Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải phương trình mũ và phương trình logarit

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
 Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường rất hay xuất hiện. Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1, Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi , tức là:
* Nếu thì .
* Nếu thì .
* .
2, Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi , tức là:
* Nếu thì .
* Nếu thì .
* .
II. Các ví du minh hoạ.
Thí dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải. Chia hai vế của phương trình cho ta được: 
Xét hàm số có .
Mặt khác . Vậy phương trình có nghiệm . Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy, do là hàm số nghịch biến trên nên .
Thí dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải. Ta có với 
 với 
 với 
Phương trình đã cho trở thành 
Xét hàm số có
Nhận xét rằng là nghiệm của phương trình. Do vế trái là một hàm số nghịch biến, vế phải luôn bằng 1, suy ra là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 3. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Nhận thấy rằng 
Đưa phương trình đã cho về dạng
Xét hàm số có suy ra là hàm số luôn đồng biến. Mặt khác từ phương trình ta có 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Thí dụ 4. Giải phương trình 
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
và đặt khi đó ta được phương trình 
xét hàm số có suy ra là hàm số đồng biến trên , từ phương trình ta có và phương trình ban đầu tương đương với 
Xét hàm số có 
Lại có và 
Suy ra bảng biến thiên của hàm số là
x
 0 1 
g’(x)
- 0 +
g(x)
 0 0
 g()
( )
Căn cứ vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình chỉ có nhiều nhất là hai nghiệm. Mặt khác , vậy phương trình đã cho có hai nghiệm hoặc .
Thí dụ 5. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Phương trình đã cho tương đương 
Xét hàm số với có 
Vậy là hàm số đồng biến, mặt khác nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 6. Giải phương trình 
Lời giải. Đưa phương trình về dạng 
Đặt ta được phương trình
Xét hàm số ta có suy ra f(x) là hàm số đồng biến, từ tính đơn điệu của f(x) suy ra 
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm hoặc .
Thí dụ 7. Giải phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Ta đưa phương trình về dạng 
Dễ dàng nhận thấy và do x>0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có hay .
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy phương trình có một nghiệm .
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau