Ôn tập Đại số 11 - Chương I: Hàm số lượng giác – phương trình lượng giác

2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
é ù= - + +ë û
é ù= - - +ë û
é ù= - + +ë û
 cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ = 
 cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = -
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
-
- = 
 sin( )cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ = 
 b aa b
a b
sin( )cot cot
sin .sin
-
- = 
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
+ = + = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
- = - = - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 
2
2
2
1 cos2sin
2
1 cos2cos
2
1 cos2tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3tan tantan 3
1 3 tan
a a a
a a a
a aa
a
= -
= -
-
=
-
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ 
siny x= : Tập xác định D = R; tập giá trị 1, 1T é ù= -ë û ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = p . 
* y = sin(ax + b) có chu kỳ 0
2
T
a
=
p 
* y = sin(f(x)) xác định ( )f xÛ xác định. 
cosy x= : Tập xác định D = R; Tập giá trị 1, 1T é ù= -ë û ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = p . 
* y = cos(ax + b) có chu kỳ 0
2
T
a
=
p 
* y = cos(f(x)) xác định ( )f xÛ xác định. 
tany x= : Tập xác định \ ,
2
D R k k Z
ì ü
= + Îí ý
î þ
p
p ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0T = p . 
* y = tan(ax + b) có chu kỳ 0T a
=
p 
* y = tan(f(x)) xác định ( )f xÛ ( )
2
k k Z¹ + Î
p
p 
coty x= : Tập xác định { }\ ,D R k k Z= Îp ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0T = p . 
* y = cot(ax + b) có chu kỳ 0T a
=
p 
* y = cot(f(x)) xác định ( ) ( )f x k k ZÛ ¹ Îp . 
* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 
Thì hàm số 1 2( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. 
 CHÖÔNG I 
HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC – PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 5 
 Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 
 a) 2sin
1
x
y
x
æ ö
= ç ÷-è ø
 b) siny x= c) 2 siny x= - 
 d) 21 cosy x= - e) 1
sin 1
y
x
=
+
 f) tan
6
y x
æ ö
= -ç ÷
è ø
p 
 g) cot
3
y x
æ ö
= +ç ÷
è ø
p h) sin
cos( )
x
y
x
=
-p
 i) y = 1
tan 1x -
Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 a) y = 2sin 1
4
x
æ ö
+ +ç ÷
è ø
p b) 2 cos 1 3y x= + - c) siny x= 
 d) 24sin 4sin 3y x x= - + e) 2cos 2sin 2y x x= + + f) 4 2sin 2 cos 1y x x= - + 
 g) y = sinx + cosx h) y = 3 sin 2 cos2x x- i) y = sin 3 cos 3x x+ + 
Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: 
 a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx 
 d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx 
 g) y = sin tan
sin cot
x x
x x
-
+
 h) y = 
3
3
cos 1
sin
x
x
+ i) y = tan x 
Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số: 
 a) sin 2y x= b) cos
3
x
y = c) 2siny x= 
 d) sin 2 cos
2
x
y x= + e) tan cot 3y x x= + f) 3 2cos sin
5 7
x x
y = - 
 g) 2sin . cos3y x x= h) 2cos 4y x= i) y = tan(-3x + 1) 
HD: a) p b) 6p c) p d) 4p e) p f) 70p g) p h) 
4
p i) 
3
p 
Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: 
– Tìm tập xác định D. 
– Tìm chu kỳ T0 của hàm số. 
– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). 
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn: 
 00,x Té ùÎ ë û hoặc 
0 0,
2 2
T T
x
é ù
Î -ê ú
ë û
. 
– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. 
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k T i0. .=
rr về bên trái và 
phải song song với trục hoành Ox (với i
r
 là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
 2) Một số phép biến đổi đồ thị: 
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = 
f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn 
vị nếu a < 0. 
b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục 
hoành. 
c) Đồ thị f x neáu f xy f x
f x neáu f x
( ), ( ) 0( )
( ), ( ) 0
ì ³= = í- <î
 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ 
nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) 
nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. 
