Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chủ đề - Ngô Trọng Hiếu

 a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bài 44: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) và x2 – mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của
phương trình (1)
Bài 45: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.
Bài 46: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phương trình tương đương.
c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 47: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = 0 (1) và x2 – 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phương trình (1).
Bài 48: Cho pt:
2 2(2 3) 3 2 0x m x m m- + + + + =
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
a) Giải pt trên khi m = 1
b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2 2
1 2
1x x+ =
e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 49: Cho pt
2 2( 1) 0x m x m- - - =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.
b) Với m≠ 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là: 1 1
2
1
y x
x
= + và 2 2
1
1
y x
x
= +
c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 22 3x x+ =
Bài 50: Cho pt
2 2( 3) 2 1 0x k x k- + + - =
a) Giải pt khi
1
2
k =
b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k.
d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2 1 2
1 1 3
2
x x x x
+ + =
f) Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 51: Cho pt
2( 1) 2 1 0m x mx m- - + + =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m≠ 1.
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
2 1
5
0
2
x x
x x
+ + =
Bài 52: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0x m x m- + + + =
a) Giải và biện luận pt trên.
b) Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả 2 21 2 1 210x x x x+ + đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
Bài 53: Cho pt
2 2 2 1 0x mx m- + - =
a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt 2 21 2 1 22( ) 5A x x x x= + -
+) Chứng minh 28 18 9A m m= - +
+) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 54: Cho pt
2 2( 1) 4 0x m x m- + + - =
a) Giải pt khi m = -5
b) CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương.
e) CMR biểu thức 1 2 2 1(1 ) (1 )A x x x x= - + - không phụ thuộc m.
f) Tính giá trị của biểu thức 1 2x x-
Bài 55: Cho pt
2 2( 2) 1 0x m x m- + + + =
a) Giải pt trên khi
3
2
m = -
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2
1 2 2 1
(1 2 ) (1 2 )x x x x m- + - =
Bài 56: Cho pt
2 22( 1) 4 9 0x m x m m- + + - - = (x là ẩn)
a) Giải và biện luận pt.
b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại
của pt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Bài 57: Cho pt
2( 4) 2 2 0m x mx m- - + + =
a) Tìm m để pt có nghiệm 2x = . Tìm nghiệm kia
b) Tìm m để pt có nghiệm
c) Tính 2 21 2x x+ theo m.
d) Tính 3 31 2x x+ theo m.
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm.
Bài 58:
a) Pt
2 2 5 0x px- + = có nghiệm 1 2x = . Tìm p và tính nghiệm kia.
b) Pt
2 5 0x x q+ + = có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.
c) Biết hiệu hai nghiệm của pt
2 7 0x x q- + = bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
d) Tìm q và hai nghiệm của pt
2 50 0x qx- + = , biết pt có hai nghiệm và nghiệm
này gấp đôi nghiệm kia.
e) Tìm giá trị của m để pt
2 22( 2) 2 7 0x m x m+ + + + = có nghiệm x1 = 5. khi
đó hãy tìm nghiệm còn lại.
f) Định giá trị của k để pt
2 ( 1) 5 20 0x k k x k+ + + + = có nghiệm x = -5. Tìm
nghiệm kia.
g) Cho pt:
25 28 0x mx+ - = . Định m để pt có hai nghiệm thoả 1 25 2 1x x+ =
h) Tìm tất cả các giá trị của a để pt
2 7 0x ax a+ + + = có hai nghiệm x1; x2 thoả
mãn 2 21 2 10x x+ =
Bài 59: Cho pt
2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ = ;
1 2
1 1
1
x x
+ = ; 2 21 2 2x x+ =
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 1 2 1 23( ) 5x x x x+ =
Bài 60: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0x m x m- + + + =
a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Cho 2 21 2 1 26P x x x x= + + ( x1; x2 là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P đạt
giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN ấy.
Bài 61: Tìm các giá trị của m; n để pt
2 2( 1) 2 0x m x n- + + + = có hai nghiệm
1 2
1; 2x x= = ?
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
Bài 62: Tìm các giá rị của m để pt
2 1 0x mx m- + + = có nghiệm x1; x2 thoả mãn một
trong hai điều:
a) 1 2 1 22( ) 19 0x x x x+ + - =
b) x1; x2 đều âm.
Bài 63: Cho pt
2 2( 1) 3 0x m x m- - + - =
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 64: Cho pt
2 3 0x mx+ + =
a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?
b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dương.
c) Với giá trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 65: Cho pt
2 8 5 0x x m+ + + =
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia?. Tính các nghiệm
trong trường hợp này.
Bài 66: Cho pt
2 1 0x mx m- + - =
a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1; x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của pt và giá trị
tương ứng của m.
b) Đặt 2 21 2 1 26A x x x x= + -
+) Chứng minh 2 8 8A m m= - +
+) Tính giá trị của m để A = 8
+) Tìm min của A
Bài 67: Cho pt
2( 1) 2( 1) 0m x m x m- + - - =
a) Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dương? trái dấu?
Bài 68: Cho pt
2 2(2 3) 3 0x m x m m- - + + =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều:
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
+) 2 21 2 9x x+ = +)
2 2
1 2 1 2
4x x x x+ = -
Bài 69: Cho pt
2 18 3 0kx x- + =
a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?
b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 2 21 2 1 2 6x x x x+ =
Bài 70: Cho pt
2 10 20 0x x m- - + =
a) Giải pt khi m = 4?
b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương.
Bài 71: Cho pt
2 2( 2) 1 0x m x m- + + + =
a) Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để:
2
1 2 2 1
(1 2 ) (1 2 )x x x x m- + - =
Bài 72: Cho pt
22 6 0x x m- + =
a) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm.
b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm đều dương
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để
1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
Bài 73: Cho pt
2 2( 1) 2( 5) 0x a x a- + + + =
a) Giải pt khi a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả 1 22 3x x+ =
d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương.
Bài 74: Cho pt
2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ =
c) Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
Bài 75: Xác định m để pt
2 (5 ) 6 0x m x m- + - + = có hai nghiệm thoả mãn một trong
các điều kiện sau:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị
b) Có hai nghiệm thoả 1 22 3 13x x+ =
Bài 76: Tìm giá trị của m để 2 21 2x x+ đạt giá trị nhỏ nhất:
a)
2 (2 1) 2 0x m x m- - + - = b)
2 2( 2) (2 7) 0x m x m+ - - - =
Bài 77: Cho pt
2 2( 1) 4 0x m x m- + + - =
a) Giải pt khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì pt nhận x = 3 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
c) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m.
d) Tìm m để pt có nghiệm thoả 2 21 2 5x x+ =
e) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiệm dương? hai nghiệm âm?
Bài 78: Cho pt
2 2( 1) 2 4 0x m x m- - + - =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN của 2 21 2Y x x= +
c) Tìm m để Y = 4; Y = 2.
Bài 79: Cho pt
25 28 0x mx+ - =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm dương
c) Tìm m để pt có hai nghim thoả:
+)
1 2
1 1 7
4x x
+ = +) 2 21 2
142
25
x x+ =
d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 1 25 2 1x x+ =
Bài 80: Cho pt
22 (2 1) 1 0x m x m+ - + - =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 1 23 4 11x x- =
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
Dạng 3: Định lớ Viet
Bài tập ỏp dụng:
1. x1= 8 x2 = -3
2. x1= 36 x2 = -104
3. x1= 1 2+ x2 = 1 2−
4. x1=2 x2=5
5. x1=-5 x2=7
6. x1=-4 x2=-9
7. 1 2
3
5;
2
x x= - = -
8. 1 2
1
3;
4
x x= =
9. 1 2
1 1
2 ; 3
4 3
x x= - =
10. 1 2
1 3
;
4 2
x x= = -
11. 1 2
1
3 2;
3 2
x x= + =
+
12. 1 25 2 6; 5 2 6x x= + = -
13. 1 23 2 2; 3 2 2x x= + = -
14. 1 2
1 1
;
10 72 10 72
x x= =
- +
15.
1 2
1 1
;
2 3 2 3
x x= =
+ -
16. 1 23 11; 3 11x x= + = -
17. 1 24 3 5; 4 3 5x x= - = +
18. 1 23 5; 3 5x x= - = +
19. 1 24; 1 2x x= = -
20. 1 2
1
; 2 3
3
x x= - = +
Bài tập ỏp dụng :
1. Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm 1 2;x x
Vớ dụ : Cho 1 3x = ; 2 2x = lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú 1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =⎧
⎨
= =⎩
vậy 1 2;x x là nghiệm của phương trỡnh cú
dạng:
2 20 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
2. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm thoả món biểu thức chứa hai nghiệm của
một phương trỡnh cho trước:
V ớ dụ: Cho phương trỡnh : 2 3 2 0x x− + = cú 2 nghiệm phõn biệt 1 2;x x . Khụng giải
phương trỡnh trờn, hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y thoả món : 1 2
1
1
y x
x
= + và
2 1
2
1
y x
x
= + Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
⎛ ⎞ +
= + = + + + = + + + = + + = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy pt cần lập cú dạng: 2 0y Sy P− + = hay 2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
1. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình:
22 7 3 0x x- - = . Không giải phương trình,
hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 3x1 và 3x2
b) -2x1  và -2x2
c)
1
1
x
và
2
1
x
d) 2
1
1
x
và 2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
1x
x
+
và
2
2
1x
x
+
g) 1
2
1x
x
+
và 2
1
1x
x
+
h) 1
2
1
x
x +
và 2
1
1
x
x +
i) 1
2
1
x
x
+ và 2
1
1
x
x
+
j)
2
1
2x +
và
1
1
2x +
2. Cho phương trỡnh 23 5 6 0x x+ − = cú 2 nghiệm phõn biệt 1 2;x x . Khụng giải phương
trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm 1 1
2
1
y x
x
= + và 2 2
1
1
y x
x
= +
3. Cho phương trỡnh : 2 5 1 0x x− − = cú 2 nghiệm 1 2;x x . Hóy lập phương trỡnh bậc 2
cú ẩn y thoả món 41 1y x= và
4
2 2y x= (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệm của
phương trỡnh đó cho).
4. Cho phương trỡnh bậc hai: 2 22 0x x m− − = cú cỏc nghiệm 1 2;x x . Hóy lập phương
trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm 1 2;y y sao cho :
a) 1 1 3y x= − và 2 2 3y x= − b) 1 12 1y x= − và 2 22 1y x= −
5. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 23 7 4 0x x+ + = . Không giải phương trình. Hãy
lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
1
p
q -
và
1
q
p -
6. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 2 5 3 0x x- - = . Không giải phương trình. Hãy
lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
1
p
q -
và
1
q
p -
7. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 22 6 7 0x x+ - = . Không giải phương trình. Hãy
lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
1
p
q -
và
1
q
p -
8. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 2 4 2 0x x+ + = . Không giải phương trình. Hãy
lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
1
p
q -
và
1
q
p -
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
9. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình:
2 5 0x px+ - = . Không giải phương trình, hãy
lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) -x1 và -x2
b) 4x1  và 4x2
c) 1
1
3
x và 2
1
3
x
d)
1
1
x
và
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
2x
x
-
và
2
2
2x
x
-
g) 1
2
3x
x
- +
và 2
1
3x
x
- +
h) 1
2
1
x
x -
và 2
1
1
x
x -
i) 1
2
1
x
x
- và 2
1
1
x
x
-
j)
2
1
x và 22x
k) 1
2
1
x
x
+ và 2
1
1
x
x
+
l) x12x2 và x1x22
Bài tập ỏp dụng
1.
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
d) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
e) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
2. Tìm hai số u, v biết:
a) u + v = 32; uv = 231
b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv =
d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24
f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12
h) u + v = -5; uv = -24
i) u + v = 4; uv = 19
j) u - v = 10; uv = 24
k) u2 + v2 = 85; uv = 18
3. Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chung
Nếu hai số cú Tổng bằng S và Tớch bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của phương
trỡnh : 2 0x Sx P− + = (điều kiện để cú hai số đú là S2 − 4P ≥ 0 )
V ớ dụ: Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = −3 và tớch P = ab = −4
Vỡ a + b = −3 và ab = −4 n ờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 2 3 4 0x x+ − =
giải phương trỡnh trờn ta được 1 1x = và 2 4x = −
Vậy nếu a = 1 thỡ b = −4
nếu a = −4 thỡ b = 1
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
l) u - v = 3; uv = 180
m) u2 + v2 = 5; uv = -2
n) u2 + v2 = 25; uv = -12
1. Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trỡnh : 2 8 15 0x x− + = Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh
1. 2 21 2x x+ 2.
1 2
1 1
x x
+
3. 1 2
2 1
x x
x x
+ 4. ( )21 2x x+
b) Cho phương trỡnh : 28 72 64 0x x− + = Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+ 2. 2 21 2x x+
c) Cho phương trỡnh : 2 14 29 0x x− + = Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+ 2. 2 21 2x x+
d) Cho phương trỡnh : 22 3 1 0x x− + = Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+ 2. 1 2
1 2
1 1x x
x x
− −
+
3. 2 21 2x x+ 4.
1 2
2 11 1
x x
x x
+
+ +
e) Cho phương trỡnh 2 4 3 8 0x x− + = cú 2 nghiệm x
1
; x
2
, khụng giải phương trỡnh,
tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
4. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức nghiệm
Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức
nghiệm đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm S và tớch nghiệm P để ỏp dụng
hệ thức VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức
• 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + −
• ( ) ( ) ( ) ( )23 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤+ = + − + = + + −⎣ ⎦
• ( )2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤+ = + = + − = + − −⎣ ⎦
• 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
• ( )21 2 1 2 1 24x x x x x x− = ± + −
• 2 21 2x x− ( ( )( )1 2 1 2x x x x= − + =.)
• 3 31 2x x− ( = ( )( ) ( ) ( )22 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤− + + = − + −⎣ ⎦ =. )
• 4 41 2x x− ( = ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2x x x x+ − = )
• 6 61 2x x+ ( = ( )( )2 3 2 3 2 2 4 2 2 41 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x+ = + − + = ..)
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
2. Cho phương trình: 2 5 3 0x x- + = . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải
phương trình hãy tính:
a) 2 21 2x x+
b) 3 31 2x x+
c) 1 2x x-
d) 2 21 2x x-
e) 3 31 2x x-
f)
1 2
1 1
x x
+
g)
2 2
1 2
1 1
x x
+
h) 1 2
1 2
3 3x x
x x
- -
+
i)
1 2
1 1
2 2x x
+
- -
j) 1 2
2 1
5 5x x
x x
+ +
+
k) 1 2
1 2
1 1
x x
x x
+ + +
l) 1 2
1 2
1 1
2 2
x x
x x
- -
+
m) 2 21 2 1 2x x x x+
n)
1 2
2 1
x x
x x
+
3. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt: 22 5 1 0x x- + =
4. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt: 23 4 3 0x x+ - =
5. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt: 23 2 5 0x x- + + =
6. Cho phương trình: 2 4 1 0x x- - + = . Không giải phương trình hãy tính:
a) Tổng bình phương các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phương các nghiệm d) Bình phương tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm f) Hiệu bình phương các nghiệm
5. Tỡm giỏ trị tham số của phương trỡnh thừa món biểu thức chứa nghiệm đó
cho
Đối với cỏc bài toỏn dạng này, ta làm như sau:
• Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
• Từ biểu thức nghiệm đó cho, ỏp dụng hệ thức VI-ẫT để giải phương trỡnh
(cú ẩn là tham số).
• Đối chiếu với điều kiện xỏc định của tham số để xỏc định giỏ trị cần tỡm.
Vớ dụ: Cho phương trỡnh : Tỡm giỏ trị của tham số m
để 2 nghiệm và thoả món hệ thức :
Bài giải:
Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: và từ giả thiết: .
Suy ra:
Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức :
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
Bài tập ỏp dụng
1.Cho pt
2 6 0x x m- + = . Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
a) 2 21 2 36x x+ =
b)
1 2
1 1
3
x x
+ =
c) 2 2
1 2
1 1 4
3x x
+ =
d) 1 2 4x x- =
2.Cho pt
2 8 0x x m- + = . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ
thức sau:
a) 2 21 2 50x x+ =
b) 1 27x x=
c) 1 22 3 26x x+ =
d) 1 2 2x x- =
3. Cho pt
2 ( 3) 2( 2) 0x m x m- + + + = . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 22x x= .
Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
4.
a) Tìm k để pt:
2 ( 2) 5 0x k x k+ - + - = có hai nghiệm x1; x2 thoả 2 21 2 10x x+ =
b) Tìm m để pt:
2 2( 2) 5 0x m x- - - = có hai nghiệm x1; x2 thoả 2 21 2 18x x+ =
c) Tìm k để pt:
2( 1) 2( 2) 3 0k x k x k+ - + + - = có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
(4 1)(4 1) 18x x+ + =
d) Tìm m để pt:
25 28 0x mx+ - = có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 25 2 1x x+ =
5. Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt:
2 ( 1) 3( 1) 0mx m x m+ - + - = . Chứng minh:
1 2
1 1 1
3x x
+ = -
6.Cho phương trỡnh : ( )2 2 4 7 0mx m x m+ − + + = Tỡm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả món hệ
thức : 1 22 0x x− =
7. Cho phương trỡnh : ( )2 1 5 6 0x m x m+ − + − = Tỡm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả món hệ thức:
1 24 3 1x x+ =
8.Cho phương trỡnh : ( ) ( )23 3 2 3 1 0x m x m− − − + = . Tỡm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả món hệ
thức : 1 23 5 6x x− =
ài tập ỏp dụng
1.Cho pt. Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
e)
f)
g)
Ngụ Trọng Hiếu HocTap-TT.BlogSpot.Com ễn thi vào lớp 10 – Mụn Toỏn
2.Cho pt. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ thức sau: