EA
.
FA
FB
 ?
Xem lời giải tại:
24. Cho ΔABC, Aˆ = 900, đường phân giác AD (D ∈ BC). Biết DB = 15 cm, DC =
20 cm. Tính AB, AC.
Xem lời giải tại:
25. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = AC = 1 dm, đường phân giác BD (D ∈ AC). Tính
AD, DC.
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm. Kẻ đường phân giác AD
của 
^
BAC (D ∈ BC). Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE?
b.  Cho biết SΔABC = a cm
2. Tính SΔABD ; SΔADE ; SΔDCE?
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = 15 cm, AC = 20 cm, đường cao AH (H ∈ BC).
Tia phân giác của 
^
HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của 
^
HAC cắt HC tại E.
a.  Tính AH.
b.  Tính DH, HE.
Xem lời giải tại:
28. Cho ΔABC, AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm các đường
phân giác của ΔABC. Tính BI.
Xem lời giải tại:
29. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = 21 cm, AC = 28 cm. Đường phân giác AD (
D ∈ BC), DE⊥AC (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE.
b.  Tính SΔABD; SΔACD ?
Xem lời giải tại:
30. Cho ΔABC, AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác BD (D ∈ AC)
a.  Tính AD, DC.
b.  Đường vuông góc với BD cắt đường thẳng AC tại E. Tính EC.
Xem lời giải tại:
31. Cho ΔABC, các đường phân giác BD và CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Biết 
AD
DC
=
2
3
;
AE
EB
=
5
6
.
Tính các cạnh của ΔABC, biết chu vi của ΔABC bằng 45 cm.
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, đường phân giác AD (D ∈ BC). Điểm
I thuộc đoạn thẳng AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC.
a.  Tính tỉ số 
AE
EC
.
b.  Tính AE, EC.
Xem lời giải tại:
33. Cho ΔABC (AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính 
^
CMN, biết 
^
BAC = 500.
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC có: AB = 16,2 cm; BC = 24,3 cm; AC = 32,7 cm. Tính các cạnh của 
ΔA ′B ′C ′ , biết ΔA ′B ′C ′đồng dạng với ΔABC và:
a.  A’B’ lớn hơn cạnh AB là 10, 8 cm.
b.  A’B’ bé hơn cạnh AB là 5,4 cm.
Xem lời giải tại:
35. Cho ΔA ′B ′C ′ ∼ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k =
3
5
 .
a.  Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b.  Cho hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40 dm, tính chu vi của mỗi tam giác.
Xem lời giải tại:
36. Cho hình thang cân ABCD (AD / /BC), AD = a, BC = b (a > b). Gọi K là trung
điểm của AD, KB cắt AC tại M, KC cắt BD tại N. Tính độ dài MN?
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC, BC = a, AC = b, 
^
ACB = 1200. Tính độ dài phân giác của 
^
ACB.
Xem lời giải tại:
38. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 900), AD = a, BC = b (a > b), AB = c.
Tính các khoảng cách từ giao điểm các đường chéo hình thang đến đáy AD và
cạnh bên AB.
Xem lời giải tại:
39. Cho ΔABC ∼ ΔHIK theo tỉ số đồng dạng k =
2
5
a.  Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho
b.  Tính chu vi ΔHIK biết chu vi ΔABC bằng 60 cm
Xem lời giải tại:
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHỨNG MINH
TRONG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
BÀI TẬP LIÊN QUAN
40. Cho tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm, đường
chéo BD = 6 cm. Chứng minh:
a.  ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang.
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = 24 cm, BC = 26 cm và 
ΔIMN, Iˆ = 900, IN = 25 cm, MN = 65 cm.
Chứng minh: ΔABC ∼ ΔIMN
Xem lời giải tại:
42. Cho ΔABC, Aˆ = 900 và ΔA ′B ′C ′ ,
^
A ′ = 900. Biết 
AB
A ′B ′
=
BC
B ′C ′
= 2. 
a.  Tính 
AC
A ′C ′
= ?
b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′B ′C ′
Xem lời giải tại:
43. Cho ΔABC có BC = 9 cm, AC = 6 cm, AB = 4 cm.  Gọi ha, hb, hc là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng ha, hb, hc.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC.
a.  Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng.
b.  Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm.
Xem lời giải tại:
45. Cho điểm H nằm trong ΔABC. Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng AH, BH, CH. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
KM, KN, MN.
a.  Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng?
b.  Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED.
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a2 = bc. Gọi ha, hb, hc là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC.
Xem lời giải tại:
47. Cho ΔABC, Aˆ = 900 và ΔA ′B ′C ′ ,
^
A ′ = 900. Biết 
AB
A ′B ′
=
BC
B ′C ′
= k
a.  Tính 
AC
A ′C ′
b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′B ′C ′
c.  Tính tỉ số diện tích của ΔABC và ΔA ′B ′C ′ .
Xem lời giải tại:
48. Cho tứ giác ABCD có: 
^
BAD = 900,
^
CBD = 900, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm.
a.  Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Xem lời giải tại:
49. Cho ΔABC, AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm. Tính tỉ số 
Bˆ
Cˆ
.
Xem lời giải tại:
50. Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 600. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của
các tia BA, DA theo thứ tự ở E, F. Goi I là giao điểm của DE và BF.
a.  So sánh 
EB
BA
 và 
AD
DF
 .
b.  Chứng minh ΔEBD ∼ ΔBDF.
c.  Tính 
^
BID = ? .
Xem lời giải tại:
51. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, AC = 2AB. Vẽ trung tuyến BE của 
ΔABO (E ∈ AO). Gọi M là trung điểm của BC.
a.  So sánh 
^
ABE và 
^
ACB.
b.  Chứng minh EM⊥BD.
Xem lời giải tại:
52. Cho ΔABC. Đường thẳng d / /BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho 
DC2 = BC. DE.
a.  So sánh ΔDEC và ΔCDB.
b.  Nêu cách dựng DE.
Xem lời giải tại:
53. Cho ΔABC và G là điểm thuộc miền trong tam giác, tia AG cắt BC tại K và tia
CG cắt AB tại M. Biết rằng AG = 2GK; CG = 2GM. Chứng minh rằng G là trọng
tâm của ΔABC
Xem lời giải tại:
54. Cho góc xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ox lấy các điểm A và C’ sao cho 
OA = 4cm; OC ′ = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm A’ và C sao cho 
OA ′ = 12cm; OC = 3cm.  Trên tia Ot lấy các điểm B và B’ sao cho 
OB = 6cm; OB ′ = 18cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOA ′B ′
b.  Tính các tỉ số 
AB
A ′B ′
;
BC
B ′C ′
;
AC
A ′C ′
Xem lời giải tại:
55. Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thẳng 
OA = 5cm; OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng 
OC = 8cm; OD = 10cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOCB ∼ ΔOAD.
b.  Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng AI. ID = IB. IC
Xem lời giải tại:
56. Qua điểm O tùy ý ở trong tam giác ABC kẻ đường thẳng song song với AB,
cắt AC và BC ở D và E, đường thẳng song song với AC cắt AB và BC tại F và K,
đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.
Chứng minh rằng: 
AF
AB
+
BE
BC
+
CN
CA
= 1.
Xem lời giải tại:
57. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BI và CK, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi
D và E theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi D' là hình chiếu của D
trên AC, E' là hình chiếu của E trên AB, H là giao điểm của DD' và EE'. Chứng
minh rằng ba điểm H, K ,I thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
58. Cho tam giác ABC. Qua điểm O thuộc miền trong tam giác kẻ các đường
thẳng DE, FH, MK tương ứng song song với AB, BC, CA (H, K thuộc AB; M, E
thuộc BC; F, D thuộc AC). Gọi A' là giao điểm của AO với BC, B' là giao điểm của
BO với AC, C' là giao điểm của CO với AB. Chứng minh rằng:
FH
BC
+
MK
AC
+
DE
AB
= 2.
Xem lời giải tại:
59. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Lấy điểm D thuộc cạnh
AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho 
^
ADE = Bˆ. Gọi G, H theo thứ tự là hình chiếu
của E, D trên BC. Tính tổng DE + EG + DH.
Xem lời giải tại:
60. Các đáy của một hình thang là a và b (a > b). Hãy xác định độ dài đoạn thẳng
song song với cạnh đáy của hình thang và chia hình thang thành hai phần có
diện tích bằng nhau.
Xem lời giải tại:
61. Giả sử AC là đường chéo lớn nhất trong hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CE
vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB) và CF vuông góc với AD (F thuộc
đường thẳng AD). Chứng minh rằng:
AB. AE + AD. AF = AC2
Xem lời giải tại:
62. Hình thang ABCD (AB//CD) có 
AB = 2, 5cm; AD = 3, 5cm; BD = 5cm;
^
DAB =
^
DBC
a.  Chứng minh rằng ΔADB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài các cạnh BC, CD
Xem lời giải tại:
63. Cho ΔABC trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
^
ADE =
^
ACB. Chứng minh rằng:
a.  ΔADE ∼ ΔACB
b.  AD. AB = AE. AC
Xem lời giải tại:
64. Cho ΔABC có Aˆ = 900, dựng AH⊥BC (H ∈ BC). Đường phân giác BE cắt AH
tại F.
Chứng minh rằng 
FH
FA
=
EA
EC
.
Xem lời giải tại:
65. Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD.
a.  Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC
b.  Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng
minh rằng 
OH
OK
=
AB
CD
Xem lời giải tại:
66. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của 
^
BDE. Chứng minh rằng 
BD. CE =
BC2
4
Xem lời giải tại:
67. Cho ΔABC và ΔA ′B ′C ′  biết Aˆ +
^
A ′ = 1800; Bˆ =
^
B ′ . Chứng minh rằng 
AB. A ′B ′ + AC. A ′C ′ = BC. B ′C ′
Xem lời giải tại:
68. Cho ΔABC có Aˆ = 2Bˆ = 4Cˆ. Chứng minh rằng: 
1
AB
=
1
BC
+
1
AC
.
Xem lời giải tại:
69. Cho ΔABC có AB = c; BC = a; AC = b; Aˆ = 2Bˆ.  Chứng minh rằng 
a2 = b2 + bc
Xem lời giải tại:
70. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BA, BC đặt BP = BQ vẽ BH⊥CP. Chứng
minh rằng DH⊥HQ
Xem lời giải tại:
71. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm
Q trên cạnh AC sao cho 
^
PMQ = 600. Chứng minh:
a.  ΔPBM ∼ ΔMCQ
b.  ΔMBP ∼ ΔQMP
c. 
SMPQ
SABC
=
PQ
2BC
Xem lời giải tại:
72. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng
với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường
vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K.
a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành
b.  Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Xem lời giải tại:
73. Cho ΔABC có Aˆ = 900; AH⊥BC (H ∈ BC). Chứng minh AH2 = BH. CH.
Xem lời giải tại:
74. Cho ΔABH; Hˆ = 900 có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy
điểm C sao cho 
AC
AH
=
5
3
.
a.  Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH.
b.  Tính 
^
BAC?
Xem lời giải tại:
75. Cho ΔABC có  Aˆ = 900; AH⊥BC (H ∈ BC), AH = 8 cm, BC = 20 cm. Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Chứng minh: ΔADE ∼ ΔABC.
b.  Tính SΔADE ?
Xem lời giải tại:
76. ΔABC có Cˆ = 900; CH⊥AB (H ∈ AB). Trên CH lấy điểm E, qua B kẻ 
BD⊥AE (D ∈ AE). Chứng minh rằng:
a.  AD. AE + BA. BH = AB2
b.  AD. AE − HA. HB = AH2
Xem lời giải tại:
77. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Gọi E và F theo thứ tự là
hình chiếu của C trên AB và AD. Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC. Chứng
minh rằng:
a.  AD. AF = AC. AH
b.  AD. AF + AB. AE = AC2
Xem lời giải tại:
78. Cho ΔABC, ba trung tuyến AK, BN, CM cắt nhau tại O. Gọi A1; A2; A3 là ba
điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho 
AA1 =
1
3
A1K; BB1 =
1
3
B1N; CC1 =
1
3
C1M.
Tính SΔA1B1C1 biết SΔABC = 128 cm
2.
Xem lời giải tại:
79. Cho ΔABC có Aˆ = 900; Cˆ = 300 và đường phân giác BD (D ∈ AC).
a.  Tính tỉ số 
AD
CD
b.  Cho biết độ dài AB = 12, 5cm, tính chu vi của ΔABC
c.  Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔADB = ΔMDC
Xem lời giải tại:
80. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q là trung
điểm của AH. Chứng minh rằng:
a.  ΔABP ∼ ΔCAQ
b.  AP⊥CQ
Xem lời giải tại:
81. Cho ΔABC, đường cao AH, kẻ HI⊥AB; HK⊥AC. Chứng minh rằng:
a.  AH2 = AI. AB
b.  ΔAIK ∼ ΔACB
c.  Đường phân giác của 
^
AHB cắt AB tại E. Biết 
EB
AB
=
2
5
.  Tính 
BI
AI
Xem lời giải tại:
82. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BH⊥CM, nối DH, vẽ 
HN⊥DH(N ∈ BC). Chứng minh rằng:
a.  ΔDHC ∼ ΔNHB
b.  ΔMHB ∼ ΔBHC
c.  NB = MB
Xem lời giải tại:
83. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm và hai đường chéo cắt
nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d⊥DB , d cắt BC tại E.
a.  Chứng minh rằng: ΔBDE ∼ ΔDCE
b.  Kẻ CH⊥DE tại H, chứng minh DC2 = CH. DB
c.  Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.
d.  Tính tỷ số 
SEHC
SEDB
Xem lời giải tại:
84. Cho ΔABC vuông tại A có AH là đường cao, gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC.
a.  Chứng minh rằng ΔAED ∼ ΔABC
b.  Giả sử SABC = 2SADHE . Chứng minh rằng ΔABC vuông cân tại A.
Xem lời giải tại:
85. Cho hình thang ABCD có (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), các điểm P, Q
lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ / /AB / /CD; SABQP = SPQCD. Chứng
minh rằng: PQ2 =
m2 + n2
2
Xem lời giải tại:
86. Cho ΔABC cân tại đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu
vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng 
ΔBIC ∼ ΔAOH.
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
87. Cho tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại O và 
^
BAC =
^
BDC. Chứng minh rằng:
a.  ΔABO ∼ ΔDCO
b.  ΔBCO ∼ ΔADO
Xem lời giải tại:
88. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH
c.  Tính diện tích ΔAHB
Xem lời giải tại:
89. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, 
^
ABD =
^
ACD. Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔAOB ∼ ΔDOC
b.  ΔAOD ∼ ΔBOC
c.  EA. ED = EB. EC
Xem lời giải tại:
90. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.
a.  Tính độ dài AD
b.  Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.
c.  I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.
Xem lời giải tại:
91. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tia
phân giác của Bˆ cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E.
a.  Tính độ dài BK
b.  Tính tỉ số 
AI
AK
c.  Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
92. Cho ΔABC vuông tại A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE sao
cho AD = DE = EC.
a.  Tính các tỉ số 
DB
DE
;
DC
DB
b.  Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB
c.  Tính tổng 
^
AEB +
^
ACB
d.  Tính chu vi ΔBDE
Xem lời giải tại:
93. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ở I, K.
a.  Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số 
MH
MO
b.  Chứng minh rằng MI =
1
3
MN
c.  Chứng minh rằng MI = IK = KN
Xem lời giải tại:
94. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB
b.  Tính tỉ số 
OM
AH
c.  Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG
d.  Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
Xem lời giải tại:
95. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
96. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.
a.  Chứng minh rằng CA2 = CH. CB
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAC(D ∈ BC). Tính HD.
c.  Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng 
ΔBHK ∼ ΔBIC
d.  Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.
Xem lời giải tại:
97. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 
SABC
SAEF
=
AD
AI
2( )
Xem lời giải tại:
98. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao
cho DM = 2cm. Biết 
^
AMB = 900
a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.
b.  Tia phân giác của 
^
AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng
EA=EK.
c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc 
^
BMH
Xem lời giải tại:
99. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).
a.  Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA
b.  Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB
c.  Chứng minh AE = AB
d.  Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB
Xem lời giải tại:
100. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minh
rằng:
a. 
SADE
SABC
=
AD. AE
AB. AC
b.  Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích
không quá 
1
4
SABC . Khi nào thì SADE = SBDF = SCEF =
1
4
SABC
Xem lời giải tại:
101. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: 
AB2
BH
=
AC2
CH
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và 
DH. DC = BD. HC
c.  Tính độ dài AH trong trường hợp SABH = 15, 36 cm
2 ; SACH = 8, 64 cm
2
d.  Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.
Chứng minh rằng: CE / /AD.
Xem lời giải tại:
102. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC,
cắt BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường
thẳng song song với AC cắt AD ở H.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì?
b.  Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?
c.  Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết 
AC = 45(cm); BD = 30(cm);
BE
BA
=
1
2
Xem lời giải tại:
103. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, 
AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
104. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao cho 
^
ACF =
^
ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.
a.  Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF
b.  Chứng minh: ΔBCF cân
c.  Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. 
( ) ( )
Chứng minh: AC2 = 4KF. BK
Xem lời giải tại:
105. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu
của H lên BC. Chứng minh rằng:
a.  BH. BD = BK. BC
b.  CH. CE = CK. CB
c.  BH. BD + CH. CE = BC2
d.  Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
106. Cho hình bình hành ABCD có  Aˆ < Bˆ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K
là hình chiếu của C trên AD, H là hình chiếu của B trên AC. Chứng minh rằng:
a.  AB. AE = AC. AH
b.  BC. AK = AC. HC
c.  AB. AE + AD. AK = AC2
Xem lời giải tại:
107. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Tứ giác ADHE là hình gì?
b.  Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC
c.  Tính diện tích ΔADE.
Xem lời giải tại:
108. Cho ΔABC có (AB < AC). Đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho 
^
CDE =
^
BAC = 760.
a.  Chứng minh rằng ΔCDE ∼ ΔCAB.
( )
b.  Chứng minh rằng ΔDBE cân, tính số đo 
^
DEB.
Xem lời giải tại:
109. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC
b.  Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC
c.  Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm
2. Tính diện tích của ΔHBA
Xem lời giải tại:
110. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đ