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. 
– Tập xác định: D = R. 
– Tập giá trị: 1, 1 .é ù-ë û 
– Chu kỳ: T = 2 . 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2é ùë ûp 
– Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i=
r r
p ta được đồ thị y = sinx. 
Nhận xét: 
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 
– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
p và nghịch biến trên , .
2
æ ö
ç ÷
è ø
p
p 
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. 
– Tập xác định: D = R. 
– Tập giá trị: 1, 1 .é ù-ë û 
– Chu kỳ: T = 2 . 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :é ùë ûp 
– Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i=
r r
p ta được đồ thị y = cosx. 
Nhận xét: 
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 
1 
3
2
p
-
-p
2
p
- 0 
2
p 3
2
p p 2p 5
2
p
y = sinx 
–1 
y 
x 
1 
3
2
p
-
-p
2
p
- 0 
2
p 3
2
p p 2p 5
2
p
y = cosx 
–1 
y 
x 
x 0 
2
p p 3
2
p 2p 
y 
1 
0 
–1 
0 0 
x 0 
2
p p 3
2
p 2p 
y 
0 
–1 
0 
1 1 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 7 
– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
p và nghịch biến trên khoảng 3, .
2
æ ö
ç ÷
è ø
p
p 
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. 
– Tập xác định: D = R \ ,
2
k k Z
ì ü
+ Îí ý
î þ
p
p 
– Tập giá trị: R. 
– Giới hạn: 
2
lim
x
y
®±
= ¥
p
 :
2
xÞ = ±
p là tiệm cận đứng. 
– Chu kỳ: T = . 
– Bảng biến thiên trên ,
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
p p : 
– Tịnh tiến theo véctơ .v k i=
r r
p ta được đồ thị y = tanx. 
Nhận xét: 
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. 
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. 
– Tập xác định: D = R { }\ ,k k ZÎp 
– Tập giá trị: R. 
– Giới hạn: 
0
lim , lim
x x x
y y
® ®
= + ¥ = - ¥ 
 tiệm cận đứng: x = 0, x = . 
– Chu kỳ: T = . 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0,é ùë ûp : 
– Tịnh tiến theo véctơ .v k i=
r r
p ta được đồ thị y = cotx. 
Nhận xét: 
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 
– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. 
x 
2
p
- 0 
2
p 
y 
0 
–¥ 
+¥ 
x 0 
2
p p 
y 
0 
+¥ 
–¥ 
x 
y 
3
2
p- p 
2
p- O 
2
p p 3
2
p 2p 5
2
p 
y = tanx 
x 
y 
2- p 3
2
p- O 2
p-
2
p p 3
2
p 
y = cotx 
-p 2p 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 
 Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. 
– Vẽ đồ thị y = sinx. 
– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. 
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = ½sinx½ 
 sin , neáu sin x 0sin
-sin x, neáu sin x < 0.
xy x ì ³= = í
î
Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. 
– Vẽ đồ thị y = cosx. 
– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cosy x= + bằng cách tịnh tiến đồ thị cosy x= lên 
trục hoành 1 đơn vị. 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2é ùë ûp : 
y 
x –2 3
2
p- 3
2
p 2p 
2
p p O -p 
2
p-
y = –sinx 1 
–1 
p 
2
p- 3
2
p 2p 
2
p p O 
y = /sinx/ 
y 
1 
x 
x 0 
2
p p 3
2
p 2p 
y = cosx 
1 
0 
–1 
0 
1 
y = 1 + cosx 
2 
1 
0 
1 
2 
2
p-
O 
y = 1 + cosx 
y 
x -p 
2
p p 3
2
p 
y = cosx 
2 
1 
–1 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 9 
 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. 
– y = sin2x có chu kỳ T = p 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2é ùë ûp : 
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. 
– y = cos2x có chu kỳ T = p 
– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2é ùë ûp : 
O 
y 
x 
2
p
4
p
1 
2
p
4
p
y = cos2x 
–1 
3
4
p
2
p- O 
y 
x p 
4
p-
4
p
1 
3
2
p 
2
p 5
4
p 
y = sin2x 
–1 
x 
2
-
p 
4
-
p 0 
2
p 
2
p 
2x -p 
2
p
- 0 
2
p p 
y = sin2x 
0 
–1 
0 
1 
0 
x 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p
2
p
2x -p 
2
p
- 0 
2
p
 p 
y = cos2x 
–1 
0 
1 
0 
–1 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 10 
 Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin
4
y x
æ ö
= +ç ÷
è ø
p có chu kỳ T = 2p . 
Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos
4
y x
æ ö
= -ç ÷
è ø
p có chu kỳ T = 2p . 
x – p 3
4
-
p 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
4
p p 
x
4
p
+ 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
2
p 0 5
4
p 
y sin x
4
pæ ö= +ç ÷
è ø
2
2
-
–1 
2
2
-
0 
2
2
1 
2
2
0 
2
2
-
x – p 
3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
4
p p 
x
4
p
- 5
4
p
- -p 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
4
p 
y cos x
4
pæ ö= -ç ÷
è ø
2
2
-
–1 
2
2
-
0 
2
2
1 
2
2
0 
2
2
-
3
2
p O 
y 
x -p 3
4
p- 
2
p-
4
p-
4
p 
2
p 3
4
p p 5
4
p 7
4
p 
y = sin x
4
pæ ö+ç ÷
è ø
1 
2 / 2
2 / 2- 
–1 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 11 
 Ví dụ 12: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin
4
y x x x
æ ö
= + = +ç ÷
è ø
p có chu kỳ T = 2p . 
Ví dụ 13: Vẽ đồ thị cos sin 2 cos
4
y x x x
æ ö
= - = +ç ÷
è ø
p có chu kỳ T = 2p . 
x – p 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
4
p p 
x
4
p
+ 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 0 
4
p 
2
p 3
4
p p 5
4
p 
pæ ö+ç ÷
è ø
sin x
4
2
2
-
–1 2
2
0 2
2
1 2
2
0 2
2
-
2 sin x
4
pæ ö+ç ÷
è ø
–1 
2- 
–1 
0 
1 
2 
1 
0 
–1 
sin x cosx+ 
1 
2 
1 
0 
1 
2 
1 
0 
1 
3
2
p O 
y 
x -p 3
4
p- 
2
p-
4
p-
4
p 
2
p 3
4
p p 5
4
p 7
4
p 
y = 2 sin x
4
pæ ö+ç ÷
è ø
 1 
2
2-
–1 
4
p 
2
p O 
y 
x 3
4
p- 2
p--p 5
4
p 3
2
p p 
y = sin x cosx+ 
4
p- 3
2
p 7
4
p 
1 
2
x p 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- 
0 
4
p 
2
p 3
4
p p 
cosx –1 2
2
- 0 2
2
 1 2
2
 0 2
2
- –1 
sinx 0 2
2
- –1 2
2
- 0 2
2
 1 2
2
 0 
cosx – sinx –1 0 1 2 1 0 –1 2- –1 
cosx sin x- 
1 
0 
1 
2 
1 
0 
1 
2 
1 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 12 
Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx. 
– Tập xác định: \ . ,
2
D R k k Z
ì ü
= Îí ý
î þ
p 
– Chu kỳ T = p . 
y 
x 3
4
p
- 
2
p
-
4
p
- -p o 
4
p 
2
p 3
4
p p 5
4
p 
y = cosx – sinx 
2 
1
1-
2-
y 
x 3
4
p
- 
2
p
- 
4
p
- -p o 
4
p 
2
p 3
4
p p 5
4
p
y = ½cosx – sinx½ 
2
1 
x 
2
p
- 
3
p
- 
4
p
- 
6
p
- 
0 
6
p 
4
p 
3
p 
2
p 
tanx || 3- –1 3
3
 0 3
3
 1 3 || 
cotx 0 3
3
- –1 3- || 3 1 3
3
 0 
y = 
tanx + cotx 
–¥ 
4 3
3
- 
2 
4 3
3
- 
–¥ 
+¥ 
4 3
3
2 
4 3
3
+¥ 
x 
y 
y = tanx + cotx 
4 3
3
2 
4 3
3
–2 
2
p
-
3
p
-
4
p
-
6
p
-
6
p 
4
p 
3
p 
2
p O 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 13 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
1. Phương trình sinx = sina 
 a) 2sin sin ( )
2
x kx k Z
x k
é = += Û Îê = - +ë
a pa
p a p
 b) 
sin . : 1 1.
arcsin 2sin ( )
arcsin 2
x a Ñieàu kieän a
x a kx a k Z
x a k
= - £ £
é = += Û Îê = - +ë
p
p p
 c) sin sin sin sin( )u v u v= - Û = - 
 d) sin cos sin sin
2
u v u v
æ ö
= Û = -ç ÷
è ø
p 
 e) sin cos sin sin
2
u v u v
æ ö
= - Û = -ç ÷
è ø
p 
Các trường hợp đặc biệt: 
 sin 0 ( )x x k k Z= Û = Îp 
 sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= Û = + Î
p
p sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= - Û = - + Î
p
p 
 2 2sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± Û = Û = Û = Û = + Î
p
p 
2. Phương trình cosx = cosa 
 a) cos cos 2 ( )x x k k Z= Û = ± + Îa a p 
 b) cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Ñieàu kieän a
x a x a k k Z
= - £ £
= Û = ± + Îp
 c) cos cos cos cos( )u v u v= - Û = -p 
 d) cos sin cos cos
2
u v u v
æ ö
= Û = -ç ÷
è ø
p 
 e) cos sin cos cos
2
u v u v
æ ö
= - Û = +ç ÷
è ø
p 
Các trường hợp đặc biệt: 
 cos 0 ( )
2
x x k k Z= Û = + Î
p
p 
 cos 1 2 ( )x x k k Z= Û = Îp cos 1 2 ( )x x k k Z= - Û = + Îp p 
 2 2cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± Û = Û = Û = Û = Îp 
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 14 
 3. Phương trình tanx = tana 
 a) tan tan ( )x x k k Z= Û = + Îa a p 
 b) tan arctan ( )x a x a k k Z= Û = + Îp 
 c) tan tan tan tan( )u v u v= - Û = - 
 d) tan cot tan tan
2
u v u v
æ ö
= Û = -ç ÷
è ø
p 
 e) tan cot tan tan
2
u v u v
æ ö
= - Û = +ç ÷
è ø
p 
Các trường hợp đặc biệt: 
 tan 0 ( )x x k k Z= Û = Îp tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± Û = ± + Î
p
p 
4. Phương trình cotx = cota 
 cot cot ( )x x k k Z= Û = + Îa a p 
 cot arccot ( )x a x a k k Z= Û = + Îp 
Các trường hợp đặc biệt: 
 cot 0 ( )
2
x x k k Z= Û = + Î
p
p cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± Û = ± + Î
p
p 
5. Một số điều cần chú ý: 
 a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc 
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. 
 * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).
2
x k k Z¹ + Î
p
p 
 * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z¹ Îp 
 * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )
2
x k k Z¹ Î
p 
 * Phương trình có mẫu số: 
 · sin 0 ( )x x k k Z¹ Û ¹ Îp 
 · cos 0 ( )
2
x x k k Z¹ Û ¹ + Î
p
p 
 · tan 0 ( )
2
x x k k Z¹ Û ¹ Î
p 
 · cot 0 ( )
2
x x k k Z¹ Û ¹ Î
p 
 b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau 
để kiểm tra điều kiện: 
 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 
 2. Dùng đường tròn lượng giác. 
 3. Giải các phương trình vô định. 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 15 
 Baøi 1. Giải các phương trình: 
 1) cos 2 0
6
x
æ ö
+ =ç ÷
è ø
p 2) cos 4 1
3
x
æ ö
- =ç ÷
è ø
p 3) cos 1
5
x
æ ö
- = -ç ÷
è ø
p 
 4) sin 3 0
3
x
æ ö
+ =ç ÷
è ø
p 5) sin 1
2 4
xæ ö
- =ç ÷
è ø
p 6) sin 2 1
6
x
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
p 
 7) ( ) 1sin 3 1
2
x + = 8) ( )0 2cos 15 2x - = 9) 
3sin
2 3 2
xæ ö
- = -ç ÷
è ø
p 
 10) 1cos 2
6 2
x
æ ö
- = -ç ÷
è ø
p 11) ( )tan 2 1 3x - = 12) ( )0 3cot 3 10 3x + = 
 13) tan 3 1
6
x
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
p 14) cot 2 1
3
x
æ ö
- =ç ÷
è ø
p 15) cos(2x + 250) = 2
2
- 
Baøi 2. Giải các phương trình: 
 1) x xsin(3 1) sin( 2)+ = - 2) cos cos 2
3 6
x x
æ ö æ ö
- = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p 
 3) cos3 sin 2x x= 4) x x0sin( 120 ) cos2 0- + = 
 5) cos 2 cos 0
3 3
x x
æ ö æ ö
+ + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p 6) sin3 sin 0
4 2
x
x
æ ö
+ - =ç ÷
è ø
p 
 7) tan 3 tan
4 6
x x
æ ö æ ö
- = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p 8) cot 2 cot
4 3
x x
æ ö æ ö
- = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p 
 9) x xtan(2 1) cot 0+ + = 10) x x2cos( ) 0+ = 
 11) x x2sin( 2 ) 0- = 12) x x2tan( 2 3) tan 2+ + = 
 13) 2cot 1x = 14) 2
1sin
2
x = 
 15) 1cos
2
x = 16) 2 2sin cos
4
x x
æ ö
- =ç ÷
è ø
p 
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 Nếu đặt: 2sin sin : 0 1.t x hoaëc t x thì ñieàu kieän t= = £ £ 
Dạng Đặt Điều kiện 
2 sin 0asin x b x c+ + = t = sinx 1 1t- £ £ 
2cos cos 0a x b x c+ + = t = cosx 1 1t- £ £ 
2tan tan 0a x b x c+ + = t = tanx ( )
2
x k k Z¹ + Î
p
p 
2cot cot 0a x b x c+ + = t = cotx ( )x k k Z¹ Îp 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 16 
 Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 
 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) ( )2tan 1 3 tan 3 0x x+ - - = 
 5) ( )24sin 2 3 1 sin 3 0x x- + + = 6) 34 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = 
 7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0 
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 
 1) 4sin23x + ( )2 3 1 cos3 3x+ - = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 
 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) ( )
2
1 3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
- + - + = 
 5) 3
cos x
 + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + 
2
4
1 tan x+
 = 0 
 7) 
2
1
sin x
 = cotx + 3 8) 
2
1
cos x
 + 3cot2x = 5 
 9) cos2x – 3cosx = 24 cos
2
x 10) 2cos2x + tanx = 4
5
Baøi 3. Cho phương trình sin3 cos3 3 cos2sin
1 2sin 2 5
x x x
x
x
æ ö+ +
+ =ç ÷
+è ø
. Tìm các nghiệm của phương 
trình thuộc( )0 ; 2p . 
Baøi 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của 
phương trình thuộc ( );-p p . 
Baøi 5. Giải phương trình : 4 4 4 5sin sin sin
4 4 4
x x x
æ ö æ ö
+ + + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p . 
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX 
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) 
Cách 1: 
· Chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ ta được: 
(1) Û 
2 2 2 2 2 2
sin cosa b cx x
a b a b a b
+ =
+ + +
· Đặt: ( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2a b
a b a b
é ù= = Î ë û
+ +
a a a p 
 phương trình trở thành: 
2 2
sin .sin cos .cos cx x
a b
+ =
+
a a 
2 2
cos( ) cos (2)cx
a b
Û - = =
+
a b 
· Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
2 2 2
2 2
1 .c a b c
a b
£ Û + ³
+
· (2) 2 ( )x k k ZÛ = ± + Îa b p 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 17 
 Cách 2: 
a) Xét 2
2 2
x
x k k= + Û = +
p
p p p có là nghiệm hay không? 
b) Xét 2 cos 0.
2
x
x k¹ + Û ¹p p 
Đặt: 
2
2 2
2 1tan , sin , cos ,
2 1 1
x t t
t thay x x
t t
-
= = =
+ +
 ta được phương trình bậc hai theo t: 
2( ) 2 0 (3)b c t at c b+ - + - = 
 Vì 2 0,x k b c¹ + Û + ¹p p nên (3) có nghiệm khi: 
2 2 2 2 2 2' ( ) 0 .a c b a b c= - - ³ Û + ³D 
 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 0tan .2
x
t= 
 Ghi chú: 
 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 
 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 .a b c+ ³ 
 3) Bất đẳng thức B.C.S: 
 2 2 2 2 2 2.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + £ + + = + 
 2 2 2 2 sin cosmin max tanx x ay a b vaø y a b x
a b b
Û = - + = + Û = Û = 
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
1) cos 3 sin 2x x+ = 2) 
6sin cos
2
x x+ = 3) 3 cos3 sin3 2x x+ = 
4) sin cos 2 sin 5x x x+ = 5) ( ) ( )3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x- - + + - = 
6) 3 sin 2 sin 2 1
2
x x
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
p 
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 
1) 22sin 3 sin 2 3x x+ = 2) ( )sin8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x- = + 
3) 3 18cos
sin cos
x
x x
= + 4) cosx – 3 sin 2 cos
3
x x
æ ö
= -ç ÷
è ø
p 
5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) 
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 
1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 
Baøi 4. Giải các phương trình sau: 
1) 2sin
4
x
æ ö
+ç ÷
è ø
p + sin
4
x
æ ö
-ç ÷
è ø
p = 3 2
2
 2) 3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
æ ö
+ + - =ç ÷
è ø
p 
Baøi 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . 
Baøi 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
Trang 18 
 IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 
DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) 
Cách 1: 
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? 
 Lưu ý: cosx = 0 2sin 1 sin 1.
2
x k x xÛ = + Û = Û = ±
p
p 
· Khi cos 0x ¹ , chia hai vế phương trình (1) cho 2cos 0x ¹ ta được: 
 2 2. tan . tan (1 tan )a x b x c d x+ + = + 
· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 
 2( ) . 0a d t b t c d- + + - = 
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 
1 cos2 sin 2 1 cos2(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
- +
Û + + = 
 .sin 2 ( ).cos2 2b x c a x d a cÛ + - = - - (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
1) ( ) ( )2 22sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x+ - + - = 
2) ( )2 23sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + - = 
3) 2 24sin 3 3 sin .cos 2 cos 4x x x x+ - = 
4) 2 2 1sin sin 2 2 cos
2
x x x+ - = 
5) ( ) ( )2 22sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + - = - 
6) 2 25sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + = 
7) 2 23sin 8sin .cos 4 cos 0x x x x+ + = 
8) ( ) ( )2 22 1 sin sin 2 2 1 cos 2x x x- + + + = 
9) ( ) ( )2 23 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ - + - = 
10) 4 2 2 43cos 4sin cos sin 0x x x x- + = 
11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 
12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 
1) 3 2 3sin 2sin .cos – 3cos 0+ =x x x x 2) 2 2 13 sin .cos sin
2
x x x
-
- = 
3) x x x x x x3 2 2 3sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos 0- - + = 
Baøi 3. Tìm m để phương trình: ( ) 2 21 2 2 1m x x xsin – sin cos+ + = có nghiệm. 
Baøi 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô 
 nghiệm . 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
Trang 19 
 V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 
· Đặt: co