Một trăm bài tập Hình học lớp 9

trên đoạn thẳng cố định.
1/c/m:OMNP nội tiếp:(Sử dụng hai điểm M;N cùng làm với hai đầu đoạn OP một góc vuông.
2/C/m:CMPO là hình bình hành:
Ta có: CD^AB;MP^ABÞCO//MP.u
 C
 K
 A O M B
 N
 D P y
Hình 67 554
Do OPNM nội tiếpÞOPM=ONM(cùng chắn cung OM).
DOCN cân ở O ÞONM=OCMÞOCM=OPM.
Gọi giao điểm của MP với (O) là K.Ta có PMN=KMC(đ đ) ÞOCM=CMK ÞCMK=OPMÞCM//OPv.Từ u và v ÞCMPO là hình bình hành.
3/Xét hai tam giác OCM và NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtròn)
ÞNCD là tam giác vuông.ÞHai tam giác vuông COM và CND có góc C chung.
ÞDOCM~DNCDÞCM.CN=OC.CDw
Từ w ta có CD=2R;OC=R.Vậyw trở thành:CM.CN=2R2 không đổi.vậy tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của vị trí của M.
4/Do COPM là hình bình hànhÞMP//=OC=RÞKhi M di động trên AB thì P di động trên đường thẳng xy thoả mãn xy//AB và cách AB một khoảng bằng R không đổi.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 68:
 Cho DABC có A=1v và AB>AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng minh:
AFHE là hình chữ nhật.
BEFC nội tiếp
AE. AB=AF. AC
FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Chứng tỏ:BH. HC=4. OE.OF.
Hình 68 554
 A
 E O
 F
 B I H K C
1/ C/m: AFHE là hình chữ nhật. BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtròn); EAF=1v(gt) Þđpcm.
2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE là hình chữ nhật.ÞDOAE cân ở O ÞAEO=OAE. Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)ÞAEF=ACB mà AEF+BEF=2vÞBEF+BCE=2vÞđpcm
3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xét hai tam giác vuông AEF và ACB có AEF=ACB(cmt) ÞDAEF~DACBÞđpcm
4/ Gọi I và K là tâm đường tròn đường kính BH và CH.Ta phải c/m FE^IE và FE^KF.
-Ta có O là giao điểm hai đường chéo AC và DB của hcnhật AFHEÞEO=HO; IH=IK cùng bán kính); AO chungÞ DIHO=DIEO ÞIHO=IEO mà IHO=1v (gt)Þ IEO=1vÞ IE^OE tại diểm E nằm trên đường tròn. Þđpcm. Chứng minh tương tự ta có FE là tt của đường tròn đường kính HC.
5/ Chứng tỏ:BH.HC=4.OE.OF.
Do DABC vuông ở A có AH là đường cao. Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:AH2=BH.HC. Mà AH=EF và AH=2.OE=2.OF(t/c đường chéo hình chữ nhật)Þ BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF 
Bài 69:
 Cho DABC có A=1v AH^BC.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E.
Tính góc DOE.
Chứng tỏ DE=BD+CE.
Chứng minh:DB.CE=R2.(R là bán kính của đường tròn tâm O)
C/m:BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính DE.
 E
 I
 A
Hình 69 554
 D 2
4
 1 2 3 
1
H O
C
 B 
1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chungÞHai tam giác vuông DOB bằng DOAÞO1=O2.Tương tự O3=O4.ÞO1+O4=O2+O3.
Ta lại có O1+O2+O3+O4=2vÞ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o. 
2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) và DE=DA+AE
ÞDE=DB+CE.
3/Do DDE vuông ở O(cmt) và OA^DE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt)
ÞR2=AD.AE. 
4/Vì DB và EC là tiếp tuyến của (O)ÞDB^BC và DE^BCÞBD//EC.Hay BDEC là hình thang.
Gọi I là trung điểm DEÞI là tâm đường tròn ngoại tiếp DDOE.Mà O là trung điểm BCÞOI là đường trung bình của hình thang BDECÞOI//BD.
Ta lại có BD^BCÞOI^BC tại O nằm trên đường tròn tâm IÞBC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DDOE.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 70:
 Cho DABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.Gọi HD là đường kính của đường tròn (A;AH).Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E.
Chứng minh DBEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE.C/m:AI=AH.
C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 
C/m:BE=BH+DE.
Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K.Và AH=2R.Tính diện tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K.
 D E
Hình 70 554
 I
 A
 —K
 C H B
1/C/m:DBEC cân:.Xét hai tam giác vuông ACH và AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE là tiếp tuyến của (A)ÞHD^DE và DH^CB gt)ÞDE//CHÞDEC=ECHÞDACH=DAEDÞCA=AEÞA là trung điểm CE có BA^CEÞBA là đường trung trực của CEÞDBCE cân ở B.
2/C/m:AI=AH. Xét hai tam giác vuông AHB và AIB(vuông ở H và I) có AB chung và BA là đường trung trực của Dcân BCE(cmt) ÞABI=ABH ÞDAHB=DAIB ÞAI=AH.
3/C/m:BE là tiếp tuyến của (A;AH).Do AH=AIÞI nằm trên đường tròn (A;AH) mà BI^AI tại IÞBI là tiếp tuyến của (A;AH) 
4/C/m:BE=BH+ED.
Theo cmt có DE=CH và BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE Þđpcm.
5/Gọi S là diện tích cần tìm.Ta có:
S=S(A)-S(K)=pAH2-pAK2=pR2-
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 71:
 Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ.Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC tại P.
C/m:Q;N;C thẳng hàng.
CP.CB=CN.CQ.
C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM.
Hình 71 554
1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:
Gọi Tâm của đường tròn đường kính AM là O và đường tròn đường kính DC là I.
-Do AQMD nội tiếp nên ADM+AMQ=2v
Mà ADM=1v ÞAQM=1v và DAQ=1vÞAQMD là hình chữ nhật.
ÞDQ là đường kính của (O) ÞQND=1v(góc nt chắn nửa đường tròn
 A Q B
 O P
 N
 H
 D I M C
-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtròn tâm I)ÞQND+DNC=2vÞđpcm.
2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vuông CPN và CBQ đồng dạng (có góc C chung)
3/Gọi H là giao điểm của AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm trên đường tròn tâm O,đường kính AM.
-Do QBCM là hcnhậtÞDMQC=DBQC.
Xét hai tam giác vuông BQC và CDP có:QCB=PDC(cùng bằng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vuông)ÞDBQC=DCDPÞDCDP=DMQCÞPC=MC.Mà C=1vÞDPMC vuông cân ở CÞMPC=45o và DBC=45o(tính chất hình vuông) ÞMP//DB.Do AC^DBÞMP^AC tại HÞAHM=1vÞH nằm trên đường tròn tâm O đường kính AM.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 72:
 Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K.
C/m:DAHK cân.
Gọi I là giao điểm của BE với CD.C/m:AI^DE
C/m CEKI nội tiếp.
C/m:IK//AB.
DABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC.
1/C/m:DAKH cân:
sđ AHK=sđ(DB+AE)
sđ AKD=sđ(AD+EC)
(Góc có đỉnh nằm trong đường tròn)
Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)
ÞAHK=AKDÞđpcm.
 A
 E
 D H K
 I ·O
 B C
Hình 72 554
2/c/m:AI^DE
Do cung AE=ECÞABE=EBC(góc nt chắn các cung bằng nhau)ÞBE là phân giác của góc ABC.Tương tự CD là phân giác của góc ACB.Mà BE cắt CD ở IÞI là giao điểm của 3 đường phân giác của DAHKÞAI là phân giác tứ 3 mà DAHK cân ở AÞAI^DE.
3/C/m CEKI nội tiếp:
Ta có DEB=ACD(góc nt chắn các cung AD=DB) hay KEI=KCIÞđpcm.
4/C/m IK//AB
Do KICE nội tiếpÞIKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn cung BC)ÞBAC=IKCÞIK//AB.
5/DABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC:
Nếu AI//EC thì EC^DE (vì AI^DE)ÞDEC=1vÞDC là đường kính của (O) mà DC là phân giác của ACB(cmt)ÞDABC cân ở C.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 73:
 Cho DABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E.
C/m góc DA’C=DA’E
C/m DA’DC=DA’DE
Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào?
C/m BAC=2.CEB
1/C/m DA’C=DA’E
Ta có DA’E=AA’B (đđ
Và sđAA’B=sđAB
CA’D=A’AC+A’CA (góc ngoài DAA’C)
Mà sđ A’AC=sđA’C
SđA’CA=sđAC
Hình 73 554
 A
 E
 O A’
 D
 B C
ÞsđCA’D=sđ(A’C+AC)= sđ AC.Do dây AB=ACÞCung AB=AC
ÞDA’C=DA’E.
2/C/m DA’DC=DA’DE.
Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1vÞđpcm.
3/Khi AA’ quay xunh quanh A thì E chạy trên đường nào?
Do DA’DC=DA’DEÞDC=DEÞAD là đường trung trực của CE ÞAE=AC=ABÞKhi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường tròn tâm A;bán kính AC.
4/C/m BAC=2.CEB
Do DA’CE cân ở A’ÞA’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngoài DA’EC).
Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)ÞBAC=2.BEC.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 74:
 Cho DABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB.O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC.H là giao điểm OM với AC>
C/m:OM//BC.
Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D.Cmr:MBCD là hình bình hành.
Tia AM cắt CD tại K.Đường thẳng KH cắt AB ở P.Cmr:KP^AB.
C/m:AP.AB=AC.AH.
Gọi I là giao điểm của KB với (O).Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng.
Hình 74 554
 D
 K C
 I
 M Q H
 A P O B
1/C/m:OM//BC. Cung AM=MC(gt)ÞCOM=MOA(góc ở tâm bằng sđ cung bị chắn).Mà DAOC cân ở OÞOM là đường trung trực của DAOCÞOM^AC.MàBC^AC(góc nt chắn nửa đường tròn)Þđpcm.
2/C/m BMCD là hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) và CD//MB (gt) Þđpcm.
3/C/ KP^AB.Do MH^AC(cmt) và AM^MB(góc nt chắn nửa đtròn); MB//CD(gt)ÞAK^CD hay MKC=1vÞMKCH nội tiếpÞMKH=MCH(cùng chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM) ÞHAK=HKAÞDMKA cân ở HÞM là trung điểm AK.Do DAMB vuông ở M ÞKAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)ÞMBA=MKH hay KAP+AKP=1vÞKP^AB.
4/Hãy xét hai tam giác vuông APH và ABC đồng dạng(Góc A chung)
5/Sử dụng Q là trực tâm cuỉa DAKB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 75:
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot^ EF, nó cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm).
1.Cmr DABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp.
2.Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K.Tính sđ độ của góc HOK
3.Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp.
4.Chứng minh rằng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHOK.
 A
 K
 H S I
 D
 P M N Q
 B E O F C
Hình 75 554
1/Cm DABC là tam giác đều:Vì AB và AC là hai tt cắt nhau ÞCác DAPO; AQO là các tam giác vuông ở P và Q.Vì IA=IO(gt)ÞPI là trung tuyến của tam gíac vuông AOPÞPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)ÞPO=IO=PIÞDPIO là tam giác đềuÞPOI=60o.ÞOAB=30o.Tương tự OAC=30oÞBAC=60o.Mà DABC cân ở A(Vì đường caoAO cũng là phân giác) có 1 góc bằng 60o ÞABC là tam giác đều.
2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)
ÞGóc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:
POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120oÞHOK=60o.
3/
Bài 76:
 Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt nhau ở F.
C/m:ABCD là thang cân.
Chứng tỏ FD.FA=FB.FC.
C/m:Góc AED=AOD.
C/m AOCF nội tiếp.
 F
Hình 76 554
1/ C/m ABCD là hình thang cân:
Do ABCD là hình thang ÞAB//CDÞBAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)ÞBDC=ACD
Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)ÞADC=BCD
Vậy ABCD là hình thang cân.
2/c/m FD.FA=FB.FC
C/m Hai tam giác FDB và 
 A B
 E
 D C
 O
DFCA đồng dạng vì Góc F chung và FDB=FCA(cmt)
3/C/m AED=AOD:
·C/m F;O;E thẳng hàng: Vì DDOC cân ở OÞO nằm trên đường trung trực của Dc.Do ACD=BDC(cmt)ÞDEDC cân ở EÞE nằm tren đường trung trực của DC.Vì ABCD là thang cân ÞDFDC cân ở FÞF nằm trên đường trung trực của DCÞF;E;O thẳng hàng.
·C/m AED=AOD.
Ta có:Sđ AED=sđ(AD+BC)= .2sđAD=sđAD vì cung AD=BC(cmt)
Mà sđAOD=sđAD(góc ở tâm chắn cung AD)ÞAOD=AED.
4/Cm: AOCF nội tiếp:
+
 Sđ AFC= sđ(DmC-AB)
 Sđ AOC=SđAB+sđ BC
 Sđ (AFC+AOC) =sđ DmC-sđAB+sđAB+sđBCu.
Mà sđ DmC=360o-AD-AB-BCv.Từuvà vÞsđ AFC+sđ AOC=180o.Þđpcm
 ÐÏ(&(ÐÏBài 77:
 Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn.Kẻ OA^xy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C.Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E.Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N.
C/m OBAD nội tiếp.
Cmr: AB.EN=AF.EC
So sánh góc AOD và COM.
Chứng tỏ A là trung điểm DE.
 x
 M E
 C
 N
 O B
 A
 F
Hình 77 554
 D
1/C/m OBAD nt:
 -Do DB là ttÞOBD=1v;OA^xy(gt)ÞOAD=1vÞđpcm.
2/Xét hai tam giác:ABF và ECN có:
-ABF=NBM(đ đ);Vì BM và CM là hai tt cắt nhauÞNBM=ECBÞFBA=ECN.
-Do OCE+OAE=2vÞOCEA nội tiếpÞCEO=CAO(cùng chắn cung OC)
ÞDABF~DECNÞđpcm.
3/So sánh;AOD với COM:Ta có:
-DĐoABO ntÞDOA=DBA(cùng chắn cung ).DBA=CBM(đ đ)
CBM=MCB(t/c hai tt cắt nhau).Do BMCO ntÞBCM=BOMÞDOA=COM.
4/Chứng tỏ A là trung điểm DE:
Do OCE=OAE=1vÞOAEC ntÞACE=AOE(cùng chắn cung AE)
ÞDOA=AOEÞOA là phân giác của góc DOE.Mà OA^DEÞOA là đường trung trực của DEÞđpcm
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 78:
 Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn.Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 
 1/ Chứng tỏ EC // với OA.
 2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB.
 3/ Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J .Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.
 4/ Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn.
Hình 78 554
 D
 E
 C
 O J
 A
 M
 I
 B
1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CE^BC.Mà OA là phân giác của Dcân ABCÞOA^BCÞOA//EC.
2/xét hai tam giác vuông AOB và ECB có:
-Do OCA+OBA=2vÞABOC ntÞOBC=OAC(cùng chắn cung OC).
mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)ÞEBC=BAOÞDBAO~DCBE
Þ.Ta lại có BE=2RÞđpcm.
3/Chứng minh chu vi DAIJ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.
Gọi P là chu vi D AIJ .Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA.
Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC ÞP=(IA+IB)+(JC+JA)=AB+AC=2AB không đổi.
4/Giả sử BCJI nội tiếpÞBCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2vÞJIA=ACB.Theo chứng minh trên có ACB=CBAÞCBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BC^OAÞJI^OA
Mà OM^JI ÞOMº OAÞM là điểm chính giữa cung BC.
 ÐÏ(&(ÐÏBài 79:
 Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D.
 1/Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn.
 2/Chứng minh:COD=AOB.
 3/Chứng minh:Tam giác COD cân.
 4/Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH ^BK.Gọi I là giao điểm của AH với PK.Chứng minh AI=IH.
 C
 K A
 I Q
 H
 M
 O P
Hình 79 554
 D
 B
1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OM^CD-gt)
2/C/m COD=AOB.Ta có:
Do OMAC ntÞOCM=OAM(cùng chắn cung OM).
Chứng minh tương tự ta có OMDB ntÞODM=MBO(cùng chắn cung OM)
Hai tam giác OCD và OAB có hai cặp góc tương ứng bằng nhau ÞCặp góc còn lại bằng nhauÞCOD=AOB.
3/C/m DCOD cân:
Theo chứng minh câu 2 ta lại có góc OAB=OBA(vì DOAB cân ở O) 
ÞOCD=ODCÞDOCD cân ở O.
4/Kéo dài KA cắt PB ở Q.
Vì AH^BK; QB^BKÞAH//QB. Hay HI//PB và AI//PQ. Aùp dụng hệ quả định lý Talét trong các tam giác KBP và KQP có:
u
v
w
 ÐÏ(&(ÐÏBài 80:
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H.
 1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC.
 3/Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE.
 4/Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI.
 A x
 J E
Hình 80 554
 D ·O
 H
 B K I C
1/C/m:BDEC nội tiếp:
 Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE là đường cao)ÞHai điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn BCÞđpcm
2/c/m AD.AB=AE.AC.
Xét hai tam giác ADE và ABC có Góc BAC chung .
Do BDEC nt ÞEDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2vÞADE=ACB
ÞDADE~DACBÞđpcm.
HKD=EKH
3/Do HKBD ntÞHKD=HBD(cùng chắn cung DH).
Do BDEC ntÞHBD=DCE (cùng chắn cung DE)
Dễ dàng c/m KHEC ntÞECH=EKH(cùng chắn cungHE)
4/C/m JI//AO. Từ A dựng tiếp tuyến Ax. 
xAC=AED
Ta có sđ xAC=sđ cung AC (góc giữa tt và một dây)
.Mà sđABC=sđ cung AC (góc nt và cung bị chắn)
Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)
Vậy Ax//DE.Mà AO^Ax(t/c tiếp tuyến)ÞAO^DE.Ta lại có do BDEC nt trong đường tròn tâm I ÞDE là dây cung có J là trung điểm ÞJI^DE(đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm)Vậy IJ//AO
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 81:
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC)
 1/Chứng minh BDCO nội tiếp.
 2/Chứng minh:DC2=DE.DF
 3/Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn.
 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF.
1/C/m: BDCO nội tiếp
Vì BD và DC là hai tiếp tuyến ÞOBD=OCD=1v
ÞOBD+OCD=2v
ÞBDCO nội tiếp.
2/Cm: :DC2=DE.DF
Xét hai tam giác
DCE và DCF có: D chung
SđECD= sđ cung EC (góc giữa tiếp tuyến và một dây)
 A
 F
 O
 I
 B C
 E
 D
Hình 81 554
Sđ DFC=sđ cung EC (góc nt và cung bị chắn)ÞEDC=DFC
ÞDDCE~DDFC Þđpcm.
3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC=sđ(AF+EC).
Vì FD//AD ÞCung AF=BE Þsđ DIC=sđ(BE+EC)= sđ cung BC
Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC=BOCÞsđ DOC=sđBCÞDOC=DIC
ÞHai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng DC những góc bằng nhau Þđpcm.
4/C/m I là trung điểm EF.
Do DCIO nội tiếpÞDIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)ÞDIO=1v hay OI^FE.Đường kính OI vuông góc với dây cung FE nên phải đi qua trung điểm của FEÞđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏBài 82:
 Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD tại E.
 1/Chứng minh AM là phân giác của góc CMD.
 2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn.
 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM
 4/Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I.Chứng minh NI//CD.
 C
 M
Hình 82 554
 E N
 A O I B
 F
 D
1/C/m AM là phân giác của góc CMD: Ta có: Vì OA^CD và DCOD cân ở O ÞOA là phân giác của góc COD. Hay COA=AODÞcung AC=AD Þgóc CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)Þđpcm.
2/cm EFBM nội tiếp: VìCD^AB(gt)ÞEFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)Þ EFB+ EMB=2vÞđpcm.
3/Cm: AC2=AE.AM.
Xét hai tam giác:ACM và ACE có A chung.Vì cung AD=ACÞhai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
ÞDACE~DAMCÞđpcm
4/Cm NI//CD:
Vì cung AC=ADÞgóc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau) Hay NMI=NBI ÞHai điểm M và B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhau ÞNIBM nội tiếp ÞGóc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) ÞNIB=1v hay NI^AB.Mà CD^AB(gt)ÞNI//CD.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Bài 83:
 Cho DABC có A=1v;Kẻ AH^BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D.
C/m:AEHF nội tiếp.
Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC
Chứng minh EF^DG và FHC=AFE.
Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất.
 G
 A
Hình 83 554
 E
 F
 B H C
 D
1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtròn) FHE=1v
Þ BAC+ FHE=2vÞđpcm.
2/Cm: HG.HA=HD.HC. Xét hai D vuông HAC và HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1vÞGAHD nội tiếp ÞDGH=DAH
( cùng chắn cung DH ÞDGH=HAC ÞDHCA~DHGDÞđpcm.
3/·C/m:EF^DG:Do GH^DF và DA^CG và AD cắt GH ở E ÞE là trực tâm của DCDGÞEF là đường cao thứ 3 của DCDGÞFE^DG.
· C/m:FHC=AFE:
Do AEHF nội tiếp ÞAFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v và AHF+FHC=1vÞAFE=FHC.
4/ Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất:
Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm là trung điểm EF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiêùp tứ giác AEHFÞIA=IHÞĐể EF ngắn nhất thì