Ôn thi vào lớp 10 Môn Toán

khi a =3 ; b =-2 
T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = (
Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô)
 7.1) 7.2) 7.3) (®k x;y2 ) 
 7.4) ; 7.5) ; 7.6) .
 7.7) ; 7.8) ; 
7.9) ; 7.10) ; 7.11) ; 
c.Ph­¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt
1.C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
* NÕu > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
	x1 = ; x2 = 
* NÕu = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 
* NÕu < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Chó ý: Trong tr­êng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän:
 b’= vµ ' = 
* NÕu ' > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
	x1 = ; x2 = 
* NÕu ' = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 
* NÕu ' < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 
3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt
I. TÝnh nhÈm nghiÖm.
XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = 
NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - 
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n
( hoÆc x1 = n , x2 = m)
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:
Bài tập áp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	vµ 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	vµ 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	vµ 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	vµ 	x2 = 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và 
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
Vậy phương trình cần lập có dạng: 	
	hay	
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và 
	(Đáp số: hay )
2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
	(Đáp số : )
3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương 	trình bậc hai có các nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
(Đáp số 	a) 	b) )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
	(§iều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 
giải phương trình trên ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thì b = 4
	nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thì b = 5 
	nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 
	Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
	nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = thì b = 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
	Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2
C¸ch gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm:
+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: (hoÆc ) (*)
 - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè
 - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn 
 +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè 
 - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh , mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã
 < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc.
§Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm:
+) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn)
+) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2
+) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø2
V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1.Ph­¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 	
D¹ng 1. 
D¹ng 2. 
D¹ng 3. 
D¹ng 4. 
D¹ng 5. Ta biết 
D¹ng 6. =
D¹ng 7. = =. 
D¹ng 8. = = 
D¹ng 9. = = ..
D¹ng 10. 	
 D¹ng 11. 	=	
D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
D¹ng13 
2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
 5. 
e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
HD: 
VI. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 
3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Ví dụ 1: Cho phương trình : (1) có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 	giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
(Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b­íc 1)
Gi¶i:
B­íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
B­íc2: Rút m từ (1) ta có :
	(3)
Rút m từ (2) ta có :
	(4)
B­íc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
	§K:() ;Thay vào A ta c ó:
	Vậy A = 0 với mọi . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
 1 
	Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: 
 B1: Dễ thấy . Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 B3: Từ (1) và (2) ta có:
 2
 Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
VII.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 
(thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 	và từ giả thiết: . Suy ra:
	(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Ví dụ 2: Cho phương trình : .
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
	2. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 
	3. Cho phương trình : . 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Hướng dẫn cách giải: 
	Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: 
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ÉT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ÉT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
	Cho phương trình:	 (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trái dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cùng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
	 có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. có 2 nghiệm cùng dấu.
	2. có 2 nghiệm âm.	
	3. có ít nhất một nghiệm không âm.
IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
	 	(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)	(*)
Thì ta thấy : 	 (v ì ) 	
	 (v ì)	
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
	 có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Ví dụ 2: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vì 	
	Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
	Vì 
	Vậy 
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta có: 
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện.
3. Cho phương trình : xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Bµi tËp 
Bµi tËp 1:
BiÕn ®æi c¸c ph­¬ng tr×nh sau thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bµi tËp 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 3 Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4; 	
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 4:
Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -3
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4
c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2
Bµi tËp 6: 
Cho ph­¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 
Bµi tËp 7: 
Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -3 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2
Bµi tËp 8: 
Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 4 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 
Bµi tËp 9:
BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm 
x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi tËp 10:
BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm 
x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i
x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi tËp 11: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m 
Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
c) Khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi tËp 13:Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x12 + x22 = 8
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x12 + x22 
Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m 
Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x12 + x22 
Bµi tËp 16: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) T×m m ®Ó A = x12 + x22 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
b) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
c) T×m m ®Ó C = x12 + x22 - x1x2
Bµi tËp 17: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh
 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi tËp 18:
Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n 
Bµi tËp 19:
Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).
a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3
b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi tËp 20:
a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0	(1)
x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0	(2)
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) vµ ng­îc l¹i.
--------------------------------
d. Mét sè ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp:
1. pH­¬ng tr×nh tÝch: D¹ng: 
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm.( nghiÖm thuéc ­íc cña 6)ta ®­îc:
Bµi tËp:
Bµi 1: 
Bµi 2: 
2.pH­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu:
VÝ du: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh sau: (*)
§KX§: 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (*) 
NÕu ; th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm :
NÕu m = 1 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 0.
Bµi tËp:
Bµi 1: 
Bµi 2: 
3. pH­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyªt ®èi
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Ta cã thÓ gi¶i nh­ sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i:
x
VÕ tr¸i céng l¹i
VËy: + Víi th× ph­¬ng tr×nh (1) ( tho¶ m·n)
 + Víi th× ph­¬ng tr×nh (1) ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
 + Víi th× ph­¬ngtr×nh (1) tho¶ m·n.
Bµi tËp:
Bµi 1: 
Bµi 2: 
4. pH­¬ng tr×nh v« tØ:
VÝ dô: a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
PP: + §KX§: 
 + B×nh ph­¬ng hai vÕ ®Ó lµm mÊt c¨n.
 b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
PP: + §KX§: 
 + T¹o ra b×nh ph­¬ng cña mét tæng noÆc mét hiÖu cña biÓu thøc d­íi c¨n ®Ó ®­a ra ngoµi c¨n.
Do thiÕu 2 lÇn tÝch nªn ta nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi .
 + XÐt xem biÓu thøc d­íi c¨n d­¬ng hay kh«ng ®Ó ®Æt trong dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi råi gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
Bµi tËp:
Bµi 1: 
Bµi 2: 
 ---------------------------------------------------------
D¹ng IV
Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh.
I, LÝ thuyÕt cÇn nhí:
 * B­íc 1: + LËp PT hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh;
 (nªn lËp b¶ng ®Ó timph­¬ng tr×nh)
 - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn.
 - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i l­îng ®· biÕt.
 - LËp HPT.
 * B­íc 2: Gi¶i PT hoÆc HPT.
 * B­íc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi.
II, Bµi tËp vµ h­íng dÉn: 
1) To¸n chuyÓn ®éng:
Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. 
Bµi 2: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 9km/h . Khi ®i tõ B vÒ A ng­êi Êy ®i ®­êng kh¸c dµi h¬n 6 km, víi vËn tèc 12km/h. nªn thêi gian Ýt h¬n thêi gian khi ®I lµ 20 phót. TÝnh qu·ng ®­êng AB? 
Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 km , ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ng­îc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng n­íc) vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3 km/h.
2) To¸n thªm bít mét l­îng
Bµi 5. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp.
Bµi 6: Hai thïng ®ùng dÇu: Thïng thø nhÊt cã 120 lÝt,thïng thø hai cã 90 lÝt. Sau khi kÊy ra ë thïng thø nh¸t mét l­îng dÇu gÊp ba l­îng dÇu lÊy ra ë thïng thø hai, th× l­îng dÇu cßn l¹i trong thïng thø hai gÊp ®«i l­îng dÇu cßn l¹i trong thïng thø nhÊt. Hái ®· lÊy ra bao nhiªu lÝt dÇu ë mçi thïng?
3) To¸n phÇn tr¨m:
Bµi 7. Hai tr­êng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× tr­êng A ®¹t 80%, tr­êng B ®¹t 90%. Hái mçi tr­êng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10.
4) To¸n lµm chung lµm riªng:
Bµi 8. Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ.
B