Rèn luyện kĩ năng chứng minh và trình bài toán về tứ giác

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
BÀI TẬP
1. Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD, Bˆ = 900; Aˆ = 600; Dˆ = 1350
a.  Tính góc C và chứng minh rằng BD = BC
b.  Từ A kẻ AE⊥CD tại E, tính các góc của ΔACE.
Xem lời giải tại:
2. Tứ giác ABCD có Bˆ = 1100, Dˆ = 700, AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh rằng CB=CD
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai
cạnh đối.
Xem lời giải tại:
4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD= 10cm. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc với DM.
Xem lời giải tại:
5. Cho tứ giác ABCD, có các tia phân giác của Aˆ và Dˆ vuông góc với nhau. Chứng
minh rằng:
a.  ABCD là hình thang
b.  Hai tia phân giác của góc Cˆ và Bˆ vuông góc với nhau
Xem lời giải tại:
6. Tính chu vi của một hình thang cân biết một trong các góc bằng 450 và các đáy
có độ dài 26cm và 50cm
Xem lời giải tại:
7. Cho tam giác ABC cân tại A. Qua điểm M trên cạnh AB kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC tại N.
a.  Tứ giác BMNC là hình gì? vì sao?
b.  So sánh SMNB và SMNC
c.  Chứng minh rằng SABN = SACM
Xem lời giải tại:
8. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao. Chứng minh
a.  ΔABH = ΔACK
b.  BCHK là hình thang cân
Xem lời giải tại:
9. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là
giao điểm của BD và AC. Chứng minh rằng AE =
1
2
EC.
Xem lời giải tại:
10. Cho hình thang ABCD có AB//CD, M là trung điểm của AD, N là trung điểm
của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Biết AB = 6cm, CD =
14cm. Tính độ dài MI, IK, KN.
Xem lời giải tại:
11. Cho tam giác ABC vuông tại A. (AB < AC) có AH là đường cao. Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HB. Kẻ DE⊥AC ở E, HK⊥AC ở K.
a.  So sánh KA và KE
b.  Chứng minh ΔAHE cân ở H.
c.  Gọi M là trung điểm của DC. Chứng minh 
^
HEM = 900
Xem lời giải tại:
12. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo
thứ tự là trung điểm của OD và OB.
a.  Chứng minh rằng AE // CF.
b.  Gọi K là giao điểm của AE và DC. Chứng minh rằng DK =
1
2
KC
Xem lời giải tại:
13. Cho ∆ ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E kẻ
các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng
minh rằng DM + EN = BC.
Xem lời giải tại:
14. Cho ∆ ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc
với AC tại C cắt nhau tại D. CMR
a.  BDCH là hình bình hành.
b. 
^
BAC +
^
BDC = 1800
c.  H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC)
d.  OM =
1
2
AH (O là trung điểm của AD)
Xem lời giải tại:
15. Cho ABC . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung
điểm của BD
a.  Tìm điểm đối xứng với điểm B qua AM
b.  Gọi N là điểm bất kì của đường thằng AM (N ≠ A). Chứng minh rằng BA + AC
< BN + NC
Xem lời giải tại:
16. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và O là
trung điểm của MN. Gọi I là điểm đối xứng của điểm A qua O. Chứng minh điểm
B đối xứng với C qua I.
Xem lời giải tại:
17. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở O.Qua A vẽ các
đường vuông góc với BD và với CE, chúng cắt BC theo thứ tự ở N và M. Gọi H là
chân đường vuông góc kẻ tử O đến BC. Chứng minh rằng:
a.  M đối xứng với A qua CE, N đối xứng với A qua BD
b.  HM = HN
Xem lời giải tại:
18. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ tử B đến AC, I là
trung điểm của AE, M là trung điểm của CD.
a.  Gọi H là trung điểm của BE. Chứng minh CH//IM
b.  Tính số đo góc BIM
Xem lời giải tại:
19. Cho tam giác ABC, trực tâm H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông
góc AC tại C cắt nhau ở D. Gọi O là trung điểm của AD, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a.  O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC
b.  OM =
1
2
AH
Xem lời giải tại:
20. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh AB của ΔABC, kẻ một đường thẳng song
song với BC,cắt AC ở E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C tại F, BF cắt
AC tại I.
a.  Chứng tỏ rằng ta có thể chọn được điểm D để BF là tia phân giác của góc Bˆ
b.  Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của AB thì IC=2IE.
Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC lấy các điểm D, E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho
BD=CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh
rằng IK⊥MN.
