Ôn thi học sinh giỏi Toán 9 - Chuyên đề 3: Hệ phương trình

1) Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp thế, phửơng pháp cộng.
a) Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phửơng trình thành hệ phửơng trình 
tửơng đửơng.
+ Bước 1: Từ một phửơng trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào 
phửơng trình thứ hai để đửợc một phửơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phửơng trình mới ấy để thay thế cho phửơng trình thứ hai trong hệ (phửơng trình thứ nhất cũng thửờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đửợc ở bửớc 1).
b) Quy tắc cộng đại số: Quy tắ ccộng đại số dùng để một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phửơng trình của hệ của hệ phửơng trình đã cho để đửợc một phửơng trình mới.
+ Bửớc 2: Dùng phửơng trình mới ấy thay thế cho một trong hái phửơng trình của hệ (và giữ nguyên phửơng trình kia)
Lửu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đửa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
Các hệ phương trình cơ bản:
Loại 1: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp cộng, phửơng pháp thế.
Bài 1 a) 	b) 	c) 
 d) 	e) 	f) 
Bài 2 a) 	b) 	c) 
Bài 3: a) 	b) 	c) 
 d) 	e) 	f) 
Bài 4: a) b) c) 
Loại 2: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng thứ nhất:
a) 	b) 	c) d) 	e) 
f) g) 	h) 	i) 
j) k) l) m) 	
n) o) p) 
Dạng thứ hai:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 	
Loại 3: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích đửợc thành nhân tử.
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	b) 
B. Các hệ phương trình nâng cao.
Loại 4: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y.
Định nghĩa:
Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.
2. Cách giải:
Xét  x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
{f(x,xt)=a  g(x,xt)=b  ⇔{x2f(1,t)=a ; x2g(1,t)=b  
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
f(1,t)=abg(1,t)(∗)
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).
 a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	 f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 	l) 
Loại 5: Hệ phương trình đối xứng loại 1.
1.  Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại I:
Định nghĩa: 
Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. 
 , trong đó 
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 4P) . 
Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P.
iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P. Chọn S,P thỏa mãn  S2 4P.
iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
             X2 – SX + P = 0     ( định lý Viét đảo )
Chú ý:
i) Cần nhớ: 
x2+y2=S2−2P  x3+y3=S3−3SP 
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:
                 { u=u(x) v=v(x)    và    { S=u+v P=uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.
Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm:
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và S2 ⩾4P (*).
iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình. 
Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m  (với m là tham số)
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
ị) 	k) 	l) 
m) 	n) 	
o) 	p) 
q) 	r) 	s) 
t) 	u) 	v) 
x) 	y) 	z) 
Loại 6: Hệ phương trình đối xứng loại 2.
1. Định nghĩa: 
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì(y0;x0) cũng là nghiệm của hệ.
2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:   
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ
Dạng 2:   
  (trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 	l) 
Loại 7: Hệ phương trình bậc nhất ba phương trình ba ẩn.
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	
k) 	l) 	m) 
 n) 	o) 	p) 
q) 	r)