Phương pháp giải toán Đại số 10 - Nguyễn Chí Thành

g nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp?
 3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại.
 4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc?
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm hệ thức giữa x và y độc lập với m.
 ;;
 ;;
 ;;
 ; ; 
;;;
;
 ;
 ;;
 ;;;
 ;;
;;; 
;;
 ;;
 ;;
 ;;
 ;;
 ;;
 ;;
;;
Bài 2 : Cho hệ phương trình ;;
Định m để hệ phương trình có ngiệm duy nhất 
Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm 
Định m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: 	+ Hệ có nghiệm duy nhất Û D¹0
	+ Hệ vô nghiệm Û D=0 và Dx¹0 (hoặc Dy ¹0)
	+ Hệ vô số nghiệm Û D=Dx=Dy =0
Bài 3 : Cho hệ phương trình 
;;
Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. 
Định m để hệ phương trình vô nghiệm. 
Bài 4 : Cho hệ phương trình 
;;
Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. 
Định m để hệ phương trình vô nghiệm.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao)
1/ Dạng 
 *Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình bậc hai. 
 Ví dụ: Giải hệ 
 Giải 
 Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-2y)2+4y2 = 8
ó16-16y+4y2+4y2= 0 ó 8y2-16y+8 = 0 
 ó y2-2y+1 = 0 ó y = 1 => x = 2
 	vậy nghiệm của hệ là (2;1).
2/ Hệ pt bậc hai đối xứng đối với x và y 
 	 *Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà mỗi phương trình không thay đổi khi ta thay x = y và ngược lại.
 Ví dụ : 
 	 *Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện:
 	- dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y 
 	- sau khi tìm được S,P thì x,y là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. 
 Ví dụ 1: giải hệ (I)
 Giải 
 (I)ó(II) 
Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ 
	ó
+ Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình x2-6x+4 = 0
 ó Þ nghiệm của hệ là 
+ Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình x2+6x+4 = 0 
	ó Þ hệ có hai cặp nghiệm
 	Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm. 
 Ví dụ 2: Giải hệ 
 HD: hệ VN
 Ví dụ 3: 
 Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)
 Ví dụ 4: 
 Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15)
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
	Đáp số: a) (2;1)	b) (-9;-19/3); (8;5)	c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
	Đáp số: a) VNo	b) (1;3); (3;1)	c) 
	d) (1;2); (2;1)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 
 Đáp số: a) (15;6); (-6;-15)	b) (10;8); (-8;-10)	c) (0;-3); (3;0)	 d) 
Bài 4. Giải các hệ phương trình :
a/ 	b/ 
c/ 	d/ 
e/ 	f/ 
Bài 5. Giải các hệ phương trình :
a/ 	b/ 
c/ 	d/ 
e/ 	f/ 
Bài 6. Giải các hệ phương trình 
a/ 	b/ 
c/ 	d/ 
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1. Định nghĩa 1
 Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a-b > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a)
 	 a > b ó a-b > 0 	(b-a<0)
a b ó a-b 0	(b-a≤0)
2. Định nghĩa 2:
 	Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng thức. 
	+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;
	+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;
	+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;
	+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu
	"a>b Þ c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"
	"a>b Û c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"
3. Các tính chất
 	 ta có :
 	1) a > b Û a+c > b+c 	(cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)
a > b+ c Û a-c > b 	(chuyển vế)
 	3) a > b Û (nhân hai vế cùng 1 số)
 	4) 
5) 
6) Với n nguyên dương:	a > b Û a2n+1 > b2n+1
a > b>0 Þ a2n > b2n
	7) Nếu b>0 thì 
	a>b Û; 
	a>b Û
 	8) 	(bắc cầu)
9) a > b Û 
 	10) a > b > 0 an > bn ( n )
 	11) a > b > 0 ( n )
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều 
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp chung: 
Một số hằng đảng thức:
	(a±b)2= a2 ± 2ab +b2
	(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
	(a±b)3= a3 ± 3a2b+3ab2 ± b3
	a2 -b2 = (a-b)(a+b)
	a3-b3= (a-b)(a2 +ab +b2)
	a3-b3= (a+b)(a2 -ab +b2)
Ví dụ: Chứng minh rằng
 a) Nếu a,b0 thì a+b 
 b) Chứng minh a2+b2-ab 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
 Giải
 a) Cách 1: ta có a+b ó a+b- 0 
 ó ( )2 0 đúng với mọi a,b0. Dấu '=' xảy ra khi a = b
 Cách 2: ta đã biết 
 ( )2 0 
 Þ a+b- 0 Þ a+b Þ đpcm.
 b) Ta có: a2+b2-ab = = (a- + 
 dấu '=' xảy ra ó Þ đpcm
4. Bất đẳng thức Côsi
 a/ Định lý: Nếu a0, b0 thì hay a+b 
 Dấu '=' xảy ra Û a=b 
 b/ Các hệ quả:
 b.1. Nế a0,b0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max Û a = b
 b.2. Nếu a0,b0 có a.b = const thì a + b là min Û a = b 
 b.3. Nếu a1, a2, a3,..,an 0 thì: 
	b.4. , a > 0 
* Ý nghĩa hình học: 
	+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
	+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
c. Ví dụ:
Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng 
 Giải
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,ta có:
 	 => đpcm.
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì
 (a+b)(ab+1) 4ab
 Giải
 Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:
 	a+b2 (1)
 Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:
 	 ab + 1 2 (2)
 Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm 
5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
 Định nghĩa: |x| =; 
 ta có 
	 , dấu '=' xảy ra ó a.b 0
 , dấu '=' xảy ra khi a.b 
 ó a.b0
 ó a.b
 Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|
Giải
 	Ta có |x-y|+|y-z||x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 
 Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)
 	ó 
 Chứng minh:
 Ta có (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)
 ó a2b2+c2d2+2abcd a2b2+a2d2+b2c2+c2d2 
 ó a2d2+b2c2-2abcd 0
 ó (ad-bc)20 đúng => đpcm
 Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng
 Giải
 Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:
 (1.x+1.y)2(12+12)(x2+y2) 
 ó (x+y)22 ó 
 => đpcm.
 Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2
 Giải
 Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 
	HD: Đưa về hằng đẳng thức
2/ Chứng minh rằng: 
Giải
	Vậy Þ đpcm
3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1
Vì >0, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: 
	y= +
	mà 
	vậy y= +
	Þ y= +³ 4. Dấu "=" xảy ra Û 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= + bằng 4 khi x =
BÀI TẬP
1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
a) 
Giải
	Vậy Þ đpcm
b) 
Giải
Vậy Þ đpcm
	c)* 
Giải
	Þ đpcm
d) 
Giải
	Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: 	(1)
	Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 	(2)
	Lấy (1) nhân (2) ta được: Þ. đpcm
e)* (bđt Cô-si cho 4 số)
Giải
f) 
Giải
	Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:
	 (1)
	Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương ta được;
	(2)
	Nhân (1) với (2) ta được: 
	Vậy 
g) 
	Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b
 	h) 
	Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.
 i) 
	Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho và 
 	j) 
Giải
	Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:
	 (1)
	Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương ta được;
	(2)
	Nhân (1) với (2) ta được: 
	Vậy 
2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau
	a) Với x>-3. Chứng minh 
	HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3
	b) Với . Chứng minh |x.y|≤3
	HD: Áp dụng bđt Cô-si cho ,
	c)* Với a, b, c³0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c ³ 16abc
	HD: 	b+c ³ 	Û (b+c)2 ³ 4bc 	(1)
 a+(b+c) ³Û 1³ 4a(b+c)	 (2)
lấy (1)x(2) ta đượcÞ đpcm
	d) Cho a, b, c, d ³ 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ³ 32abcd
	HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
	e) Cho a,b,c >0. CMR : 
	HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 
f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)16abcd.
	HD: 
g) Cho a,b,c > 0. CMR : 	
HD: 
h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)() 9
	HD: 
k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)() 4
	HD: 
l) Cho a,b,c > 0. CMR : 
	HD: 
m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : 
	HD: 
n) Cho a > 1 . CMR : 
	HD: bình phươn 2 vế
o) Cho a,b,c >0 . CMR : 
3/ Chứng minh bất đẳng thức
a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 
	b) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?
	c) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?
	d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c. 
e) a2b+ab2a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với. Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau 
 a) f(x)=	b) f(x)= với x > 1 
2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1
Giải
	Đẳng thức xảy ra Û
3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 - x4 với 0≤ x ≤ 4
Giải
 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
I. CMR
a2 – 3a + 3 > 0 , "aÎR 
a2 + b2 ³ 2ab , "a, bÎRa2 +3a +3 > 0 "aÎR 
a2 + b2 + 4 ³ ab + 2(a +b) , "a, bÎR
a2+ b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b +c + d + e) , "a, b, c, d, eÎR 
. Suy ra , "a, bÎR 
 , "a, b, cÎR 
a3 + b3 ³ ab(a+b) , "a, b ³ 0
 a3b + ab3 £ a4 + b4 , "a, bÎR 
 a4 + 16 ³ 2a3 + 8a , "aÎR 
 , "a, b, c, d > 0 
 , "a, b > 0 
 , "a, bÎR 
 , "a ³ 1
 , "a, b, c > 0 
 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , "aÎR 
 x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , "xÎR. Hd: BĐT 
II.CMR
1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 
 i. Nếu ii. Nếu 
 b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 
2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
 a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)
 b. abc ³ (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2 
4. Cho x + y + z = 1. CMR: 
5. CMR: a. , "xÎR 
 b. , "x, yÎR 
III.CMR 
 . (a, b , c, d ³ 0) 
 . (a, b , c ³ 0) 
 (a, b , c > 0) 
 (a, b , c > 0) 
 (a, b , c > 0) 
 (x , y > 0)
(a + b)(b+c)(c+a) ³ 8abc (a, b , c ³ 0) 
 (a, b , c > 0) 
(a + 2)(b + 8) (a + b) ³ 32ab (a, b ³ 0) 
(1 –a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c ³ 0
 với x+y =1 và x , y > 0.
 (a + 2) (b + 8) ³ 36 với ab = 4 và a, b > 0
 "a, b ³ 1
 với a + b + c = 1 và a, b, c ³ -
IV.CMR:
 1. (ab +by)2 £ (a2 + b2)(x2 +y2) ,"a, b, x, yÎR. Dấu bằng xảy ra khi nào?
 2. với x2 + y2 = 1
 3. 2 với 9x2 + 4y2 = 1
 4. với 2x2 + 3y2 = 7
 5. biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?
 6. biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?
V.Tìm GTLN của hàm số sau:
 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 £ x £ 7 (maxy = 36 khi x = 1)
 2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 
 3. y = với x ³ 4 (maxy = khi x = 8)
 4. y = x + (maxy = 4 khi x = ± 2)
VI.Tìm GTNN của hàm số sau:
 1. y = với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)
 2. y = với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
 3. y = với x ¹ 0 (miny = 6 khi x = )
 4. y = với x ¹ 0 (miny = 2 khi x = ±1)
 5. y = với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)
 6. y = (miny = 2 khi 2 < x < 4)
VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì < 
b) nếu a > b thì > 
c) 1 < < 2 	
d) 2 < < 3
2/ Cho 0, Chứng minh rằng < < 
3/ Chứng minh rằng " a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab 	b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a 	d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 
e) 2abc £ a2 + b2c2	f) (a + b)2 ≥ 4ab 
g) a2 + ab + b2 ≥ 0 	h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 £ (a2 – b2)2 	j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) ≥ 	l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
m) £ 	 n) ( )2 £ 
o) ≥ ( )2	p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc 
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 	
u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4/ Cho a ,b Î [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| £ |1 + ab|
a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥ 
 	b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ + 
5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + 1 > 0
7/ Cho ba số a ,b ,c Î [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca £ 1
8/ Cho 0 < a £ b £ c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) £ ()(a + c)
9/ Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥ 
10/ Cho a + b + c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥ 0
11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
 	 + + £ 
12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 
13/ 	a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : ≥ 
 	b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : ≥ 
 	c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
 ≥ 
14/ " a,b,c,d chứng minh rằng 
a) ≥ 
b) 1 < < 2
15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a)	< 1
b)	abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c)	a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 
*d)	a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e)	(a + b + c)2 £ 9bc với a £ b £ c
*f)	(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) £ abc
16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 
17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : 
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a £ b £ c
 Chứng minh rằng :	(a + b + c)2 £ 9bc 
19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥ 
20*/ Cho a ,b ,c Î [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) £ 4
21/ Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N
22/ Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N n ≥ 2
23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
	£ a + b + c £ 
24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ≥ 2 a , b > 0 	b) a2b + ≥ 2a b > 0 
c) ≥ 1	d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) 
e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b	f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab 
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 	h) £ 
i) ≥ 	j) + ≥ + + 
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 	 h) ≥ 2 
k) ≥ 3a2b3 – 16	l) ≥ 4 
m) ≥ 
2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2≥ 16
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng: 
a) a2b + ≥ 2a 
b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + )
4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < < < 
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b £ ab 
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab + ≥ 2 (b ¹ 0) 	
b) a + b + c ≥ 
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc 
d) ( + )2 ≥ 2 
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac 
f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 
i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + )3 
7/ Chứng minh rằng "x Î(0; p/2) ta có: 
 cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 
b) ≥ a + b + c
c)()( )() ≥ 8 
d) ()()( ) ≥ 8
e) (a + b + c)() ≥ 9 
f) (a + b + c)() ≥ 
g) ≥ 6 
h) ≥ 
i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 
j) 3a + 2b + 4c ≥ + 3 + 5
k) ≥ + + 
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)( + ) ≥ 4 
b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)
c) + ≥ 
d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 
e) ≥ 6
f) + + ≥ 
g) + + + ≥ 
h) ≥ 3a2b3 – 16 
i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6
11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n Î N
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
ab £ 	 b)a2 + b2 ≥ 
c)a4 + b4 ≥ 	d)a3 + b3 ≥ 
13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : ≥ 2
14/*. Chứng minh rằng – £ £ 
15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : ≥ 
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 9 
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a) ()()( ) ≥ 64 
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc £ 
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3
 	Chứng minh rằng abcd £ 
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) £ 
d) ≥ 2( )
e) < + + < 
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.
Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng
 	– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 
23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,.,an. Chứng minh rằng
a) ≥ n 
b) (a1 + a2 +  + an)() ≥ n2 
c) (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n với a1.a2.an = 1
24/ Cho n số a1 ,a2 ,.,an Î [0;1] ,chứng minh rằng :
 (1 + a1 + a2 + + an)2 ≥ 4(a12 + a22 + + an2)
25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 + 3≥ 5 	b) 
c) ≥ 3a2b3 – 16
27/ Chứng minh rằng 1.3.5.(2n – 1) < nn 
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
	a + b + c ≥ 
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,.,an và b1 ,b2 ,.,bn. Chứng minh rằng : 
 £ 
30/ Chứng minh rằng : ≤ 
 " a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/*. " n Î N chứng minh rằng :
a) 1. . < b) 1.22.33.44nn < 
32/*.Cho m,n Î N ;m > n . Chứng minh rằng : 	( 1 + )m > ( 1 + )n
33/*.Cho x1,x2,xn > 0 và x1 + x2 + .+ xn = 1 Chứng minh rằng 
 ()()( ) ≥ (n + 1)n
34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 
	Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2
35/*.Cho 3 số a ,b ,c Î (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
	a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
 	 + + £ 
37/** Cho x ,y ,z Î [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) £ 
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a) £ 2 
b) 2 ≥ 
39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a) ≥ 
b) ≥ 
c) ≥ 6 
d) ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc 
f) ≥ a + b + c
g) ≥ ≥ 
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : 
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 4
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9 
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c £ k. Chứng minh rằng :
	 ) ≥ 3
44/ Cho ba số a ,b ,c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥ 
45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng : 
a) ha + hb + hc ≥ 9r b) < 
Dùng tam thức bậc hai
1/ " x , y Î R Chứng minh rằng :
a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z 
b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 
e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ (x + y)
f) 3 + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
 (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 
4/ Cho ax + by ≥ ," x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
5*/ Cho – 1 £ x £ và – 0
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 "x
b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x £ y . Chứng minh rằng x3 – 3x £ y3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x2 + 
b) y = x + 2 + với x > – 2
c) y = x + với x > 1
d) y = với x > – 2
e) y = với x > 0
f) y = + với x Î (0;1)
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0£ x £ 2
y = (2x – 3)(5 – 2x) £ x £ 
y = (3x – 2)(1 – x) £ x £ 1
y = (2x – 1)(4 – 3x) £ x £ 
y = 4x3 – x4 với x Î [0;4]
11/ Trong mặt phẳng tọa độ