Nghệ thuật sử dụng đường chéo trong giải toán Hóa học - Vũ Khắc Ngọc

Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
 Lâu nay, kỹ thuật giải toán Hóa học vẫn chưa được quan tâm đúng mức, 
đặc biệt là trong chương trình đào tạo của trường phổ thông, dẫn đến tình trạng 
học sinh của chúng ta gặp nhiều khó khăn và lúng túng trong việc giải các bài 
Toán phức tạp, các sách tham khảo về giải toán Hóa học cũng đã có khá nhiều, 
tuy nhiên cũng thật khó có thể tìm được một cuốn sách có thể tóm lược đầy đủ 
các phương pháp giải toán thường gặp. 
 Topic này được lập ra với mong muốn giúp các bạn có được cái nhìn đầy 
đủ nhất về các phương pháp giải các bài tập Hóa, đưa việc giải toán Hóa học 
không chỉ là một kỹ thuật mà là một nghệ thuật của người yêu học Hóa. 
 Bài mở đầu mà tui đặt ra hôm nay là kỹ thuật đường chéo - một kỹ thuật rất 
hay gặp trong các bài toán Hóa phổ thông – linh hồn của “phương pháp 
trung bình”. Lâu nay có không ít người đề cập đến kỹ thuật đường chéo, nhưng 
còn rất hạn chế. Hy vọng bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho các bạn nhiều thông 
tin quý báu về một kỹ thuật quan trọng bậc nhất trong giải toán Hóa học. 
 Nghệ thuật sử dụng đường chéo trong giải toán Hóa học. 
_Kỹ thuật đường chéo được sử dụng rất rộng rãi trong giải toán Hóa học, có mặt 
trong hầu hết các bài toán có sử dụng “phương pháp trung bình” (chú ý là chỉ 
trong hỗn hợp 2 thành phần) 
_Bản chất của kỹ thuật này là vẫn là công thức giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, 
nói cách khác nó là sự hình ảnh hóa định thức cấp 2 trong công thức Crame. 
_ Ưu điểm nổi bật của phương pháp này là hạn chế được số ẩn số trong bài toán, 
nhanh gọn và trình bày trực quan. 
_ Không thể có một định nghĩa chính xác về kỹ thuật này, nên tôi sẽ trình bày các 
dạng bài đặc trưng của phương pháp này thông qua các ví dụ cụ thể có so sánh với 
“phương pháp thông thường” 
 Ở đây, tôi xin điểm qua các dạng toán hết sức cơ bản có dùng đến kỹ thuật 
này, theo thứ tự trong chương trình phổ thông bắt đầu từ lớp 10. Cần nhớ là các 
bài toán trong thực tế phức tạp hơn nhiều, đòi hỏi các bạn phải có sự suy nghĩ, tìm 
tòi để hình thành kỹ thuật giải toán Hóa học một cách đầy đủ và hoàn thiện, không 
thể làm máy móc. Chúc các bạn sẽ tìm thấy nhiều điều thú vị khi vận dụng linh 
hoạt các kỹ năng này! 
 Dành cho học sinh lớp 10 
Dạng 1: Tính toán hàm lượng đồng vị 
 65 63
VD: KLNT của đồng là 63,54. Đồng có 2 đồng vị là Cu29 và Cu29. Tìm phần 
trăm về số nguyên tử của mỗi đồng vị? 
Cách 1: 
 65 63
Đặt x, y lần lượt là phần trăm về số nguyên tử của 2 đồng vị Cu29 và Cu29 (0 < 
x, y < 100, %) 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
Từ các giả thiết trong bài, ta có hệ phương trình: 
 x + y = 100 % 
 65x+ 63 y
 M Cu = = 63,54 
 x+ y
Giải hệ 2 phương trình trên, ta có : x = 27% và y = 73% 
 65 63
Vậy hàm lượng của Cu29 trong tự nhiên là 27% và Cu29 là 73%. 
( Trong cách làm này, còn có thể hạn chế được 1 ẩn nếu khi đặt ta chọn ẩn là x và 
100 – x ) 
Cách 2: 
Áp dụng kỹ thuật đường chéo cho hỗn hợp 2 đồng vị trên trong tự nhiên, ta có: 
65 →
 Cu29 (M = 65) 63,54 – 63 = 0,54 27 
 M Cu = 63,54 
63 →
 Cu29 (M = 63) 65 – 63,54 = 1,46 73 
 → 65 27.100%
 % Cu29 = = 27% 
 27+ 73
Bài tập tương tự: 
 1. KLNT trung bình của Brom là 79,91. Brom có 2 đồng vị trong tự nhiên là 
 79 81
 Br35 và Br35. Tính hàm lượng phần trăm của mỗi đồng vị trong tự nhiên? 
 2. KLNT trung bình của Antimon là 121,76. Antimon có 2 đồng vị trong tự 
 121 123
 nhiên là Sb51 và Sb51 . Tính hàm lượng phần trăm của mỗi đồng vị? 
 3. KLNT trung bình của nguyên tử Bo là 10,812. Mỗi khi có 94 nguyên tử 
 10 11
 B5B thì có bao nhiêu nguyên tử B5 ? 
Dạng 2: Tính tỷ lệ thành phần của hỗn hợp khí qua tỷ khối 
VD: Tỷ khối của một hỗn hợp khí Nitơ và Hidro so với Oxi là 0,3125. Tìm thể 
tích và thành phần phần trăm về thể tích của Nitơ và Hidro có trong 29,12 lít hỗn 
hợp? 
Cách 1: 
Giả sử có 100 mol hỗn hợp trên (phương pháp giả thiết tạm) và số mol của N2 và 
H2 lần lượt là x và y (0 < x,y < 100, mol) 
Từ các giả thiết trong bài, ta có hệ phương trình: 
 x + y = 100 mol 
 28x+ 2 y
 M hh = = 32.0,3125 = 10 
 x+ y
Giải hệ phương trình trên, ta có: x = 30,77 (mol) và y = 69,23 (mol) 
Vì tỷ lệ về số mol cũng bằng tỷ lệ về thể tích trong cùng điều kiện nhiệt độ và áp 
suất nên ta có: %VN2 = 30,77% và %VH2 = 69,23% 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
Từ đó có: VN2 = 29,12 . 30,77/100 = 8,96l và suy ra VH2 = 29,12 – 8,86 = 20,16l 
Cách 2: 
Áp dụng kỹ thuật đường chéo cho hỗn hợp 2 chất khí ở trên, ta có: 
 →
N2 (M = 28) 8 4 
 M hh = 32.0,3125 = 10 
 →
H2 (M = 2) 18 9 
 → 4.100%
 %VN2 = = 30,77% 
 4+ 9
Bài tập tương tự: 
1, Cần thêm bao nhiêu lít khí N2 vào 29,12 lít hỗn hợp khí ở VD trên để thu được 
một hỗn hợp mới có tỷ khối hơi so với O2 là 0,46875. 
2, Một hỗn hợp khí gồm N2 và H2 có tỷ khối hơi so với khí Hidro là 3,6. Sau khi 
đun nóng một thời gian với bột sắt ở 550*C thì thấy tỷ khối của hỗn hợp khí so với 
Hidro tăng lên và bằng 4,5. 
 a, Tính thành phần của hỗn hợp khí trước và sau phản ứng 
 b, Tính xem có bao nhiêu phần trăm thể tích của N2 và Hidro đã tham gia 
 phản ứng. Cho biết phản ứng giữa N2 và H2 xảy ra không hoàn toàn: 
 N2 + 3H2 2NH3 
3, Khi hòa tan hoàn toàn 2,72 gam hỗn hợp Canxi cacbua (CaC2) và Nhôm cacbua 
(Al4C3) vào dung dịch HCl 2M người ta thu được một lượng khí có tỷ khối so với 
Hidro bằng 10. 
 a, Xác định thành phần phần trăm khối lượng của các chất rắn ban đầu. 
 b, Tính thể tích dung dịch HCl 2M tối thiểu cần dùng để hòa tan hỗn hợp. 
 c, Tính thể tích khí thu được ở 27,3*C và 836 mm Hg 
4, Tỷ khối của một hỗn hợp gồm O2 và O3 đối với He là 10,24. Nếu cho hỗn hợp 
này đi từ từ qua dung dịch KI có dư thì thu được 50 lít khí. 
 a, Xác định thể tích của O2 và O3 có trong hỗn hợp 
 b, Cần thêm vào hỗn hợp trên bao nhiêu lít khí O3 để thu được hỗn hợp mới 
 có tỷ khối so với He là 10,667. 
5, Trộn 13 gam một kim loại M có hóa trị 2 ( M đứng trước Hidro trong dãy 
Bêkêtốp) với Lưu huỳnh rồi nung nóng để phản ứng xảy ra hoàn toàn, thu được 
chất rắn A. Cho A phản ứng với 300ml dung dịch H2SO4 1M (acid lấy dư), thì thu 
được hỗn hợp khí B nặng 5,2 gam (tỷ khối hơi của B với Oxi là 0,8125) và dung 
dịch C. 
 a, Xác định kim loại M và nồng độ mol/lit của dung dịch C (giả sử thể tích 
 dung dịch không đổi). Biết rằng muối MSO4 tan trong nước. 
 b, Cho 250ml dung dịch NaOH có nồng độ chưa biết vào ½ dung dịch C thì 
 thu được 1 kết tủa. Đem nung kết tủa đến khối lượng không đổi thì được 
 chất rắn D nặng 6,075 gam. Tính nồng độ mol/lít của dung dịch NaOH. 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
 (Đại học Tài chính 1988) 
 Dành cho học sinh lớp 11 
 Dạng 3: Tính toán trong pha chế dung dịch 
 Công thức chung: 
1, Nồng độ phần trăm: 
 Trộn m1 (gam) dung dịch A% (lớn) với m2 (gam) dung dịch nồng độ a% (nhỏ 
hơn) thì được dung dịch có nồng độ X% thỏa mãn: 
 m1 A% X% 
 X - a 
 m2 a% A – X 
 X− a m
⇒ = 1 
 A − X m2
Nếu giả thiết là tỷ khối của dung dịch thay đổi không đáng kể thì ta có: 
 X− a V
 = 1 
 A − X V2
2, Nồng độ mol/lit: 
 Trộn V1 (lit) dung dịch A (mol/l) với V2 (lit) dung dịch a (mol/l) với giả thiết 
thể tích dung dịch hao hụt không đáng kể thì ta được dung dịch có nồng độ X 
(mol/l) thỏa mãn: 
 V1 A (M) X - a 
 X (M) 
 V2 a (M) A – X 
 X− a V
 ⇒ = 1 
 A − X V2
VD: Cần bao nhiêu ml dd NaCl 3% để pha 500 ml dung dịch nước muối sinh lý, 
giả thiết rằng tỷ khối của dung dịch thay đổi không đáng kể? 
 (Bài thực tập Hóa Sinh của SV năm thứ 2 khoa Sinh học ĐH KHTN HN) 
Nước muối sinh lý là dung dịch NaCl 0,9% 
Cách 1: 
Đặt x, y lần lượt là thể tích của NaCl 3% và H2O cần dùng (0 < x,y <500). 
Ta có hệ phương trình: 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
 V = x+ y = 500 (ml) 
 mNaCl = x.3% = 500.0,9% 
Giải hệ trên, ta được: x = 150 ml và y = 350 ml 
Cách 2: 
Áp dụng công thức đường chéo, ta có: 
NaCl (3%) 0,9 
 NaCl (0,9%) 
H2O (0%) 2,1 
⇒ 9,0
 VNaCl = . 500 = 150 ml 
 2,1+ 0,9
Bài tập tương tự:
1, Trình bày cách pha dd ethanol 50% từ 2 dd ethanol 90% và 30%. 
2, Cần dùng bao nhiêu gam nước để hòa tan 1,4 mol xút thì thu được dung dịch 
 25% 
3, Phải hòa tan bao nhiêu ml dd HCl 1,6M với 20 ml dd HCl 0,5M để được dung 
 dịch CuSO4 
4, Xác định thể tích dung dịch HCl 10M và thể tích H2O cần dùng để pha thành 
 400ml dd 2M 
5, Xác định lượng nước cần dùng để hòa tan 188g Kali oxit để điều chế dd KOH 
 5,6% 
6, Cần bao nhiêu gam dd Fe(NO3)2 20% và bao nhiêu gam H2O để pha thành 500g 
 dd Fe(NO3)2 8%. 
Chú ý: Cách làm trên còn có thể áp dụng trong các bài toán pha chế dung dịch 
biểu diễn qua pH, bạn đọc tự lấy VD (Sao băng lạnh giá) 
Dạng 4: Tính thành phần muối trong phản ứng đơn bazơ với đa acid 
Đây là dạng toán đã được giới thiệu cả trong chương trình Hóa học lớp 9 và 
Chương Nitơ – Phospho trong Hóa học 11. Tuy nhiên, các Giáo viên và Học sinh 
vẫn còn đi theo lối mòn trong việc giải quyết dạng Toán này. 
VD: Thêm 250ml dung dịch NaOH 2M vào 200ml dung dịch H3PO4 1,5M 
a, Tính khối lượng muối tạo thành? 
b, Tính nồng độ mol/l của dung dịch tạo thành? 
(Bài tập 80 trang 100 – Giải Toán Hóa học 11 - Nguyễn Trọng Thọ (chủ biên)) 
Cách 1: (Đây chính là lối mòn) 
Phản ứng giữa NaOH và H3PO4 có thể xảy ra như sau: 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
 nNaOH
NaOH + H3PO4 = NaH2PO4 + H2O (1) ⇒ = 1 
 n
 H34PO
 nNaOH
2NaOH + H3PO4 = Na2HPO4 + H2O (2) ⇒ = 2 
 n
 H34PO
 nNaOH
3NaOH + H3PO4 = Na3PO4 + H2O (3) ⇒ = 3 
 n
 H34PO
 n 0,2.5,2 0,5
Ở đây, NaOH = = = 1,67 ⇒ 1 < 1,67 < 2 
 n 0,2.1,5 0,3
 H34PO
⇒ có 2 loại muối Na2HPO4 và NaH2PO4 tạo thành theo (1) và (2). Đặt a mol, b 
mol lần lượt là số mol của NaH2PO4 và Na2HPO4 tạo thành do (1) và (2), ta có hệ 
phương trình: 
 a + 2b = 0,5 
 a + b = 0,3 
Giải hệ phương trình trên, ta được: a = 0,1 và b = 0,2 
Vậy, m = 120.0,1 = 12g; m = 142.0,2 = 28,4g 
 NaH24 PO Na2 HPO4
Tổng thể tích dung dịch là: 250 + 200 = 450ml = 0,45 l 
 0,1
[NaH24 PO ] = = o,22M 
 0, 45
 0, 2
[Na24 HPO ] = = 0,44M 
 0, 45
(Chép y chang bài giải trong Sách) 
Cách 2: Cách làm đường chéo của Sao băng: 
Không cần viết phản ứng mà nhìn vào CTPT, ta cũng có thể thấy được tỷ lệ 
 n
n= NaOH , và nếu áp dụng đường chéo, ta có như sau: 
 n
 H34PO
Na2HPO4 (n1 = 2) 2/3 Æ 2 
 0,2.5,2 0,5
 n = = 
 0,2.1,5 0,3
NaH2PO4 (n2 = 1) 1/3 Æ 1 
Mà tổng số mol H3PO4 là n = 0,3 
 ∑ H34PO
Nên dễ dàng có kết quả như trên. 
Ghi chú: Đây không phải là một dạng Toán hay gặp và quan trọng nên đề nghị 
bạn đọc tự lấy VD thêm 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
 Dành cho học sinh lớp 12 
Dạng 6 Bài toán hỗn hợp 2 chất vô cơ của 2 Kim loại cùng hóa trị và khả năng 
phản ứng. 
Thật ra dạng toán này có thể tìm thấy cả trong chương trình lớp 9, 10, 11 nhưng 
tập trung hơn cả ở phần Kim loại của chương trình Hóa học 12, thường đươc giải 
bằng phương pháp M 
VD: Hòa tan 28,4g một hỗn hợp gồm 2 muối cacbonat của 2 Kim loại hóa trị 2 
bằng dung dịch HCl dư, thu được 6,72 lít khí ở đktc và 1 dung dịch A 
a, Tính tổng số gam của 2 muối Clorua có trong dung dịch A. 
b, Xác định tên 2 kim loại nếu 2 kim loại đó thuộc 2 chu kỳ lien tiếp của phân 
nhóm IIA. 
c, Tính thành phần phần trăm của mỗi muối trong hỗn hợp ban đầu. 
d, Nếu dẫn toàn bộ khí CO2 cho hấp thụ hoàn toàn vào 1,25 lít dung dịch Ba(OH)2 
để thu được 39,4g kết tủa thì nồng độ mol/l của dung dịch Ba(OH)2 là bao nhiêu? 
Cho: Be = 9, Mg = 24, Ca = 40, Ba = 137, Sr = 87 
Lời giải: 
Câu a của bài toán giải băng phương pháp Tăng - giảm khối lượng, dễ dàng có 
m =31,7g 
 MCL2
Câu b, dễ dàng có M = 34,67 từ đó suy ra 2 Kim loại tạo muối là Ca và Mg 
Câu c của bài toán có 2 cách giải: 
Cách 1: 
Gọi a, b lần lượt là số mol của MgCO3 và CaCO3 trong 28,4g hỗn hợp ban đầu. Ta 
có hệ phương trình: 
 mab=+84 106 = 28,4 
 MCO3
 mab=+95 111 = 31,7 
 MCl2
Giải hệ phương trình trên ta có: a = 0,1 mol và b = 0,2 mol 
Cách 2: 
Áp dụng công thức đường chéo cho hỗn hợp 2 muối Cacbonat, ta có: 
 32
CaCO3 (M = 100) 0,2 mol 
 3
 284
 M = 
 3
 16
MgCO3 (M = 84) 0,1 mol 
 3
Bài tập tương tự:
1. Một dung dịch X chứa 2 muối ACl2 và BCl2 (A, B là 2 kim loại thuộc cùng một 
phân nhóm chính và 2 chu kỳ lien tiếp). Tổng khố lượng 2 muối là 44,5 gam. 
Dung dịch phản ứng vừa đủ với dung dịch chứa AgNO3 và Pb(NO3)2 tạo ra kết 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
tủa nặng 140,8 gam. Dung dịch Y khi tác dụng với H2SO4 dư cho ra 70,9 gam kết 
tủa. 
 a, Tính số mol AgNO3 và Pb(NO3) chứa trong dung dịch Y 
 b, Suy ra tổng số mol ACl2 và BCl2 trong dung dịch X. Xác định A, B và số 
 mol mỗi muối ACl2, BCl2. 
2. Xét một hỗn hợp 2 muối Clorua của 2 kim loại kiềm A và B với khối lượng 
nguyên tử của A nhỏ hơn của B và A, B ở 2 chu kỳ liên tiếp. Cho 19,15g hỗn hợp 
X tác dụng vừa đủ với 300g dung dịch AgNO3, sau phản ứng ta thu được 43,05g 
kết tủa và một dung dịch D. 
 a, Xác định nồng độ phần trăm của dung dịch AgNO3 
 b, Cô cạn dung dịch D ta thu được bao nhiêu gam muối khan? 
 c, Định tên và khối lượng các muối Clorua trong hỗn hợp X 
Cho: Li = 7, Na = 23, K = 39, Rb = 85, Cs = 133, Ag = 108, N = 14, Cl = 35,5, O 
= 16 
3. Một hỗn hợp X gồm 2 kim loại A và B cùng có hóa trị 2, có khối lượng nguyên 
tử của X là 19,3 gam 
 a, Xác định A, B và khối lượng A, B trong X biết rằng khi cho X tác dụng 
 với dung dịch HCl dư chỉ có A tan cho ra 2,24 lít khí H2 (đktc) 
 b, Nếu lấy cùng một lượng X như trên cho vào 200ml dung dịch Y chưa chứa 
 AgNO3 1M và Hg(NO3)2 0,5M, tính khối lượng chất rắn Z thu được (Hg = 
 200) 
4. Một hỗn hợp X gồm 2 muối cacbonat kim loại kiềm A, B thuộc 2 chu kỳ lien 
tiếp của bảng hệ thống tuần hoàn có tổng khối lượng là 41,9 gam. 
 a, Xác định A, B và số mol mỗi cacbonat trong hỗn hợp X biết rằng khi cho 
 X tác dụng với H2SO4 dư và cho khí CO2 tạo ra phản ứng hết với nước vôi 
 dư ta được 35 gam kết tủa. 
 b, Dùng 83,8 gam hỗn hợp X cho tác dụng với 1 dung dịch Y chứa HCl 0,3M 
 và H2SO4 0,2M. Phải dùng bao nhiêu lít dung dịch Y để phản ứng vừa đủ với 
 lượng X ở trên, biết phản ứng tạo ra CO2? 
5. Một hỗn hợp X gồm 2 kim loại A, B (đều hóa trị 2) với MA ≈ MB, mX = 9,7 
gam. Hỗn hợp X tan hết trong 200 ml dung dịch Y chứa H2SO4 12M và HNO3 2M 
tạo ra hỗn hợp Z gồm 2 khí SO2 và NO có tỷ khối của Z đối với H2 bằng 23,5 và V 
= 2,588 lít (đktc) và dung dịch T 
 a, Tính số mol SO2 và NO trong hỗn hợp Z 
 b, Xác định A, B và khối lượng mỗi kim loại trong hỗn hợp X 
 Tổng kết về kỹ thuật đường chéo 
vukhacngoc@gmail.com  
Sao băng lạnh giá – Vũ Khắc Ngọc 0985052510 
Hy vọng là qua một loạt các VD và bài tập ở trên các bạn đã có thể hiểu thêm 
được phần nào bản chất và những nét ưu việt của phương pháp đường chéo để áp 
dụng trong giải Toán hóa học. Việc phân chia các dạng toán như trên là hoàn toàn 
chủ quan và tương đối, từ việc nắm được bản chất của phương pháp mà các bạn có 
thể đúc rút và mở rộng thêm các dạng toán khác một cách linh hoạt. 
VD: Đốt cháy hoàn toàn 28 gam một dây sắt ta thu được 39,2 gam hỗn hợp Fe2O3 
và Fe3O4. Tính thành phần phần trăm của Fe đã chuyển thành Fe2O3 và Fe3O4. 
Cách 1: 
Đặt x và y lần lượt là số mol Fe đã chuyển thành Fe2O3 và Fe3O4. 
Từ giả thiết, ta có hệ phương trình: 
 28
 nFe =+x ym= =0,5 ol 
 56
 1
 mhh = 160.0,5x + 232. y = 39,2 g 
 3
Giải hệ 2 phương trình trên ta thu được kết quả: x = 0,2 và y = 0,3. 
Từ đó rút ra tỷ lệ là 40% và 60%. 
 Cách 2: 
Gọi oxit thu được có công thức: Fex Oy , ta có: nFe = 0,5 mol, 
 39,2− 28 x 5
nO= = 0,7mol . Như vậy, tỷ lệ = . 
 16 y 7
Từ đó áp dụng công thức đường chéo, ta có: 
 x 2 1
Fe2O3 ( = ) 
 y 3 28
 x 5
 Fe O ( = ) 
 x y y 7
 x 3 1
Fe3O4 ( = ) 
 y 4 21
từ đó cũng tìm ra được kết quả như trên. 
Chúc các bạn tìm được nhiều điều thú vị khi áp dụng linh hoạt phương pháp giải 
toán hóa học này! 
vukhacngoc@gmail.com