Phương trình lượng giác

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG	 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb	 cos2a = cos2a – sin2a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb	 = 2cos2a –1
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb	= 1 – 2sin2a
 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb	 sin2a = 2.sina.cosa
 tan(a + b) = 	tan2a = 
 tan(a - b) = 
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC	cos2a = 
	 sin2a = 
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
	cosa + cosb = 2.cos .cos 
 cosa - cosb = -2.sin .sin 
	 sina + sinb = 2.sin .cos 
 sina - sinb = 2.cos .sin 
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
rad
-p
-
-
-
-
-
-
-
0
p
độ
-180o
-150o
-135o
-120o
-90o
-60o
-45o
-30o
0
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
sin
0
-
-
-
-1
-
 -
-
0
1
0
cos
-1
-
-
- 
0
1
0
- 
-
-
-1
tan
0
1
||
-
-1
-
0
1
||
-
-1
-
0
cot
||
1
0
-
-1
-
||
1
0
-
-1
-
||
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 1.Phương trình sinx=a.( -1£ a £ 1)
sinx = a Û; k Î Z +sinx = sina Û; k Î Z ( a = sina)
 sinx = 0 Û x = kp; k Î Z
 sinx = 1 Û x = + k2p; k Î Z
 sinx = -1 Û x = -+ k2p; k Î Z
2.Phương trình cosx=a.( -1£ a £ 1)
 cosx = a Û; k Î Z +cosx = cosa Û; k Î Z ( a = cosa)
 cosx = 0 Û x = + kp; k Î Z
 cosx = 1 Û x = k2p; k Î Z
 cosx = -1 Û x = p+ k2p; k Î Z
3.Phương trình tanx=a.
 TXĐ: 
 + +
4.Phương trình cotx=a.
 TXĐ: 
 + +
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ()
 đặt: 
 phương trình trở thành: 
 *Chú ý 
+Phương trình có nghiệm khi 
+Nếu thì:
2.Phương trình : (1)
 +Nếu a = 0: 
 +Nếu c = 0: 
 +Nếu : 
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a) b) 
c) d) 
 Giải.
a) 
 b) 
c) 
 sin = 1 
 d) 
 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 
 Bài 2.Giải các phương trình:
 a) 
b) 
c) 
 sin = - 1 
 d) 
e.
f.
g.
 h. 
 i.
 Bài 3.Giải các phương trình:
 a. 	 b.
 c.
 d.
 e.	 f. 
 g.	 h.
 i.	 j. 
 k.
 Bài 4.Giải các phương trình:
 a.	 b.
 c.	 d.
 e.	 f.
 Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau :
a) b) 
c) d) 
 Baøi giaûi :
a) 
 b) 
c) 
 Sin = 1 
 d) 
 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 
Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a) 
b) 
 c) Sin = - 1 
d) 
Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau: 
a. b. c. d. 
a)
b)
c)
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
d) 
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
 Câu 6(3đ) : Giải Phương trình 
a. 	 b. 
c. cos2x + sinx +1=0
a/ 
b 
 c. 
Câu 7
 a.	 b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 
 c.2 cos2x -3cosx +1 =0 
Đáp án
a 
b 
c. 
câu 8. a. Giải các Phương trình sau:
 b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 
 a/ 
b/ (0,25)
 (0,25)
 (0,25) 
 (0,25) (0
Câu9: Giải các Phương trình sau
 a. 
 b. 
 c. 
 Đs a. 
 b. x=k3600 
 c. 	 
Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình 
	a. tan(x +200) =
 b. sinx + sin2x = cosx + cos3x 
 c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 
DS
 a. x=100 +k1800
 b. 	 c. 
Câu 11(2đ) : Giải Phương trình 
a. 	 b. 
1a) 
1b) 
 (0,25) (0,25*2)
Câu 12(2đ) a. b.sin(2x + ) = - 
Đáp án : a. 
 b. 
Câu 13(2đ) a. b.cos(2x + ) = - c. 2
Đáp án : a. 
 b. 
 c.
 	 h.
Phương trình asinx + bcosx = c
Bài 1. 
Bài 2. 
 , 
Bài 3. 
Bài 4. (1)
 Điều kiện: 
Bài 5. (*)
 	Điều kiện: 
C2 
Bài 6. 
Bài 7. 
Bài 8. 
Bài 9. 
Bài 10. 
Ta có: 
Đặt: 
Phương trình trở thành: 
loại
Bài 11. 
Bài 12. (*) Điều kiện: 
Vậy,phương trình có nghiệm: 
Bài 13. 
Bài 14. 
Bài 15. (*) 	 Điều kiện: 
Vậy,phương trình có nghiệm là: 
Bài 16. 
Vậy,phương trình có nghiệm là: 
Bài 17. 
Bài 18. 
Bài 19.Cho phương trình: (*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.
 a. (*)có nghiệm khi: 
b.Khi m = -1 phương trình trở thành: 
Bài 20. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Giải.
 Ta có: 
	 	(**)
 a. khi phương trình trở thành: 
 b.Phương trình có nghiệm khi:
Bài 21.Giải các phương trình:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
g. 	h. 
i. 	j. 
k. 	l. 
m. 	n. 
p. 	q. 
Bài 22. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi m = 1
 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 23. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 24. Cho phương trình: 	(*)
 a.Giải phương trình khi 
 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.
	PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. (1)
Điều kiện: 
Ta có: 
Bài 2. 
	 (*)
Cách 1: 
Cách 2: 
Cách 3: 
Cách 4: 
Bài 3. 
Bài 4. 	(1)
	Điều kiện: 
Bài 5. 	(*)
	Điều kiện: 
Bài 6. 	(*)
	Điều kiện: 
 Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: 
Bài 7. 
Bài 8. 
Bài 9.	
Bài 10. 	(1)
	Điều kiện:	
 Đặt: phương trình trở thành: 
 Vậy,phương trình có nghiệm: 
Bài 11. 	(*)
	Điều kiện: 
 Vậy,phương trình có nghiệm: 
Bài 12. 
Bài 13. 	(*)
Bài 14. 	(*)
Ta thấy: 
Thay vào phương trình (*) ta được: 
 không thỏa mãn với mọi k
Do đó không là nghiệm của phương trình nên:
 Vậy,phương trình có nghiệm: ,
Bài 15. 	(1)
 Điều kiện: 
 Ta có: 
 Vậy,phương trình có nghiệm: ,
Bài 16. 
Đặt: phương trình trở thành:
Vậy,phương trình có nghiệm: , 
Bài 17. 	(1)
 Điều kiện: 
C2: Đặt: 
Bài 18. 	(1)
 Điều kiện: 
 Vậy,phương trình có nghiệm: 
Bài 19. 	(*)
 Điều kiện: 
 Ta có: 
 Vậy,phương trình có nghiệm: 
Bài 20. 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:
1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:
 1.1 Kiến thức cơ sở:
Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:
	Công thức nhân đôi
	Công thức hạ bậc
	Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác
Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau
;	
;	 
;	 
 1.2 Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)
Giải phương trình	
Lời giải:
	Điều kiện:
Khi đó	 
 (do )
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)
Giải phương trình	
Lời giải: 	Điều kiện 
Ta có 	
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải: 	
 Điều kiện	
Khi đó 
Đối chiếu với điều kiện ta được	
Vậy phương trình có nghiệm là 
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải: 
 Điều kiện	
Nhận thấy , do đó phương trình đã cho trở thành
Đối chiếu điều kiện ta được 
Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
Đối chiếu điều kiện ta được 
	Các bài tập tương tự
	1/ ;
	2/ (2003_A);
	3/ (2003_B);
	4/ (2003_D);
	5/ (2004_B).
2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập
 2.1 Kiến thức cơ sở
	+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác.
	;	;
	;	
	+ Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
 2.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
Với thì 
Với thì 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)
Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
Giả sử , khi đó (vô lí)
Do đó phương trình tương đương với 
Vậy phương trình có nghiệm là 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó
 thoả mãn điều kiện, do đó ta được
Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vô lí)
Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.
Giải (2) ta được , 
(với )
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó 
Giả sử , thay vào (*) ta được (vô lí)
Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.
Giải (*) ta được 
Ví dụ 5: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
phương trình tương đương với 
+ Đối chiếu điều kiện (1)
Giả sử 	
Do nên 
Lại do nên 
Từ đó 	. Suy ra với thoả mãn phương trình
+ Đối chiếu điều kiện (2)
Giả sử 	
Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại thoả mãn (3). 
Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 	
Các bài tập tương tự
1/ ;
2/ ;
3/ 
4/ 
5/ 
3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)
 3.1 Kiến thức cơ sở
+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG 
	 được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG;
	 được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.
+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện. 
 3.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)	
Giải phương trình
O
y
x
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó phươngtrình đã cho trở thành 
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)
Giải phương trình	
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó phương trình đã cho trở thành
o
y
x
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải phương trình	
Lời giải: Điều kiện 
Khi đó 
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác 
Ta được nghiệm của phương trình là
O
x
y
.
Các bài tập tương tự
1/ ;	
2/ ;	
3/ ;	
4/ ;
5/ (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A).
II. Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế.	
Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau
	1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?
	Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả. Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả. 
	2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày. Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?
	Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác. Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là
	3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?
	Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán.
	Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3. Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhauthì phương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh. Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này).
III. Hướng phát triển chuyên đề:
Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện. Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011
[ĐH A02] Tìm :
[ĐH B02] 
[ĐH D02] Tìm : 
[Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc 
[Dự bị 2 ĐH02] 
[Dự bị 3 ĐH02] 
[Dự bị 4 ĐH02] 
[Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : 
a) Giải phương trình với 	b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.
[Dự bị 6 ĐH02] 
[ĐH A03] 
[ĐH B03] 
[ĐH D03] 
[Dự bị 1 ĐH A03] 
[Dự bị 2 ĐH A03] 
[Dự bị 1 ĐH B03] 
[Dự bị 2 ĐH B03] 
[Dự bị 1 ĐH D03] 
[Dự bị 2 ĐH D03] 
[ĐH B04] 
[ĐH D04] 
[Dự bị 1 ĐH A04] 
[Dự bị 2 ĐH A04] 
[Dự bị 1 ĐH B04] 
[Dự bị 2 ĐH B04] 
[Dự bị 1 ĐH D04] 
[Dự bị 2 ĐH D04] 
[ĐH A05] 
[ĐH B05] 
[ĐH D05] 
[Dự bị 1 ĐH A05] Tìm 
[Dự bị 2 ĐH A05] 
[Dự bị 1 ĐH B05] 
[Dự bị 2 ĐH B05] 
[Dự bị 1 ĐH D05] 
[Dự bị 2 ĐH D05] 
[ĐH A06] 
[ĐH B06] 
[ĐH D06] 
[Dự bị 1 ĐH A06] 
[Dự bị 2 ĐH A06]
[Dự bị 1 ĐH B06] 
[Dự bị 2 ĐH B06] 
[Dự bị 1 ĐH D06] 
[Dự bị 2 ĐH D06] 
[ĐH A07] 
[ĐH B07] 
[ĐH D07] 
[Dự bị 1 ĐH A07] 
[Dự bị 2 ĐH A07] 
[Dự bị 1 ĐH B07] 
[Dự bị 2 ĐH B07] 
[Dự bị 1 ĐH D07] 
[Dự bị 2 ĐH D07] 
[ĐH A08] 
[ĐH B08] 
[ĐH D08] 
[CĐ 08] 
[Dự bị 1 ĐH A08] 
[Dự bị 2 ĐH A08] 
[Dự bị 1 ĐH B08] 
[Dự bị 2 ĐH B08] 
[Dự bị 1 ĐH D08] 
[Dự bị 2 ĐH D08] 
[ĐH A09] 
[ĐH B09] 
[ĐH D09] 
[CĐ 09] 	
[ĐH A10] 
[ĐH B10] 	
[ĐH D10] 	
[ĐH A11] 
[DB A11] 
[ĐH B11] 
[ĐH D11] 
[DB D11] 
--------------------------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
Bài
Hướng dẫn giải
Kết qủa
1
A.2002
Tìm : (1)
Điều kiện : 
(1)
Vì 
Nên nghiệm của phương trình :
2
B.2002
3
D.2002
Tìm : (1)
Ta có : 
(1)
 Vì 
4
DB 1
2002
Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc : (1)
(1)
 (2) với 
Ta có : 
Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 
(2)
Đặt 
Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P)
1
1
o
Khảo sát hàm số : 
BBT 
Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên đoạn 
5
DB 2
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
6
DB 3
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
7
DB 4
2002
 (1)
Điều kiện : 
Ta có : 
(1)
8
DB 5
2002
Cho phương trình : 
a) Giải phương trình với 	
b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.
Giải.
a)Với , phương trình thành : (1)
vì : 
(1) 
b) 
 (2)
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm :
9
DB 6
2002
 (1)
Điều kiện : 
(1)
Vì : 
;
10
A2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
* 
 * 
 ( vô nghiệm ) 
11
B2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
12
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
So với điều kiện :
Nghiệm của (1) :
13
DB 1
A2003
 Điều kiện : 
14
DB 2
A2003
 Điều kiện : 
15
DB 1
B2003
* ; 
* 
16
DB 2
B2003
 (1)
Điều kiện :
(1)
Vì : 
Nên nghiệm của 
phương trình : 
17
DB 1
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1) 
18
DB 2
D2003
 (1)
Điều kiện : 
(1)
19
B2004
 Điều kiện : 
20
D2004
21
DB 1
A2004
22
DB 2
A2004
 (1) TXĐ : 
Chú ý : ; 
(1)
 (2)
Đặt : ; ,khi đó : 
 (3) ( nhận xét và suy ra : )
(3) 
23
DB 1
B2004
24
DB 2
B2004
 Điều kiện : 
(1) 
25
DB 1
D2004
26
DB 2
D2004
 (1)
Đặt với 
(1) 
Với 
27
A2005
28
B2005
29
D2005
30
DB 1
A2005
Tìm của : 
 (chia 2 vế cho 2)
Vì 
Vì 
31
DB 2
A2005
32
DB1
B2005
33
DB 2
B2005
 (1) 
 Điều kiện : 
(1)
34
DB 1
D2005
 (1) Điều kiện : 
(1) 
35
DB 2
D2005
Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến 
Ta có : 
Nghiệm của (1) : 
36
A2006
 (1) điều kiện : 
(1) 
vì : 
Nghiệm của (1)
37
B2006
 (1) 
Điều kiện : Ta có : 
(1)
38
D2006
39
DB 1
A2006
 (1)
 Ta có 
(1) 
40
DB 2
A2006
41
DB 1
B2006
 (1) 
 điều kiện : 
(1)
42
DB 2
B2006
; 
43
DB 1
D2006
44
DB 2
D2006
45
A2007
46
B2007
47
D2007
48
DB 1
A2007
 (1) điều kiện :
(1) 
49
DB 2
A2007
50
DB 1
B2007
51
DB 2
B2007
 (1) điều kiện :
(1)
52
DB1 
D2007
53
DB1 
D2007
 (1) điều kiện : 
(1)
54
A2008
 (1) 
Điều kiện : và 
(1)
Chú ý : 
(1)
55
B2008
56
D2008
57
CĐ
2008
58
DB 1
A2008
 (1) điều kiện :
(1)
59
DB 2
A2008
60
DB 1
B2008
61
DB 2
B2008
62
DB 1
D2008
63
DB 2
D2008
 (1) điều kiện : 
(1)
64
A2009
 (1) điều kiện : 
(1)
;
65
B2009
66
D2009
67
CĐ
2009