Rèn kĩ năng chứng minh đẳng thức về góc và đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TẬP
1. Cho điểm M nằm ngoài (O ; R). Kẻ một cát tuyến của (O) đi qua M cắt (O) tại A
và B.
Chứng minh rằng MA.MB = MO2 – R2.
Xem lời giải tại:
2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). MN là dây cung của (O) song
song với BC ( M, N nằm trên cung nhỏ BC và M nằm giữa B và N).
a.  Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang cân.
b.  AM cắt BC tại E. Chứng minh rằng AB.AC = AN.AE.
Xem lời giải tại:
3. Cho (O) , điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MA tới (O), A là tiếp điểm;
Kẻ cát tuyến MBC của (O) ( B nằm giữa M và C ). Chứng minh rằng MA2 =
MC.MB. (Hệ thức lượng trong đường tròn).
Xem lời giải tại:
4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt (O) tại
A và B, cắt (O’) tại C và D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, E và F
lần lượt là hai tiếp điểm với (O) và (O’). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là
giao điểm của EB và CF. Chứng minh rằng:
a.  MENF là hình chữ nhật.
b.  MN vuông góc với AD.
c.  ME.MA = MF.MD.
Xem lời giải tại:
5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B , tiếp tuyến tại A với (O) cắt
(O’) tại D. Tiếp tuyến tại (B) của (O’) cắt (O) tại C. Chứng minh rằng AC.AD2 =
BD.BC2.
Xem lời giải tại:
6. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O). Điểm D di chuyển trên cung nhỏ AC. Gọi E
là giao điểm của AC và DB, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a. 
^
AFB =
^
ABD
b.  Tích AE.BF không đổi.
Xem lời giải tại:
7. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O ; R). M là một điểm nằm trên cung nhỏ
AB. Gọi I là giao điểm của AM và tia CB. Chứng minh rằng: AB2 = AM.AI
Xem lời giải tại:
8. Cho hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau của (O) và M là điểm thuộc
bán kính OA . Kẻ dây cung DE đi qua M, tiếp tuyến tại E cắt đường thẳng AB tại
F.
a.  Chứng minh rằng tam giác FME cân và MF2 = FA.FB.
b.  FD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng FM tiếp xúc với đường tròn
ngoại tiếp tam giác MDN.
Xem lời giải tại:
9. Trên (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa của các
cung AB, BC, AC. Gọi I là giao điểm của BP và AN, E là giao điểm của NM và AB, D
là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔBNI cân
b.  AE. BN = EB. AN
c.  EI / /BC
d. 
AN
BN
=
AB
BD
Xem lời giải tại:
10. Cho (O) có đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn sao cho 
sđ
⌢
AC = 220. Trên nửa đường tròn còn lại (không chứa điểm C) lấy điểm D chính
giữa 
⌢
AB và lấy điểm E sao cho sđ
⌢
BE = 560. Gọi I là giao điểm của BD và CE, K là
giao điểm của BE và CD, H là giao điểm của AB và CD.
a.  Tính 
^
BIC,
^
BKC
b.  Chứng minh ΔKBH cân
c.  Chứng minh BO. EK = BE. OH.
Xem lời giải tại:
11. Cho ΔABC đều, nội tiếp (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. Gọi M là
giao điểm của AB và CI, N là giao điểm của AC và BI. Chứng minh:
a.  BC2 = BM. CN
b. 
^
AIN có số đo không đổi.
Xem lời giải tại:
12. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Biết 
AE. EC = BE. ED. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Xem lời giải tại:
13. Cho hình vuông ABCD, điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C và vuông
góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F, tia CM cắt đường thẳng AD tại
N. Chứng minh:
a.  Các tứ giác AMCF, ANEC nội tiếp đường tròn
b.  CM + CN = EF
Xem lời giải tại:
14. Chứng minh rằng nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì 
AB. CD + AD. BC = AC. BD.
Xem lời giải tại:
15. Cho ΔABC, Aˆ = 900. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ một đường thẳng
vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a.  Tứ giác ADBC nội tiếp
b. 
^
ADH có số đo không đổi khi E di động giữa A và B
c.  Khi E di động giữa A và B thì BA. BE + CD. CE không đổi.
Xem lời giải tại:
16. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax,
By với nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O cắt Ax, By lần lượt tại C và
D. Hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = R2
b.  ΔCDE cân
c.  CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
17. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC (B nằm
giữa A và C) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh:
a.  AT2 = AB. AC
b.  AB. AC = AH. AO
c.  Tứ giác OHBC nội tiếp.
Xem lời giải tại:
18. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cố định (B nằm giữa A và C). Một đường tròn
(O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D (M nằm
trên cung nhỏ BC). Tia AN cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là F. Hai dây
BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh:
a.  Tứ giác DEFN nội tiếp
b.  AD. AE = AF. AN
c.  Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
19. Cho đường tròn (O; R), đường kính ND. Lấy A sao cho N là trung điểm của
AO. Từ A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Tia CN
cắt AB tại điểm M. Chứng minh:
a.  Tứ giác ABOC nội tiếp
b.  MB2 = MC.MN
c.  AC // BD
d.  Tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích hình thoi đó.
Xem lời giải tại:
20. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại
I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD
tại F. Chứng minh:
a.  BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b.  AE. AF = AC2.
c.  Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc
một đường thẳng cố định.
Xem lời giải tại:
21. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoài
đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dây
AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại
K.
a.  Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
b.  Chứng minh CB. CA = CK. CD
c.  Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của ΔAIB.
Xem lời giải tại:
22. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB
(CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại
điểm thứ hai là M.
a.  Chứng minh ΔSMA  ∼ ΔSBC.
b.  Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.Chứng minh
BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c.  Chứng minh: OK. OS = R2.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC, Aˆ = 900, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường
tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
a.  ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp
b.  NM là tia phân giác của 
^
ANI
c.  BM. BI + CM. CA = AB2 + AC2.
Xem lời giải tại:
24. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn
BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các
tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các
cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
a.  Chứng minh rằng: DE // BC
b.  Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c.  Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức: 
1
CQ
+
1
CF
=
1
CE
Xem lời giải tại:
25. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O
đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông
góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K ≠ T). Đặt OB
= R.
a.  Chứng minh OH. OA = R2.
b.  Chứng minh TB là phân giác của 
^
ATH.
c.  Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của
đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ΔTED cân.
d.  Chứng minh 
HB
HC
=
AB
AC
Xem lời giải tại:
26. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến AM,
AN với (O). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MN
cắt AM tại B, cắt AN tại C. Gọi I là giao điểm của AO với (O).
a.  Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ΔAMN
b.  Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang cân
c.  Chứng minh MA.MB = R2
d.  Lấy D thuộc cung nhỏ MN. Vẽ tiếp tuyến qua D của (O) cắt AM, AN lần lượt tại
P và Q. Chứng minh rằng BP. CQ =
BC2
4
.
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C trên đường tròn (C không
trùng A, B) dựng một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với AB tại
D. Các dây CA, CB cắt đường tròn (O’) tại lần lượt tại E, F. Chứng minh:
a.  EF là đường kính của đường tròn (O’)
b.  CD là tia phân giác của 
^
ACB và đường thẳng CD luôn đi qua một điểm K cố
định
c.  Tích CK. KD không đổi.
Xem lời giải tại:
28. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm D trên cung BC không chứa A.
Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. 
BC
DH
=
AC
DI
+
AB
DK
b.  H, I, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại: