Ôn luyện kiến thức về đường trung trực, đường cao

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
a.  Chứng minh   BOC cân ở O.
b.  Tính số đo góc BOC.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM
GIÁC
BÀI TẬP ÔN TẬP
1. Cho   và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung
trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC.
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực của
ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.
Xem lời giải tại:
3. Cho   và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của ba
đường phân giác của   trùng với giao điểm ba đường trung trực của 
. Tính số đo các góc của  .
Xem lời giải tại:
4. Cho   vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là
trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: 
Xem lời giải tại:
5. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên
Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
 Xem lời giải tại:
6. Cho   ABC có  . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của
AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. 
Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.
Xem lời giải tại:
7. Cho   ABC,  , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và F
lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:
a.   BEH và   CKF là các tam giác đều.
b.  .
Xem lời giải tại:
8. Cho   ABC cân tại A,  . Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trực của
AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho  . Chứng minh
rằng ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy.
Xem lời giải tại:
9. Cho  ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.
a.  Chứng minh  .
b.  Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM:   ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ  , từ C kẻ  . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng
đi qua một điểm.
Xem lời giải tại:
10. Cho   ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một
điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác
AMB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
11. Cho H là trực tâm của   ABC. CMR:  .
Xem lời giải tại:
12. Cho   cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của
đoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao
cho AN = BM. 
a.   là tam giác gì? Vì sao?
b.   cho trước phải có điều kiện gì  ?
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
13. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
vuông. Suy ra FD là phân giác của 
d.  Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
14. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh 
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:
15. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho 
.
a.  Chứng minh MK=KP và 
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh 
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
16. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
 và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia   và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC.
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho
A’D=AD
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh 
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
17. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ   , BK cắt AE ở điểm N, kẻ   , CP cắt AD ở
điểm F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh 
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
18. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên
AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.
a.  Chứng minh 
b.  Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh
góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh
huyền”
Xem lời giải tại:
19. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là
một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By
sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.
Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tam giác POQ là tam giác vuông.
c.  Tam giác ACB là tam giác vuông.
d.  AC//OQ và BC//OP
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác vuông cân ABC, đỉnh A. Cạnh góc vuông AB=AC =a, trên tia AB
lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trên tia CA lấy điểm F sao cho
AF=2a. Kẻ tia   (trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C) Bx cắt
đường thẳng vuông góc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tam giác CDG là tam giác vuông cân
c. 
Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ 
 .
a.  Chứng minh rằng ME=FH
b.  Chứng minh tam giác 
c.  Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi
d.  Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung
điểm của KD nằm trên cạnh BC
Xem lời giải tại:
22. Cho tam giác ABC, vuông tại A,  , trên BC lấy điểm E sao cho 
.
a.  Chứng minh rằng   đều.
b.  Chứng minh  .
c.  Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. 
Chứng minh F là trung điểm của AB.
d.  Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. 
Chứng minh   
Xem lời giải tại:
23. Cho   có  ;  , đường cao BH  .
a.  So sánh các góc 
b.  Tính  ?
c.  Vẽ AD là phân giác của góc A ( ), vẽ   tại I. 
Chứng minh rằng   .
d.  Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh   đều.
e.  Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a. 
b. 
c.  AH là đường trung trực của BC.
d.  Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. 
Chứng minh rằng   cân.
Xem lời giải tại:
25. Cho   vuông tại A. Đường phân giác của góc   cắt AC tại D. Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho  .
a.  Chứng minh 
b.  Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. 
Chứng minh tam giác BCK cân tại C.
c.  Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
26. Cho tam giác ABC, cân tại A  . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: 
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của  .
d.  Giả sử   và  . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng
CF.
Xem lời giải tại:
27. Cho tam giác ABC vuông tại A có  , đường cao AH. Trên tia HA lấy
điểm P sao cho   và trên HC lấy điểm M sao cho  . Chứng
minh rằng:
a. 
b.  P là trực tâm của 
Xem lời giải tại:
28. Cho   có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác 
, các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại E. trên tia đối
của tia AH lấy điểm K sao cho  . Chứng minh rằng:
a. 
b. 
c.  CD, KH, BE đồng quy tại một điểm.
Xem lời giải tại:
29. Cho tam giác ABC ,  , hai đường cao BH, CK  .
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
a.  Tam giác BEH và tam giác CKF là các tam giác đều.
b. 
Xem lời giải tại:
30. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai
điểm C, D sao cho  . Từ B và C kẻ  . Gọi P là
trung điểm của BC. Chứng minh:
a.   đều.
b.  .
c.   đều.
Xem lời giải tại:
31. Cho  cân tại A, đường cao AH. Kẻ   Gọi O là trung điểm của
EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh:
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
32. Cho tam giác ABC vuông ở A,  . D là một điểm trên cạnh AC sao
cho   , E là một điểm trên cạnh AB sao cho  .
Gọi F là giao điểm của BD và CE, I và K là hình chiếu của điểm F lên BC và AC. Lấy
điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH.
a.  Tính 
b.  Chứng minh rằng:∆CHG đều
c.  Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng
d.  Chứng minh rằng:Tam giác DEF là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
33. Cho  ABC nhọn,  , đường cao AH.
a.  Chứng minh 
b.  Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho  , chứng minh rằng 
ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ   từ C kẻ  . Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,
CE, DF cùng đi qua một điểm.
Xem lời giải tại:
34. Cho  ABC nhọn , hai đường cao BN, CM. Trên tia đối của tia BN lấy điểm D
sao cho  , trên tia đối của tia CM lấy điểm E sao cho  .
Chứng minh:
a. 
b. 
c.  Tam giác AED là tam giác vuông cân
Xem lời giải tại:
35. Cho  ABC cân ở A. gọi O là giao điểm của các đường trung trực của  ABC.
Trên tia đối của tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho 
.
a.  Chứng minh 
b.  Chứng minh 
c.  Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là
tia phân giác của góc MON.
Xem lời giải tại:
36. Cho  DEC cân  . Đường trung trực của DC cắt đường
thẳng EC tại A. trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh
rằng: 
a. 
b.   ABC là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
37. Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH, vẽ điểm D sao cho AB là trung trực
của HD, vẽ điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE
với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh:
a.  Tam giác ADE là tam giác cân.
b.  HA là tia phân giác của góc MHN
Xem lời giải tại:
38. Cho tam giác ABC. Lấy điểm P nằm trong tam giác sao cho  .
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của P trên AC và BC; D, E, F lần lượt là trung điểm
của AB, AP, BP. Chứng minh:
a.   .
b.  Tam giác MND là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
39. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia AH lấy điểm D sao cho H
là trung điểm của AD. Trên tia BC lấy điểm E sao cho C là trung điểm của BE. Gọi
M là trung điểm của DE.
a.  Chứng minh ba điểm A, C, M thẳng hàng.
b.  Chứng minh HM // AE.
Xem lời giải tại:
40. Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai
cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE
luôn đi qua một điểm cố định. 
Xem lời giải tại:
41. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Kẻ NH   CM tại H. Kẻ HE   AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và
HM là phân giác của góc BHE.
Xem lời giải tại:
42. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm
D, E trong đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thì DE
có độ dài nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
43. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao
điểm các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng 
.
Xem lời giải tại:
44. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi I là
giao điểm của CM và DN. Chứng minh
a. 
b. 
Xem lời giải tại: