Ôn tập toán Hình học lớp 9 học kì 1

Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1
BÀI 1 :
Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :
AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).
FA.FH = FB.FC.
bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.
IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Giải.
1. AH vuông góc BC :
�� DBC nt (O) đường kính BC (gt)
=> �� DBC vuông tại D
=> BD   CD hay BD  AC.
Cmtt : CE   AB
Xét tam giác ABC có :
CE  AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.
BD   AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.
hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
= > H là trực tâm của tam giác ABC
= > AH là đường cao thứ ba.
= > AH  BC tại F.
2. FA.FH = FB.FC :
Xét �� FAB và �� FCH, ta có :
 (cmt)
 (�� FAB vuông tại F)
 (�� FAC vuông tại F)
=>  (1)
=> �� FAB đồng dạng  �� FCH
=> 
=> FA.FH = FB.FC
3.A, E, H, D nằm trên đường tròn
Xét  ΔAEH vuông tại E (gt)
= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).
Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).
Xét  ΔADH vuông tại D (gt)
= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH
Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).
Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .
Suy ra : tâm I là trung điểm AH.
4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)
=> Δ AEI cân tại I
=>  (2)
Cmtt, ta được :  (3)
Từ (1), (2) và (3), ta được :
Mà : :
=> 
Hay : 
=> IE  EO tại E
Mà : E thuộc (O)
Vậy :  IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
—————————————————————————————-
BÀI 2 :
Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA
Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.
Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.
GIẢI.
1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Xét ��AOM và ��BOM, ta có :
MA = MB (gt)
OA = OB (bán kính)
OM cạnh chung.
=> ��AOM = ��BOM
=> 
Mà :  (MA tiếp tuyến của (O))
=> 
Hay MB  OB tại B
Mà : điểm B của đường tròn (O; R)
Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
2. OM = 2R :
Xét ��AOM vuông tại A, ta có :
sin OMA = OA : OM = ½
=> 
Mặt khác :   (tính chất hai tt cắt nhau)
Xét ��ABM, ta có : MA = MB (gt)
=> ��ABM cân tại M
Mà :  (cmt)
=> ��ABM đều.
Xét �� vuông tại A, theo định lí ta có :
OM2 = MA2 + 0B2
(2R)2 = MA2 + R2
=> MA = 
Diện tích SAOM = MA2.   =  (dvdt)
3. chứng minh : AE // OM :
ta có :
MA = MB (gt)
OA = OB (bán kính)
=> MO là đường trung trực AB
=> OM  AB (1)
Xét ��ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính
 => ��ABE vuông tại A
=> AE  AB (2)
Từ (1) và (2) => AE // OM.
———————————————————————————-
Bài 3 :
Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.
Chứng minh : AC + DB = CD.
Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R2.
OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :
Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
OE.OC = OF.OD = R2.
EF   BD.
Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.
GIẢI.
Chứng minh : AC + DB = CD.
Ta có :
CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau)
DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)
CD = CM + MD
=> AC + DB = CD.
2. tam giác COD vuông và AC.BD = R2.
Ta có :
OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)
OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)
Mà : góc BOM và góc COM kề bù.
=> OC  OD tại O.
Hay ��COD vuông tại O.
Trong ��COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :
MC.MD = OM2 = R2
Hay : AC.BD=  R2 (CA = CM và DB = DM)
3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :
Ta có :
CA = CM (cmt)
OA = OM ( bán kính)
=> CO là đường trung trực của AM
=> CO latex AM tại E, EA = EM
=> 
Cmtt , ta được : 
Tứ giác OEMF, ta có :
 (cmt)
=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
Trong ��COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :
OC. OE = OM2 = R2
Cmtt : OD. OF = OM2 = R2
=> OE.OC = OF.OD = R2.
EF   BD.
Xét ��ABM, ta có :
EA = EM (cmt)
FB = FM (cmt)
=> EF là đường trung bình
=> EF // AB
Mà AB  BD (tính chất tt)
=> EF  BD.
4. AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
trong ��COD vuông tại O (cmt)
=> ��COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD
=> IC = ID.
Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)
=>Tứ giác ABDC là hình thang.
Xét hình thang ABDC, ta có :
IC = ID (cmt)
OA = OB (AB là đường kính (O))
=> IO là đường trung bình
=> IO // CA
Mà CA  AB
=> IO  AB tại O
Mà : điểm O thuộc (I)
=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD
5. NM // AC
Ta có :
AC // BD (cmt)
=>  (định lí talet thuận)
MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)
=> 
=> NM // AC (định lí talet đảo)
==============================================
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
BÀI 1 ( 3,5 điểm) :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
Chứng minh AH vuông góc BC.
Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD.
Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Bài 2 ( 4 điểm) :
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.
a)      Chứng minh tam giác ABC vuông.
b)      Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA  =DF.
c)      Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.
d)     Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra  OE // CA.
Bài 3 : 
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )
a) C/m: Tam giác ABC đều
b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại  S . C/m : SO = SA
c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)
d) Tính độ dài SI theo R
Bài 4 : (4 đ)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông
góc vơi AB.
a)    Chứng minh tam giác OCB đều.
b)    Tính đô dài AC và CH theo R.
c)    Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và
       4HB.HI = 3R2
d)    Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB
      là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.
Bài 5 : (3,5 điểm)
Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).
a) Chứng minh ΔBCD vuông.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh DC. AO = 2R2 .
d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.
Bài 5.
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.
1)    Chứng minh H là trung điểm của AB.
2)    Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3)    Chứng minh : NA.NB = NI.NH
4)    Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
bài 6 : (3,5đ)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)
a)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.
b)      Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.
c)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.
Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.
d)     Tính diện tích AJIB theo R.
BÀI 7 :
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)
e)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.
f)       Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.
g)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.
Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.
h)      Tính diện tích AJIB theo R.