Xem lời giải tại:
22. Cho hình thoi ABCD góc Aˆ tù. Từ A hạ các đường vuông góc AI, AK xuống
cạnh BC, CD. Giả sử IK =
AC
2
 , O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a.  ΔIOK đều
b. 
^
IOC = 2
^
IAC
c. 
^
IOK = 2
^
IAK
d. 
^
BCD = 1500
Xem lời giải tại:
23. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy điểm E ∈ BC và F ∈ DC sao cho 
^
EAF = 450
. Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BE.
a.  Tính số đo góc KAF.
b.  Tính chu vi của ∆ CEF.
Xem lời giải tại:
24. Cho hình vuông ABCD và E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. 
a.  Chứng minh CE⊥DF
b.  Gọi M là giao điểm của CE và DF. CMR: AM = AB.
Xem lời giải tại:
25. Cho ∆ ABC cân tại A, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H, K
theo thứ tự là trung điểm của GB, DC. Tam giác cân ABC có thêm điều kiện gì thì
DEHK là hình vuông.
Xem lời giải tại:
26. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông
AMNP và BMLK có giao điểm các đường chéo theo thứ tự là C và D. Gọi G, Q là
hình chiếu của C, D trên AB.
a.  Tứ giác CDQG là hình gì?
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tứ giác OCMD là hình gì?
c.  Tính khoảng cách từ trung điểm I của CD đến AB biết AB = a.
d.  Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì I di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
27. Cho ∆ ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với
A qua M. Gọi N là trung điểm của AB và tia Ax // BC cắt tia MN tại I.
a.  Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b.  Chứng minh I đối xứng với M qua AB.
c.  Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính diện tích tứ giác BDMN.
Xem lời giải tại:
28. Cho hình thang ABCD có Aˆ = Dˆ = 900 , CD = 2AB = 2AD. Gọi H là hình chiếu
của D lên AC; M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD; HC; HD.
a.  CM tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BDC là tam giác vuông cân.
b.  CM tứ giác DMPQ là hình bình hành.
c.  Chứng minh AQ⊥DP
Xem lời giải tại:
29. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là trung điểm của AB, gọi N là giao điểm của
DM và BC.
a.  CMR: tứ giác ANBD là hình bình hành.
b.  Kẻ Cx // DN, Cx cắt AB tại P. CMR: tứ giác MNPC là hình thoi.
c.  Tứ giác DNPC có là hình thang không?
Xem lời giải tại:
30. Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia
CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P, trên tia đối của tia AD lấy điểm
Q sao cho BM = CN = DP = AQ.
a.  Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b.  CMR: hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng.
c.  Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Xem lời giải tại:
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
BÀI TẬP
31. Tứ giác ABCD có chu vi bằng 10cm. Chứng minh rằng: 5cm < AC + BD <
10cm
Xem lời giải tại:
32. Tứ giác ABCD có AD = BC. Các đường trung trực của AB và của CD cắt nhau ở
E. Chứng minh 
^
EAB =
^
EDC
Xem lời giải tại:
33. Cho hình thang vuông ABCD có Aˆ = Dˆ = 900.
a.  Xác định điểm I trên cạnh AD sao cho IB = IC
b.  Với điểm I tìm được và cho biết ΔIBC vuông cân ở I. Hãy chứng minh rằng AB
+ CD= AD
c.  Biết DC =
1
2
IC. Hãy tính Bˆ; Cˆ của hình thang ABCD
Xem lời giải tại:
34. Cho điểm O thuộc miền trong tam giác đều ABC. Kẻ OI//AB (I ∈ AC),
OJ//BC(J ∈ AB), OK//AC (K ∈ BC). Chứng minh chu vi của ΔIJK bằng tổng các
khoảng cách từ O đến các đỉnh ΔABC .
Xem lời giải tại:
35. Chứng minh rằng nếu các góc ở đáy của một hình thang không bằng nhau thì
đường chéo xuất phát từ góc lớn sẽ nhỏ hơn đường chéo xuât phát từ góc nhỏ
hơn.
Xem lời giải tại:
36. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA>CB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ AB vẽ các tam giác đều AMC, BCD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của
các đoạn thẳng MC, MB, CD, AD.
a.  EFIK là hình gì?
b.  Chứng minh KF =
1
2
MD
Xem lời giải tại:
37. Trong một hình thang cân, đường chéo chia đôi góc tù. Đáy lớn nhỏ hơn chu
vi a mét, đường trung bình bằng b mét. Hãy xác định độ dài các cạnh của hình
thang.
Xem lời giải tại:
38. Cho hình bình hành MNPQ. Trên đường chéo NQ lấy các điểm H và K sao cho
NH = HK = KQ.
a.  CMR: MHPK là hình bình hành.
b.  Trên tia đối của các tia MN, NP, PQ và QM lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao
cho AM = BN = CP = DQ. CMR: các đường MP, HK, AC, BD đồng quy.
Xem lời giải tại:
39. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó.
Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D lên đường thẳng d. 
Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Xem lời giải tại:
40. Cho tam giác nhọn ABC, Aˆ = 700, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối
xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cắt AB,
AC theo thứ tự ở M và N.
a.  Tính các góc của tam giác AEF.
b.  Tìm vị trí của điểm D trên cạnh BC để tam giác DMN có chu vi nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
41. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB) đường trung trực cạnh BC cắt AC ở
D. Lấy điểm E đối xứng với D qua A
a.  So sánh các góc 
^
BEC và 
^
BCE
b.  Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường thẳng BE tại P, so sánh EP và EA
c.  Chứng minh BP = AC
Xem lời giải tại:
42. Cho hình thang vuông ABCD  : Aˆ = Dˆ = 900, có các điểm E và F thuộc cạnh
AD sao cho AE=DF và 
^
BFC = 900. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : 
^
BEC = 900
Xem lời giải tại:
43. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường
thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt ở M và N. Vẽ hình chữ nhật
MDNF.Chứng minh
a.  DF// EC
b.  BE = EF
Xem lời giải tại:
44. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại O
sao cho 
OC > OD. Gọi F, E, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DC và AD. Chứng
minh rằng:
a.  FEPQ là hình thoi
b.  Gọi Ot là tia phân giác của góc 
^
COD, chứng minh rằng QE⊥Ot
Xem lời giải tại:
45. Cho ΔABC kẻ FE//BC(E ∈ AB; F ∈ AC) sao cho AE=CF. Qua E kẻ một
đường thẳng song song với AC cắt BC ở D.
a.  Chứng minh rằng AD là tia phân giác của Aˆ
b.  Dựng đường thẳng MN//BC(M ∈ AB; N ∈ AC) sao cho BM=AN.
c.  ΔABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MNDB là hình thoi.
Xem lời giải tại:
46. Cho tứ giác ABCD có 
^
ADC +
^
BCD = 900 và AD = BC. Gọi I, N, J, N lần lượt là
trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh INJM là hình vuông.
Xem lời giải tại:
47. Cho hình bình hành ABCD . Vẽ bên ngoài hình bình hành các hình vuông có
cạnh theo thứ tự là AB, BC, CD, DA có tâm (đối xứng) là E; F; G; H. Chứng minh
rằng
a.  ∆ HAE = ∆ FBE
b.  EFGH là hình vuông.
Xem lời giải tại:
48. Cho tứ giác ABCD, AB cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của 
^
DFC
và 
^
BEC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng 
^
EIF bằng nửa tổng của một trong hai
cặp góc đối của tứ giác ABCD.
Xem lời giải tại:
49. Hình thang cân ABCD (AB / /CD, AB < CD), đường cao BH thỏa mãn 
BH =
AB + CD
2
. Chứng minh AC⊥BD.
Xem lời giải tại:
50. Cho ΔABC có trọng tâm G.
a.  Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A’, B’, C’ là hình
chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’.
b.  Nếu đường thẳng d nằm ngoài ΔABCvà G’ là hình chiếu của G trên d thì các
độ dài AA’, BB’, CC’, GG’ có liên hệ gì?
Xem lời giải tại:
51. Cho hình thang vuông ABCD, Aˆ = Dˆ = 900, AB =
1
2
CD. Gọi H là hình chiếu
của D trên AC, M là trung điểm của HC. Tính số đo 
^
BMD.
Xem lời giải tại:
52. Cho ΔABC. Về phía ngoài tam giác vẽ hai hình vuông ABEF và ACGH. Chứng
minh rằng các đường thẳng BG và CE cắt nhau tại một điểm trên đường cao AD
của ΔABC.
Xem lời giải tại:
53. Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông
góc với AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M.
Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a.  Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?
b.  Chứng minh chu vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Xem lời giải tại:
54. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’ ; BB’ ; CC’
Chứng minh rằng : 
(AB + BC + CA)2
AA ′ 2 + BB ′ 2 + CC ′ 2
≥ 4
Xem lời giải tại:
55. Cho hình bình hành ABCD, các đường cao AE và AF. Biết AC = 25 cm, EF = 24
cm. Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H của ΔAEF.
Xem lời giải tại:
56. M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng
điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD là các đỉnh của
một hình bình hành.
Xem lời giải tại:
57. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng
cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình
thoi.
Xem lời giải tại: