Phương pháp tích phân trong một số bài toán vật lý

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ
 Chuyên đề được chia làm 3 phần, ở mỗi phần có các dạng bài tập khác nhau minh hoạ một phần nào sự phong phú của phương pháp tích phân trong vật lý
Phần 1: Tích phân trong các bài toán chuyển động cơ học
Phần 2: Tích phân trong các bài toán tĩnh học
Phần 3: Tích phân trong các bài toán điện từ
I. Tích phân trong các bài toán chuyển động cơ học
Trong bài toán dạng này ta vận dụng định luật II Niutơn: , trong đó thường có thành phần lực phụ thuộc theo thời gian, toạ độ, vận tốc. Để giải ta viết hệ phương trình hình chiếu (thường chính là hệ phương trình vi phân).
Tuỳ bài toán ta biến đổi những đại lượng phụ thuộc theo thời gian thành dạng vi phân phù hợp để có thể phân ly biến số rồi tính tích phân.
Bài 1: Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu vo. Lực cản không khí tỉ lệ với vận tốc . 
a) Tính độ cao h vật đạt được.
b) Tính vận tốc của vật khi chạm đất
c) Tính thời gian rơi và so sánh thời gian này so với khi rơi trong chân không
Giải
a) Chọn chiều dương hướng lên gốc 0 trùng với vị trí ban đầu của vật. 
Cả khi đi lên và đi xuống pt chuyển động của vật là: 
Lấy tích phân 2 vế: 
b) Trong giai đoạn đi xuống 
c) Viết lại định luật II Niutơn: 
Gọi là thời gian khi đi lên: 
Tương tự ta tìm được thời gian khi đi xuống: 
Tổng thời gian rơi: 
ta có thể biến đổi thấy rằng . Có nghĩa là khi rơi trong không khí nó rơi xuống trước so với khi rơi trong chân không.
Nhận xét: Tuỳ theo câu hỏi ta viết gia tốc a thành dạng vi phân hoặc 
Bài 2: Vật có khối lượng m có thể chuyển động không 
ma sát trên mặt bàn nằm ngang. Trên bàn có một đĩa cố
định bán kính r, vật m nối với sợi dây và dây được quấn 
qua đĩa. Ban đầu truyền cho vật m vận tốc v0 tiếp tuyến 
với sợi dây và dùng tay nắm đầu kia của sợi dây điểu 
chỉnh sao cho vật m di chuyển trên vòng tròn bán kính 
R > r. Tìm vận tốc của vật m theo thời gian t
Giải
Sợi dây nối với vật m luôn là tiếp tuyến với vành nên
góc không đổi và 
Chia 2 vế: 
Hay: 
(Phân ly biến số 1 vế chỉ chứa v một vế chỉ chứa t)
Lấy tích phân 2 vế: 
	(với )
Bài 3: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực
a) Hãy biểu diễn góc theo thời gian t (có thể bằng công thức tính phân nếu cần)
b) Tính góc khi thanh rời khỏi tường
Giải
Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh được bảo toàn
	(1)
Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính a nên: 
Động năng quay quanh khối tâm: 
Thay vào (1) ta được:	 
b) Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương Ox:
 . Tại thời điểm thanh rời tường thì 
Toạ độ khối tâm theo phương x là:
Đạo hàm cấp 1 hai vế: 
Đạo hàm cấp 2 hai vế: 
Khi (2)
Từ (1) suy ra: 
Lấy đạo hàm 2 vế: 
Hay: 
Thay vào (2) ta có phương trình: 
Bài 4: Tích phân trong chuyển động quay của vật rắn
Một đĩa đồng chất bán kính R quay với tốc độ góc ban đầu . Đĩa quay xung quanh trục thẳng đứng trên mặt bàn nằm ngang. Biết hệ số ma sát giữa đĩa và mặt bàn là k. Hỏi đĩa quay được bao lâu thì dừng lại
Phân tích:
- Chia đĩa thành các vành tròn, ta tính Momen lực ma sát trên mỗi vành này sau đó lấy tích phân toàn mặt đĩa
Giải
Xét lớp đĩa có bán kính r và r + dr
 khối lượng: 
 Lực ma sát tác dung lên lớp đĩa này: 
 Lực ma sát tác dụng lên mỗi phần tử trên lớp đĩa này đều
có hướng tiếp tuyến với vành đĩa (cản trở chuyển động ) nên cách tay đòn của lực ma sát tác dụng lên mỗi phần tử đều bằng r
Momen lực ma sát tác dụng lên lớp đĩa này: 
Momen lực ma sát tác dụng lên cả đĩa: 
Phương trình chuyển động quay của đĩa: 
Khi đĩa dừng lại: 	
Nhận xét: Ở dạng này thường lực hoặc momen lực thay đổi theo khoảng cách đến trục quay. Ta chia nhỏ vật để tính lực vi phân hoặc momen lực vi phân, sau đó lấy tích phân trên toàn bộ vật.
Bài 5: Một quả cầu khối lượng m bán kính a lăn không trượt trên mặt của một khối trụ bán kính R được giữ cố định. 
a) Xác định góc để quả cầu vẫn còn lăn trên khối trụ
b) Tính vận tốc của tâm quả cầu khi nó bắt đầu rời khỏi khối trụ
Phân tích
- Xét chuyển động tịnh tiến của khối tâm quả cầu, ta lập hai phương trình liên quan đến và 
- Xét chuyển động lăn quanh khối tâm do momen lực ma sát liên quan đến 
- Do lăn không trượt nên có liên hệ giữa và 
- Khi rời khỏi bán cầu thì N = 0
Giải
Các lực tác dụng lên quả cầu: 
Xét chuyển động tịnh tiến của tâm quả cầu:
	(1)
	(2)
Xét chuyển động lăn quanh khối tâm của quả cầu
	(3)
Điều kiện để quả cầu lăn không trượt: 
Hay 	(4)
Từ (3) và (4) suy ra: 	(5)
Từ (5) và (1) suy ra: 
Ta có: 
Lấy tích phân hai vế:
Tại t = 0 thì 
Hay: 
Thay vào (2) ta được: 
Khi quả cầu rời khỏi mặt trụ thì N = 0 
b) Lúc đó vận tốc của tâm quả cầu là: 
Bài tập bổ xung
Bài 6: Một quả bóng thả rơi tự do không vận tốc ban đầu trong không khí từ độ cao h so với mặt đất. Coi trong quá trình chuyển động quả bóng chịu lực cản không khí tỉ lệ với vận tốc: . Hãy tìm vận tốc và độ cao của vật theo thời gian
ĐS: 	 ;	 
Bài 7: Một sợi dây đồng chất đặt trên bàn và có thể trượt không ma sát. Ban đầu phần buông thõng có chiều dài b. Tìm sự phụ thuộc của toạ độ x theo thời gian t
ĐS: 
Bài 8: Một đĩa đồng chất hình trụ, bán kính R được đặt nằm yên trên mặt phẳng ngang không ma sát. Một đĩa khác giống hệt đang quay đều quanh trục thẳng đứng với tốc đô góc được hạ thấp dần thật chậm để có thể tiếp xúc nhẹ nhàng (không va chạm) và chồng khít lên đĩa nằm yên ở dưới.
Do ma sát giữa hai mặt tiếp xúc, sau một khoảng thời gian t từ lúc hai mặt đĩa bắt đầu tiếp xúc thì cả hai quay xung quanh trục chung với cùng một tốc độ góc. Hãy tính t, cho hệ số ma sát giữa hai mặt đĩa là 
ĐS: 
Bài 8: Trên một mặt cầu nhẵn bán kính R, có đặt một dây xích được gắn cố định tại đỉnh của mặt cầu. Tính gia tốc a của mỗi phần tử của dây xích khi người ta thả đầu trên của dây ra. Giả sử chiều dài dây xích 
ĐS: 
II. Tích phân trong các bài toán tĩnh học
Trong các bài toán tĩnh học có dùng tích phân, thường ta gặp lực phụ thuộc vào vị trí đang xét. Cách giải quyết là chia nhỏ vật tìm lực vi phân hoặc các thành phần hình chiếu của lực vi phân rồi sau đó lấy tích phân trên mọi vị trí.
Bài 1: Một sợi dây đồng chất chiều dài tựa trên 
một mặt cong nhẵn như hình vẽ. Biết hai đầu dây 
ở cùng một độ cao. Chứng minh rằng sợi dây nằm cân bằng
Giải
Pt mô tả đường cong sợi dây có dạng: 
Tại điểm đầu và điểm cuối theo đề bài 
Xét một đoạn dây rất nhỏ có toạ độ x và x + dx. Chiều dài
đoạn này là: và khối lượng 
Thành phần dọc theo đường cong là: 
Lực tác dụng (có khả năng kéo sợi dây chuyển động) là: 
Bài 2: Một dây AB có chiều dài và mật độ khối lượng được treo vào trần nhà tại A. Khối lượng m của dây phân bố đều theo chiều dài và tạo ra lực căng.
a) Tính vận tốc truyền sóng ngang trên dây ở điểm M cách đầu dưới của dây một khoảng x
b) Tính thời gian sóng truyền từ A đến đầu B của dây
Giải
a) Vận tốc truyền sóng: 
Coi lực căng dây tại mỗi điểm là hàm T(y), với y là độ cao của điểm đó so với đầu dưới của dây
Xét một đoạn dây nhỏ có toạ độ hai đầu là y và y+dy.
Lực căng đầu trên là T(y+dy) (hướng lên)
Lực căng đầu dưới là T(y) (hướng xuống)
Đoạn này đứng yên nên: 
Hay 	
b) Thời gian sóng đi được quãng đường dy là: 
Thời gian tín hiệu truyền từ A đến B là: 
Bài tập bổ xung
Bài 3: Tính momen quán tính của
a) Một hình nón đặc đồng chất với trục đối xứng của nó, nếu khối lượng hình nón là m và bán kính đáy là R
b) Một vòng dây dẫn mảnh bán kính R đối với trục trùng với một đường kính của nó
ĐS: a) ;	b) 
Bài 4: Một thanh đồng mỏng đồng tính có độ dài và khối lượng m quay đều với tốc độ góc trong mặt phẳng nằm ngang, xung quanh một trục thẳng đứng đi qua một đầu thanh. Tìm lực căng trong thanh phụ thuộc theo khoảng cách x đến trục quay.
ĐS: 
Bài 5: Một đĩa có khối lượng M và bán kính R nằm cân bằng bởi một sợi dây rất nhẹ. 
a) Tính lực căng dây trên một đơn vị chiều dài của nó
b) Giả sử có ma sát giữa dây và đĩa. Tính lực căng nhỏ 
nhất tại điểm thấp nhất của sợi dây
ĐS: a) ;	b) 
III. Tích phân trong các bài toán điện từ
Bài toán này có nhiều đại lượng phụ thuộc vào vị trí như: điện trở R, điện dung C, 
cảm ứng từ B, từ thông , lựcTa cũng dùng phương pháp chia nhỏ sau đó lấy tích phân ở tất cả các vị trí. Những bài liên quan đến chuyển động ta còn phải kết hợp với việc giải phương trình vi phân của chuyển động dựa trên định luật II Niutơn.
Bài 1: Một khung dây dẫn hình vuông cạnh a và 
một dòng điện thẳng Io nằm trong mặt phẳng khung 
dây. Độ tự cảm của khung dây là L, điện trở khung 
là R. Quay khung dây xung quanh trục OO’ một 
góc 1800 rồi dừng lại. Hãy tính lượng điện tích đi qua
khung. Biết khoảng cách giữa dây dẫn và cạnh OO’ là b.
Giải
Dòng điện chỉ xuất hiện trong quá trình quay khung (có từ thông biến thiên) 
Còn khi khung ở vị trí ban đầu và vị trí cuối thì 
Theo định luật Kiecsop: 
Lấy tích phân 2 vế: 	
Do nên: 
Ta đi tính 
Chọn pháp tuyến của khung cùng chiều với (hướng ra sau) khi đó: 
Từ trường do dây dẫn thẳng dài vô hạn gây ra tại điểm cách dây một khoảng r:
Chia hình vuông thành nhiều hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng dr
Từ thông do dây dẫn gây ra tại hình chữ nhật: 
Từ thông gửi qua hình vuông ở vị trí 1: 
Từ thông gửi qua hình vuông ở vị trí 2: 
Bài 2: Một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang dòng điện , khoảng cách từ nó đến hai dây dẫn khác là a và b, R là điện trở nối hai dây đó. Thanh kim loại có thể trượt không ma sát với vận tốc không đổi v. Bỏ qua điện trở của dây nối và của thanh.
a) Xác định biên độ và chiều dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch
b) Tính lực để giữ cho thanh kim loại chuyển động với vận tốc không đổi
Giải
Độ lớn từ thông tăng nên dòng điện trong khung có chiều như hình vẽ
Diện tích vi phân: 
Tương tự như bài trên: 
b) Lực từ tác dụng lên phần tử của thanh có chiều dài dx 
Lực từ tác dụng lên cả thanh: 
Lực cần tác dụng có độ lớn bằng lực từ 
Bài 3: Một đĩa kim loại bán kính R = 25 cm quay đều quanh trục của nó với tốc độ góc . Hãy tính hiệu điện thế giữa tâm và vành bánh xe nếu
a) Không có từ trường ngoài (B = 0)
b) Có từ trường ngoài với vuông góc với đĩa và có cường độ 0,01 T
Giải
a) Khi không có từ trường, lúc đĩa quay các electron tự do bị văng ra mép đĩa do lực quán tính ly tâm. Do đó giữa tâm đĩa và mép đĩa xuất hiện một hiệu điện thế. Lúc hiệu điện thế ổn định, lực điện cân bằng với lực quán tính ly tâm. Xét một electron cách tâm đĩa khoảng r
 (rất nhỏ)
b) Khi đĩa đặt trong từ trường, giữa tâm và mép đĩa xuất hiện suất điện động cảm ứng:
Do giá trị của suất điện động cảm ứng lớn hơn nhiều so với hiệu điện thế gây ra bởi lực quán tính ly tâm, nên ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực ly tâm trong trường hợp này. U = 3,3.10-2 V
Bài 4: 
Một thanh kim loại có khối lượng m chiều dài a có thể quay 
xung quanh mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm O. Đầu kia 
của thanh tiếp xúc với dây dẫn uốn thành hình tròn. Thanh 
được đặt trong từ trường đều vuông góc với mặt phẳng 
quay của thanh. Nguồn điện có điện trở trong r nối một cực 
nối với điểm O cực còn lại nối với dây dẫn hình tròn như 
hình vẽ. Hãy tìm quy luật biến thiên của suất điện động để 
thanh quay đều với tốc độ góc không đổi .
Giải
Trong khoảng thời gian dt diện tích mà thanh quét được là:
Dòng điện xuất hiện trong thanh: 
Momen lực từ tác dụng lên đoạn có khoảng cách đến tâm là x và chiều dài dx:
Momen lực từ tác dụng lên cả thanh: 
Vì thanh quay đều nên momen từ cân bằng với momen của trọng lực
Bài tập bổ xung
Bài 5: Một thanh dẫn điện 12 khối lượng m trượt không ma sát trên hai đường ray dẫn điện song song với nhau biết AB = . Giữa A và B có điện trở R. Hệ được đặt trong từ trường đều vuông góc với mặt phẳng A12B và hướng ra sau hình vẽ. Lúc t = 0 truyền cho thanh 12 vận tốc ban đầu . Bỏ qua điện trở của các thanh ray và thanh 12. 
a) Hãy tính vận tốc của thanh 12 theo thời gian t
b) Xác định quãng đường thanh đi được từ lúc có vận tốc vo đến khi thanh dừng lại tức thời
ĐS: a) 	b) 
Bài 6: Điện tích Q phân bố đều trên một vòng dây cách điện có khối lượng là m, vòng dây nằm trên mặt phẳng nằm ngang. Một từ trường theo phương thẳng đứng có cảm ứng từ biến thiên từ 0 đến B0. Tốc độ mà vòng dây nhận được là bao nhiêu ?
ĐS: 
Bài 7: Trên mặt bàn nhẵn nằm ngang có một khung dây kín bằng kim loại hình chữ nhật kích thước 2 cạnh là a và b có điện trở là R. Khung đặt trong từ trường có dọc theo trục Oz và phụ thuộc vào toạ độ x theo quy luật . Trong đó và là các hằng số. Tại thời điểm t = 0, truyền cho khung vận tốc ban đầu dọc theo trục Ox.
Xác định quãng đường dịch chuyển xa nhất của khung. Bỏ qua độ tự cảm của khung
ĐS: 
Bài 8: Tính điện trở của một ống kim loại hình trụ rỗng có bán kính trong là R1 và bán kính ngoài R2 và chiều cao h. Cho điện trở suất là 
ĐS: 
Bài 9: Tính điện dung của tụ điện cầu mà các bán kính của các bản cực là R1 và R2 với R1 < R2, nếu không gian giữa hai bản chứa đầy:
a) Điện môi đồng tính có hằng số điện môi 
b) Điện môi, mà hằng số điện môi phụ thuộc r tính từ tâm tụ điện là với là hằng số
ĐS: a) ;	b)