Phương trình tham số của đường thẳng + Phương trình đường tròn lớp 10

Hoàn thành ngày 17/02/2015
Thân tặng
GV: Hà Quang Nhị
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ đgl vtcp của nếu giá của song song hoặc trùng với 
 có phương trình tham số là: 
2. Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng 
3. Nếu có vtcp thì có hệ số góc là 
Chú ý: nếu và thì pt có thể viết lại là:
 phương trình này đgl phương trình chính tắc của đường thẳng (trường hợp hoặc thì không có pt chính tắc)
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ đgl vtpt của đường thẳng nếu giá của vuông góc với 
 có phương trình tổng quát là: 
2. Muốn tìm một điểm thuộc thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt của sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)
3. Nếu có thì có là hoặc 
Bài tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua và có vtcp 
b) Qua gốc tọa độ O và có vtcp 
c) Qua và có vtpt 
d) Qua 
e) Qua và có hệ số góc 
f) Qua và song song với đường thẳng d có pt: 
g) Qua và vuông góc với đường thẳng d có pt: 
giải
a) có phương trình tham số là: 
và phương trình chính tắc của là: 
b) có phương trình tham số là: 
c) có vtpt có vtcp là 
 có phương trình tham số là: 
M
N
d) qua nên có vtcp là 
 nên có phương trình tham số là: 
Chú ý: qua nên có vtcp là hoặc ; khi viết ptts thì đi qua điểm M hoặc điểm N đều được.
e) có hệ số góc nên có vtcp là 
 nên có phương trình tham số là: 
f) có vtpt là 
∆
d
 song song với đường thẳng d có pt: nên có vtpt là: có vtcp là: 
 nên có ptts là: 
g) có vtpt là 
d
∆
 vuông góc với đường thẳng d có pt: nên có vtcp là: 
 nên có ptts là: 	
Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng này cũng chính là vtcp (vtpt) của đường thẳng kia.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng này chính là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia.
Bài tập 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Qua và có vtpt 
Qua và có vtcp 
Qua 
Qua và có hệ số góc 
Qua và song song với đường thẳng 
Qua và vuông góc với đường thẳng 
 Qua 
Giải
a) qua và có vtpt nên có phương trình tổng quát là:
b) có vtcp có vtpt là 
Phương trình tổng quát của là: 
c) qua nên có vtcp là có vtpt là 
Phương trình tổng quát của là: 
d) Cách 1: có hệ số góc nên phương trình có dạng: 
 qua nên: 
Vậy pt là: hay 
Chú ý: Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: 
Cách 2: qua và có hệ số góc nên pt là:
e) Cách 1: song song với đường thẳng có vtpt là 
Phương trình tổng quát của là: 
Cách 2: song song với đường thẳng nên phương trình có dạng: 
 qua điểm nên: 
Vậy phương trình tổng quát của là: 
f) Cách 1: vuông góc với đường thẳng nên có vtcp là: 
 có vtpt là 
Phương trình tổng quát của là: 
Cách 2: vuông góc với đường thẳng nên phương trình có dạng: 
 qua điểm nên: 
Vậy phương trình tổng quát của là: 
Chú ý: Đường thẳng (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên pt có dạng: (với d là hệ số ta cần xác định)
Đường thẳng (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên pt có dạng: (với d là hệ số ta cần xác định)
g) đi qua nên có vtcp là có vtpt là: 
Phương trình tổng quát của là: 
Hoặc: Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn: 
Bài tập 3: Cho tam giác ABC với . Viết phương trình tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác ABC; đường trung trực của cạnh AB.
Giải
Phương trình cạnh AB:
Đường thẳng AB đi qua nên có vtcp là đường thẳngcó vtpt là: 
Phương trình tổng quát của AB là: 
Phương trình đường trung tuyến AM:
M là trung điểm của BC nên 
Đường trung tuyến AM đi qua nên AM có vtcp là có vtpt là 
Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là:
Phương trình đường cao AH:
Đường cao AH đi qua và có vtpt 
Phương trình tổng quát của đường cao AH là: 
Phương trình đường trung trực của AB:
Gọi K là trung điểm của AB nên 
Gọi là đường trung trực của AB đi qua điểm và có vtpt 
Phương trình tổng quát của là: 
Bài toán: Tìm hình chiếu của điểm A trên đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆
Cách 1:
Bước 1: Viết pt đường thẳng d đi qua A và d vuông góc với ∆
Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆. Khi đó 
Bước 3: là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì tọa độ 
Bước 2: Do nên tọa độ H
A’
∆
A
H
Bước 3: là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: 
Gọi là hình chiếu của điểm A trên ∆ 
Khi đó 
 (1)
 cùng phương với 
Do đó: (2)
Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Bài tập 4: Cho đường thẳng và điểm 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên 
b) Tìm điểm là điểm đối xứng của qua 
Giải
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên 
Đường thẳng AHpt AH có dạng: 
AH đi qua A nên: 
Vậy phương trình AH là: 
+ 
Tọa độ H là nghiệm hệ: 
b) là điểm đối xứng của qua là trung điểm của 
Bài toán: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua I
+ Bước 1: Lấy một điểm A thuộc ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
+ Bước 2: Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A’ và song song với 
A’
d1
A
d
I
Ÿ
Bài tập 5: Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I.
Giải
Dễ thấy ; gọi là điểm đối xứng với A qua I suy ra 
Vì nên phương trình có dạng: 
 qua nên: 
Vậy pt đường thẳng là: 
CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Với cho dưới dạng tổng quát: 
Để chuyển về dạng tham số ta thực hiện theo các bước sau:
a) có vtpt có vtcp là: 
b) Lấy một điểm A thuộc (cho x tìm y hoặc cho y tìm x)
c) Viết pttq của với đi qua A và có vtpt 
2. Với cho dưới dạng tham số: 
+ Để chuyển về dạng tổng quát ta khử t từ hệ ta sẽ nhận được pt tổng quát hoặc từ pt tham số ta lấy một điểm thuộc và tìm được vtcp vtpt rồi viết pt tổng quát của 
+ Để chuyển về dạng chính tắc ta rút t từ hệ sẽ nhận được pt chính tắc
3. Với cho dưới dạng chính tắc: 
+ Để chuyển về dạng tổng quát: ta đơn giản pt trên sẽ nhận được pt tổng quát
+ Để chuyển về dạng tham số ta sử dụng tham số trung gian t sẽ nhận được ptts
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
@Cho hai đường thẳng có phương trình:
Trong trường hợp đều khác 0 ta có:
+ cắt , nếu cắt thì tọa độ giao điểm của là nghiệm của hệ:
+ 
+ 
@ Cho hai đường thẳng có phương trình:
Ta xét hệ: 
a) Nếu hệ có một nghiệm thì d cắt d’
b) Nếu hệ vô nghiệm thì 
c) Nếu hệ có vô số nghiệm thì 
Bài tập 6: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Giải
a) Ta có: vậy d cắt d’
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ: 
b) Ta có: Vậy d//d’
c) Ta có: vậy 
d) Xét hệ: 
Vậy d cắt d’ tại 
e) Hướng dẫn: đưa d và d’ về cùng một dạng (tham số hoặc chính tắc rồi làm tương tự như trên)
Bài toán: Tìm trên đường thẳng d: điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất, với các điểm A và B cho trước và không thuộc đường thẳng d
ª Xác định 
[ Khả năng 1: <0 thì A,B khác phía đối với d
Ta luôn có 
Do đó đạt được khi A,B,M thẳng hàng
[ Khả năng 2: thì A,B cùng phía đối với d
+ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d
+ Ta có 
Ÿ
Ÿ
Ÿ
A
B
H
A’
M
d
Ÿ
Do đó đạt được khi A’, B, M thẳng hàng
A
B
M
d
M
Ÿ
Ÿ
Bài tập 7: Cho hai điểm và đường thẳng d có pt: . Tìm trên đường thẳng một điểm M sao cho nhỏ nhất.
Giải
Ta có: A, B khác phía đối với d
Ta có: 
Do đó nhỏ nhất thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB là: 
Tọa độ M là nghiệm hệ: 
Bài tập 8: Cho đường thẳng . Tìm điểm và cách điểm một khoảng bằng 5
Giải
Theo giả thiết 
. Vậy có hai điểm M cần tìm là: 
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước
Cho đường thẳng và điểm . Khi đó khoảng cách từ điểm M cho trước đến ∆ được tính bởi công thức: 
2) Phương trình hai đường phân giác
Cho hai đường thẳng cắt nhau: ; . Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi là:
3) Lưu ý:
+ Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về dạng tổng quát
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Bài tập 9: Tìm khoảng cách từ điểm đến các đường thẳng sau:
a) 
b) 
Giải
a) 
b) 
Bài tập 10: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 
Giải
Lấy 
Vậy 
Bài tập 11: Tìm những điểm nằm trên đường thẳng và có khoảng cách từ đó đến bằng 
Xét . Vậy 
Theo giả thiết: 
Vậy có hai điểm M cần tìm là: 	
Bài tập 12: Cho . Lập phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều M,N
Giải
Gọi là vtpt của 
Phương trình : 
 cách đều M,N nên: 
Trường hợp 1 chọn a=3,b=2 ta được pt đường thẳng 
Trường hợp 2 chọn a=1,b=0 ta được pt đường thẳng 
Bài tập 13: Cho 
a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Giải
a) Vì: nên d cắt d’
b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
Bài tập 14: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của biết 
Giải
+ Phương trình cạnh AB: 
+ Phương trình cạnh AC: 
+ Phương trình hai đường phân giác của góc A: 
+ Xét đường phân giác 
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của : 
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của : 
Vì nên B và C nằm cùng phía đối với là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: 
Bài tập 15: Cho tam giác ABC với . Xét xem cắt cạnh nào của tam giác ABC
Giải
 	vậy cắt cạnh AC,BC; không cắt cạnh AB
GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng . Khi đó góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
 trong đó: là các vtpt của 
Chú ý: 
Nếu: thì 
Bài tập 16: Tìm góc hợp bởi hai đường thẳng sau:
a) 
b) 
Giải
a) d có vtpt là ; d’ có vtpt là 
Bài tập 17: Cho đường thẳng . Lập phương trình đường thẳng d đi qua và tạo với một góc 
Giải
+ Gọi là vtpt của của d
Phương trình đường thẳng có dạng: 
+ có vtpt là 
+ Vì góc hợp bởi d và là 450 nên: 
+ Cho b=1
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là: 
Bài tập 18: Cho điểm . Viết pt đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M
Hướng dẫn: + Giả sử d là đường thẳng cần tìm và d lần lượt cắt hai trục Ox,Oy tại 
+ Tam giác ABM vuông cân tại đỉnh M
+ Từ đó ta có hệ pt: rút (1) thế vào (2) suy ra pt vn
Vậy không tồn tại đường thẳng d cần tìm.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Viết phương trình tham số, pt tổng quát của trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua và có vtpt 
b) Qua 
c) Qua 
d) Qua và có hệ số góc 
2. Cho tam giác ABC với . Viết phương trình các cạnh AB, BC, CA, đường trung tuyến BM, đường cao BK của tam giác ABC; đường trung trực của đoạn AB
3. Cho đường thẳng và điểm 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên 
b) Tìm điểm đối xứng của điểm A qua 
ĐS: ; 
4. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ĐS: a) d cắt d’; 	b) d//d’	c) dd’	d) d cắt d’	e) dd’
5. Cho đường thẳng . Tìm điểm với 
ĐS: 
6. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng 
ĐS: 
7. Cho điểm . Hãy viết phương trình đường thẳng:
a) Đi qua A và song song với 
b) Đi qua A và vuông góc với 
ĐS: a) 	b) 
8. Trên đường thẳng , tìm điểm M cách đều hai điểm 
ĐS: 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình đường tròn:
Phương trình đường tròn tâm bán kính R: 
Nhận dạng phương trình đường tròn:
Phương trình với điều kiện là phương trình đường tròn tâm , bán kính 
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Giải
+ Đường tròn có tâm ; bán kính 
+ Gọi là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt 
Phương trình 
+ Để là tiếp tuyến của đường tròn, điều kiện cần và đủ là tức là:
R
∆
M
Ÿ
Ÿ
+ Trường hợp , chọn ta được phương trình tiếp tuyến 
Trường hợp , ta có thể chọn (thường chọn a là hệ số của b hoặc chọn b là hệ số của a) ta được phương trình tiếp tuyến 
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, ta thường dung điều kiện sau:
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn.
Tuy nhiên, để viết phương tình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M cho trước thuộc đường tròn, ta sẽ giải theo cách được minh họa bởi bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho đường tròn và điểm 
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường tròn đã cho.
I
∆
M
Ÿ
Ÿ
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Giải
a) Thay tọa độ của điểm M vào vế trái của 
phương trình đường tròn ta được: 
Vậy điểm M nằm trên đường tròn
b) Gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
 là đường thẳng đi qua và nhận làm vtpt
Phương trình của là: 
Từ hai bài toán trên, để nhận dạng đề yêu cầu viết pttt của đường tròn tại điểm M hay đi qua điểm M ta chỉ cần thế tọa độ điểm M vào pt đường tròn, nếu tọa độ điểm M thỏa mãn pt đường tròn thì nó thuộc bài toán 2 và ngược lại.
Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm tâm& bán kính của đường tròn
Cách 1: Đưa pt về dạng , nếu thì pt đã cho là phương trình đường tròn tâm ; bán kính 
(lưu ý hệ số đứng trước luôn tỉ lệ )
Cách 2: Đưa pt về dạng khi đó pt đã cho là pt đường tròn tâm , bán kính (cách này các em phải sử dụng thành thạo hằng đẳng thức )
Bài tập 1: Xét xem các phương trình sau có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính:
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải
a) Phương trình có dạng 
với 
Ta có: 
Vậy pt đã cho là pt đường tròn
Đường tròn có tâm , bán kính 
b) Phương trình có dạng với 
Ta có . Vậy pt đã cho không là pt đường tròn
c) 
Phương trình có dạng với 
Ta có: 
Vậy pt đã cho là pt đường tròn
Đường tròn có tâm , bán kính 
d) Phương trình đã cho không là pt đường tròn. (hệ số của khác nhau)
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Cách 1: Dùng tâm và bán kính
Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn 
Viết pt đường tròn : 
Cách 2: Dùng phương trình tổng quát (dạng khai triển)
Phương trình đường tròn có dạng: 
Lập hệ pt với ẩn số là a,b,c
Giải hệ tìm a,b,c rồi suy ra pt đường tròn
Chú ý: 
+ Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng 
+ Cho đường tròn tâm bán kính 
 tiếp xúc với Ox
 tiếp xúc với Oy
Bài tập 2: Viết pt đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) có tâm ; bán kính 
b) có tâm và đi qua điểm 
c) có tâm và tiếp xúc với đường thẳng 
d) có đường kính là với 
e) đi qua 3 điểm 
f) có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp xúc với hai trục tọa độ
g) đi qua điểm và tiếp xúc với các trục tọa độ.
h) đi qua điểm và tâm nằm trên 
Giải
a) có tâm ; bán kính 
Phương trình đường tròn 
b) có tâm và bán kính 
Phương trình đường tròn 
c) có tâm và bán kính 
Phương trình đường tròn 
d) có tâm I là trung điểm của đoạn AB nên và bán kính 
Phương trình đường tròn 
Nhận xét: 
e) Cách 1: Phương trình đường tròn có dạng: với điều kiện 
 đi qua nên: 
 đi qua nên: 
 đi qua nên: 
Giải hệ: 
Vậy có phương trình là: 
Cách 2: Gọi là tâm của đường tròn 
 đi qua 3 điểm A,B,C nên ta có: 
Giải hệ: ta được 
Bán kính 
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình 
Để lập pt đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) ta cần cân nhắc lựa chọn một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Giả sử pt đường tròn có dạng: (1) với điều kiện 
Từ đk A,B,C thuộc ta được hệ 3 pt với 3 ẩn a,b,c
Thay a,b,c vào (1) ta được pt đường tròn 
Hướng 2: Dựa vào dạng đặc biệt của tam giác:
+ Nếu vuông tại A thì: 
+ Nếu đều cạnh bằng a thì: 
f) + Phương trình đường tròn tâm bán kính R có dạng:
+ 	(1)
+ tiếp xúc với Ox,Oy
+ Với thay vào (1) ta được 
Phương trình đường tròn cần tìm là: 
Với thay vào (1) ta được: 
Phương trình đường tròn cần tìm là: 
g) + Phương trình đường tròn tâm bán kính R có dạng:
+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy
+ Trường hợp 1: 
Khi đó pt : 
Điểm 
pt vô nghiệm
+ Trường hợp 2: 
Khi đó pt 
Điểm 
Với ta được pt 
Với ta được pt 
h) Giả sử pt đường tròn có dạng: với đk: 
Tâm 
Giải hệ (thỏa)
Vậy pt đường tròn 
Cách 2: Sử dụng để tìm a,b; bán kính R=IA
Bài tập 3: Cho hai đường thẳng . Lập pt đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng và có tâm thuộc đường thẳng 
Giải
+ Giả sử đường tròn có tâm và bán kính R
+ 
+ Đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau suy ra tâm I thuộc đường phân giác của góc tạo bởi 
Phương trình hai đường phân giác của góc tọa bởi là:
+ Nếu 
Giải hệ tạo bởi (1) và (2) ta được 
Phương trình đường tròn 
+ Tương tự .
Phương trình đường tròn 
Bài tập 4: Cho hai đường thẳng . Lập pt đường tròn có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với hai đường thẳng 
Giải
+ Giả sử đường tròn có tâm và bán kính R
+ d1//d2 
+ tiếp xúc với 
+ 
+ Giải hệ tạo bởi (1) và (2) ta được 
+ Vậy đường tròn 
Bài tập 5: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm 
Giải
Vì tiếp xúc với tại điểm suy ra tâm I thuộc đường thẳng có pt cho bởi: 
 tiếp xúc với 
Khi đó pt của đường tròn có dạng: 
Điểm 
Vậy phương trình đường tròn 
Bài tập 6: Cho đường tròn . Lập pt đường tròn đối xứng với đường tròn qua điểm 
Giải
Đường tròn có tâm bán kính 
Gọi là tâm của đường tròn 
Vì đối xứng với nhau qua điểm là trung điểm của 
. Phương trình đường tròn 
Bài tập 7: Cho đường tròn . Lập phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua đường thẳng 
Giải
+ Đường tròn có tâm 
+ Gọi là tâm của đường tròn
Vì và đối xứng qua suy ra: 
+ Phương trình đường tròn 
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn có tâm , bán kính 
+ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm 
Ta có đi qua điểm M và nhận làm vtpt
+ Các trường hợp còn lại dùng điều kiện tiếp xúc:
Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng 
Bài tập 8: Cho đường tròn 
a) Tìm tâm và bán kính của 
b) Viết pt tiếp tuyến của tại điểm 
c) Viết pt tiếp tuyến của đi qua điểm 
d) Viết pt tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
e) Viết pt tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Giải
a) có tâm bán kính 
b) Gọi là tiếp tuyến cần tìm
 đi qua và nhận làm vtpt
Phương trình của là: 
c) + Gọi là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt 
R
∆
M
Ÿ
Ÿ
Phương trình 
+ tiếp xúc với tức là:
+ Chọn trở thành: 
+ Với , pttt phải tìm là: 
 Với , pttt phải tìm là: 
d) phương trình có dạng: 
 tiếp xúc với 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 
e) phương trình có dạng: 
 tiếp xúc với 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài tập 9: Cho đường tròn . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc bằng 2 .
Giải
+ Đường tròn có tâm 
+ Gọi là tiếp tuyến của đường tròn
+ Đường thẳng có hệ số góc bằng 2 nên pt có dạng: 
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài tập 10: Cho đường tròn . Lập pt tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến tạo với một góc bằng 
Giải
+ Giả sử tiếp tuyến có phương trình: (1)
 là tiếp tuyến của 
+ tạo với một góc 
+ Với 
Với thay vào (1) ta được: 
Với thay vào (1) ta được: 
+ Với , giải tương tự
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Tâm bán kính 
ĐS: 
b) Đi qua điểm và tâm là gốc tọa độ
ĐS: 
c) Đường kính với và 
ĐS: 
d) Đi qua điểm và tâm I nằm trên trục tung.
ĐS: 
e) Đi qua ba điểm 
ĐS: 
f) Tâm và tiếp xúc với đường thẳng 
ĐS: 
g) Tâm và đi qua điểm 
ĐS: 
h) Tâm và tiếp xúc với đường thẳng 
ĐS: 
i) Đi qua điểm và tiếp xúc với hai trục tọa độ
ĐS: 
j) Đi qua hai điểm và tiếp xúc với trục Ox
ĐS: 
k) Đi qua điểm và tâm I nằm trên trục hoành Ox
ĐS: 
l) Đi qua điểm và tâm I nằm trên 
ĐS: 
m) Đi qua 3 điểm (gợi ý: tam giác ABC vuông tại A)
ĐS: 
n) Đi qua 3 điểm (gợi ý tam giác ABC đều)
ĐS: 
o) đi qua điểm và tiếp xúc với các trục tọa độ.
ĐS: 
Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến song song với 
b) Tiếp tuyến vuông góc với 
c) Tiếp tuyến đi qua điểm 
ĐS: a) 
b) 
c) 
Bài tập 4: Cho điểm . Lập pt tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm M
a) 
b) 
ĐS: a) ; 	b)