Ôn tập kiến thức lớp 12 môn Toán

lớp 12
Chủ đề
Mức độ cần đạt
Ghi chú
I. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1. ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số.
Về kiến thức :
 Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.
Về kỹ năng:
- Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.
 Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số : y = x4 - 2x2 + 3, y = 2x3 - 6x + 2, y = .
2. Cực trị của hàm số.
Định nghĩa. Điều kiện đủ để có cực trị.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số.
- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.
 Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của các hàm số y = x3(1 - x)2, y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10. 
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
 Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [- 4; 4]. 
 Ví dụ. Tính các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m2. 
4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm đường tiệm đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số y = ; y = .
5. Khảo sát hàm số. Sự tương giao của hai đồ thị. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Về kiến thức :
- Biết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Về kỹ năng:
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 
 y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0), 
 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 
và y = (ac ¹ 0), trong đó a, b, c, d là các số cho trước .
- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. 
 Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số : y = - x2 - ; y = - x3 + 3x +1 ; 
y = .
 Ví dụ. Dựa vào đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2, biện luận số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0 theo giá trị của tham số m.
 Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x4 - 2x2 + 3 biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến đó là - 8. 
 Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1 Tại điểm có hoành độ 2.
II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
1. Luỹ thừa.
Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực. Các tính chất.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của số thực dương.
- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực.
Về kỹ năng:
- Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa.
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Rút gọn biểu thức 
 . (a > 0)
 Ví dụ. Chứng minh rằng .
2. Lôgarit.
Định nghĩa lôgarit cơ số a (a > 0, a ¹ 1) của một số dương. Các tính chất cơ bản của lôgarit. Lôgarit thập phân. Số e và lôgarit tự nhiên.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a ¹ 1) của một số dương. 
- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit).
- Biết các khái niệm lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit.
 Ví dụ. Tính
 a) ; b) .
 Ví dụ. Biểu diễn qua và .
 Ví dụ. So sánh các số:
 a) và ; 
 b) và .
3. Hàm số luỹ thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit.
Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số y = ex, y = lnx.
 Ví dụ. Vẽ đồ thị của các hàm số :
 a) y = 3.2x b) y = 
 Ví dụ. Vẽ đồ thị các hàm số:
 a) y = 2; b) y = .
 Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
 a) y = 2xex + 3sin 2x ;
 b) y = 5x2 - ln x + 8cos x. 
4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Về kỹ năng:
- Giải được phương trình, bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ.
 Ví dụ. Giải phương trình
.
 Ví dụ. Giải phương trình
2.16x - 17.4x + 8 = 0.
 Ví dụ. Giải phương trình 
log4 (x + 2) = log2 x.
 Ví dụ. Giải bất phương trình 
9x - 5. 3x + 6 < 0.
 Ví dụ. Giải bất phương trình 
log3 (x + 2) > log9 (x + 2). 
III. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1. Nguyên hàm.
 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm. Kí hiệu họ các nguyên hàm của một hàm số. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần. 
Về kiến thức :
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Về kỹ năng:
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm.
Dùng kí hiệu để chỉ họ các nguyên hàm của f(x).
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính 
 (Hướng dẫn: đặt u = 3x + 1).
2. Tích phân.
Diện tích hình thang cong. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Phương pháp đổi biến số. Phương pháp tính tích phân từng phần.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong.
- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit.
- Biết các tính chất của tích phân.
Về kỹ năng:
- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân.
 Khi đổi biến số cần cho trước phép đổi biến số.
Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính 
 (Hướng dẫn: đặt u = x + 2).
3. ứng dụng hình học của tích phân.
Về kiến thức :
- Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân.
Về kỹ năng:
- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân.
 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x. 
 Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành. 
IV. Số phức
1. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Về kiến thức :
- Biết dạng đại số của số phức.
- Biết cách biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.
Về kỹ năng:
- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.
 Ví dụ. Tính:
 a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i) 
 b) (2 -i)(+ i)
 c) (1 +i)2
 d) 
2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.
Về kỹ năng:
 Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu D < 0).
 Ví dụ. Giải phương trình:
 x2 + x + 1 = 0
V. Khối đa diện
1. Khái niệm về khối đa diện. Khối lăng trụ, khối chóp. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. 
Về kiến thức :
 Biết khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện.
2. Giới thiệu khối đa diện đều. 
Về kiến thức :
- Biết khái niệm khối đa diện đều.
- Biết 3 loại khối đa diện đều : tứ diện đều, lập phương, bát diện đều.
3. Khái niệm về thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Công thức thể tích khối lăng trụ và khối chóp. 
 Về kiến thức :
- Biết khái niệm về thể tích khối đa diện. 
- Biết các công thức tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp.
Về kỹ năng :
Tính được thể tích khối lăng trụ và khối chóp.
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45°. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Ví dụ : Cho khối hộp MNPQM'N'P có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V.
Ví dụ. Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho . Tỉ số thể tích của hai tứ diện MNIQ và MNIP.
VI. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón. 
1. Mặt cầu.
Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đường tròn lớn. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.
Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Tiếp tuyến của mặt cầu.
Công thức tính diện tích mặt cầu.
Về kiến thức :
- Hiểu các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đường tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu. 
- Biết công thức tính diện tích mặt cầu. 
Về kỹ năng:
 Tính được diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu.
 Ví dụ. Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của một hình lập phương. Tính cạnh của hình lập phương đó theo R.
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD. 
2. Khái niệm về mặt tròn xoay.
Về kiến thức :
 Biết khái niệm mặt tròn xoay.
3. Mặt nón. Giao của mặt nón với mặt phẳng. Diện tích xung quanh của hình nón. 
Về kiến thức :
 Biết khái niệm mặt nón và công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.
Về kỹ năng:
 Tính được diện tích xung quanh của hình nón.
Ví dụ. Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 300. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh O, đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. 
4. Mặt trụ. Giao của mặt trụ với mặt phẳng. Diện tích xung quanh của hình trụ. 
Về kiến thức :
 Biết khái niệm mặt trụ và công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Về kỹ năng :
 Tính được diện tích xung quanh của hình trụ.
Ví dụ. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ được một hình vuông cạnh a. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó. 
VII. Phương pháp toạ độ trong không gian 
1. Hệ toạ độ trong không gian. 
 Toạ độ của một vectơ. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Toạ độ của điểm. Khoảng cách giữa hai điểm. Phương trình mặt cầu. Tích vô hướng của hai vectơ.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của điểm, khoảng cách giữa hai điểm.
- Biết phương trình mặt cầu. 
Về kỹ năng:
- Tính được toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số; tính được tích vô hướng của hai vectơ.
- Tính được khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước.
- Xác định được toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
- Viết được phương trình mặt cầu.
Ví dụ. Xác định toạ độ tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
 a) x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0
 b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = 0
 Ví dụ. Viết phương trình mặt cầu:
 a) Có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3) và B(- 2; 3; 5). 
 b) Đi qua bốn điểm O(0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; - 4), C(1; - 3; - 1). 
2. Phương trình mặt phẳng. 
 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Về kiến thức :
- Hiểu được khái niệm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 
- Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc hoặc song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Về kỹ năng:
- Xác định được véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Biết cách viết phương trình mặt phẳng và tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 Có thể giới thiệu tích có hướng của hai vectơ khi nói về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 
 Ví dụ. Cho và . Xác định vectơ sao cho và 
Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(- 1; 2; 3), B(2; - 4; 3), C(4; 5; 6).
 Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; 1; - 1), B(2; - 1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1 = 0.
 Ví dụ. Tính khoảng cách từ điểm A(3; - 4; 5) đến mặt phẳng x + 5y - z + 7 = 0.
3. Phương trình đường thẳng. 
 Phương trình tham số của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. 
Về kiến thức :
 Biết phương trình tham số của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. 
Về kỹ năng:
 - Biết cách viết phương trình tham số của đường thẳng.
- Biết cách sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
 Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 1; - 2), B(2; - 1; 9).
 Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; - 1) và song song với đường thẳng 
 Ví dụ. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
 d1: d2: