Một số dạng toán về số hữu tỉ

g, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
DẠNG TÍNH TOÁN
a. 
−4
15
+ 0, 25 b.  2, 5 −
−3
7
c. 
−7
8
: 1
2
5
d.  0, 15 ⋅
−20
17
a. 
11
12
−
2
5
+ x =
2
3
⋅ b.  x :
1
9
−
2
5
=
−1
2
⋅
c.  x −
1
5
⋅ 1
3
5
+ 2x = 0.
DẠNG TÍNH TOÁN
I. CÁC BÀI CƠ BẢN
1. Tính
Xem lời giải tại:
2. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
3. Tìm x ∈ Z, biết  −1
1
2
:
3
−4
⋅ −4
1
2
−
1
4
<
x
8
< −
1
2
⋅
3
4
:
1
8
+ 1
Xem lời giải tại:
4. Tính hợp lý các phép tính sau:
a.  A =
−3
4
+
2
5
:
3
7
+
3
5
+
−1
4
:
3
7
⋅
b.  B = 2
5
23
+
7
19
−
5
23
+
12
19
+
1
2
⋅
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a.  x −
3
2
(2x + 1) > 0. b.  (2 − x)
4
5
− x < 0.
Xem lời giải tại:
5. Tìm thương trong phép chia số hữu tỉ âm nhỏ nhất viết bởi ba chữ số 1 cho số
hữu tỉ âm lớn nhất viết bởi ba chữ số 1.
Xem lời giải tại:
6. Tìm x ∈ Q, biết
Xem lời giải tại:
7. Cho x =
1
2
− 3, 6
2
3
− 1, 5
; y = 1 −
2
3
−
5
2
; z =
3
5
+
2
3
− 1
1 −
2
3
+
2
5
Tính các biểu thức A =
x
y
; B =
z
x
⋅
Xem lời giải tại:
8. Tìm số nguyên x thỏa mãn: 
7
3
<
x
15
<
13
5
.
Xem lời giải tại:
9. Có bao nhiêu số hữu tỉ có tử số bằng 9, lớn hơn 
−3
5
 và nhỏ hơn 
−4
9
?
( ) ( )
Xem lời giải tại:
10. Tìm phân số lớn hơn 
5
4
 và tử số lớn hơn mẫu số 7 đơn vị.
Xem lời giải tại:
11. Tìm số nguyên x biết: 
1
3
<
9
x
<
1
2
.
Xem lời giải tại:
12. Tìm x để 
2x + 3
x + 4
 là số nguyên dương.
Xem lời giải tại:
13. Tìm x ∈ Q biết : 
−2
5
+
5
6
x =
−4
15
.
Xem lời giải tại:
14. Thực hiện các phép tính sau:
a. 
−3
5
+
5
11
:
−3
7
+
−2
5
+
6
11
:
−3
7
b. 
−2
5
+
1
4
:
−7
101
.
55
17
−
4
7
.
2
3
. 1 −
5
13
:
5
13
.
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a. 
1
2
−
3
8
+
−5
4
. b. 
5
8
+
14
5
+
−3
8
+
13
7
−
−9
5
c.  2.
−3
2
2
−
7
2
d. 
2
3
3
:
8
27
3
.
a.  2.4.16.32.23
b.  4.25 : 23.
1
16
c. 
22.4.32
22.25
15. Tìm x biết: 
x + 2014
2
+
2x + 4028
7
=
x + 2014
5
+
x + 2014
6
.
Xem lời giải tại:
16. Tìm x ∈ Q biết: 
2
3
x −
1
5
3
5
x +
2
3
< 0.
Xem lời giải tại:
17. Tính:
Xem lời giải tại:
18. Tính giá trị biểu thức:
A = 2x2 − 5x + 1 biết |x| =
1
3
Xem lời giải tại:
19. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa an,với a  ∈  Q, n  ∈  N
( )( )
| | | | | |
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a.  |x − 3, 5| = 7, 5.
b. 
4
7
4
. x =
4
7
6
.
c.  3x+1 = 32.
a.  (2x − 3)2 = 16 b.  2.3x+2 + 4.3x+1 = 10.36
Xem lời giải tại:
20. Tìm x, biết:
Xem lời giải tại:
21. Tìm các số n nguyên dương biết
a.  32 < 2n < 128.
b.  25 < 3n < 250.
Xem lời giải tại:
22. Tìm x  ∈  Q
Xem lời giải tại:
23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.  A = 3, 7 + |4, 3 − x|
b.  B = |x − 2002| + |x − 2001|
Xem lời giải tại:
24. Tính:
a.  −
1
3
2
+ −
2
5
3
.125 − −
23
6
0
.
b.  −
2
3
3
− ( − 1)2014 + −
236
101
0
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a.  4x + 4x+3 = 4160 b.  2x−1 + 5.2x−2 = 224
a. 
x
15
=
8
24
. b. 
36
x
=
54
3
.
c.  3
1
2
: 0, 4 = x : 1
1
7
.
d.  1, 56: 2, 88 = 2, 6 : x.
a. 
3
5
: 6 và 
4
5
: 8 b.  2
1
3
: 7 và 3
1
4
: 13
a.  6.63 = 9.42 b.  0, 24.1, 61 = 0, 84.0, 46
Xem lời giải tại:
25. Tìm số tự nhiên x biết:
Xem lời giải tại:
26. Tìm x nguyên biết (x − 1)x+2 = (x − 1)x+6.
Xem lời giải tại:
27. Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n150 < 5225.
Xem lời giải tại:
28. Tìm số hạng chưa biết của tỷ lệ thức sau:
Xem lời giải tại:
29. Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức không?
Xem lời giải tại:
30. Lập tất cả các hệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:
a. 
3x + 2
5x + 7
=
3x − 1
5x + 1
. b. 
x + 1
2x + 1
=
0, 5x + 2
x + 3
.
Xem lời giải tại:
31. Tìm x từ tỷ lệ thức sau:
Xem lời giải tại:
32. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 180 cây. Tính số cây trồng của mỗi lớp, biết
rằng số cây trồng của các lớp đó theo thứ tự tỷ lệ với 3, 4, 5
Xem lời giải tại:
33. Tìm chu vi của một hình chữ nhật biết rằng hai cạnh của nó tỷ lệ với 2; 5 và
chiều dài hơn chiều rộng 12m. 
Xem lời giải tại:
34. Hai bạn Thông và Minh ra cửa hàng mua cùng một loại vở. Minh mua 10
quyển vở và Thông mua 8 quyển vở. Vì vậy Minh phải trả một số tiền nhiều hơn
thông là 9 ngàn đồng. Tính xem mỗi bạn phải trả bao nhiêu tiền?
Xem lời giải tại:
35. Số học sinh của các khối 6, 7, 8, 9 của một trường trung học cơ sở tỷ lệ với
các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh của khối 8 và khối 9 ít hơn số học sinh của
khối 7 và khối 6 là 120 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Xem lời giải tại:
36. Từ bốn trong năm số sau 1; 5; 25; 125; 625 có thể lập được bao nhiêu tỉ lệ
thức?
a. 
a
3
=
b
5
 và a + b = 24 b. 
a
2
=
b
3
 và 5a − 2b = 12
Xem lời giải tại:
37. Cho tỉ lệ thức: 
5x − 2y
3x + 4y
=
3
4
,  tính tỉ số x : y.
Xem lời giải tại:
38. Tìm a; b biết:
Xem lời giải tại:
39. Tìm a; b; c biết:
a. 
a
2
=
b
3
=
c
4
 và a + b − c = 3
b.  a : b : c = 2: 5 : 7 và 3a + 2b − c = 27
Xem lời giải tại:
40. Lớp 7A có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 9 bạn. Biết số học
sinh nam và số học sinh nữ tỉ lệ với 3 và 2. Tính số học sinh lớp 7A.
Xem lời giải tại:
41. Hãy chia tấm vải dài 100m thành bốn phần lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5; 8.
Xem lời giải tại:
42. Tính diện tích hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh là 
2
5
 và chu vi hình chữ nhật
là 28m.
Xem lời giải tại:
43. Tìm x; y; z biết: 
x
3
=
y
4
;
y
3
=
z
5
 và 2x − 3y + z = 6
Xem lời giải tại:
44. Tìm x; y; z biết: x : y : z = 3: 4 : 5 và 5z2 − 3x2 − 2y2 = 594
Xem lời giải tại:
45. Tìm x; y biết: 
x
7
=
y
13
 và 2x + y = 54.
Xem lời giải tại:
46. Tìm các số x; y; z biết rằng:
a. 
x
20
=
y
9
=
z
6
 và x − 2y + 4z = 13
b. 
x
2
=
2y
5
=
4z
7
 và 3x + 5y + 7z = 123
Xem lời giải tại:
47. Trong những số sau những số nào là số vô tỷ
a.  √2; √3; √4; √5; √6; √7; √8; √9.
b.  0, 24;
1
3
;
17
12
; 0, 009; 1, 419213562...
Xem lời giải tại:
48. Hãy tìm các căn bậc hai của
a.  (x +
√3
2
)2 =
3
4
.
b. 
3x − 5
2
3
4
=
4
5
a.  Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b.  Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
25; 52; 0, 09;
1
64
;
−4
9
;
x2
4
(x > 0).
Xem lời giải tại:
49. Xắp xếp các số thực sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
−2, 15; − 3; 0; −√3; 
13
7
; 
33
12
; √8
Xem lời giải tại:
50. Tính giá trị của biểu thức:
a.  √49 + √( − 5)2 − 5√1, 44 + 3
4
9
.
b.  (2√3)2 − (3√2)2 + (4.√0, 5)2 − (
1
5
. √125)2.
Xem lời giải tại:
51. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
52. Cho biểu thức A = 2016 + √2015 − x.
Xem lời giải tại:
√
53. Có hay không có giá trị của x thỏa mãn điều kiện sau: 
2015.√(1 + x)2 + 2016.√(1 − x)2 = 0.
Xem lời giải tại:
54. Thực hiện phép tính:
A = (√6, 25 − 5.√0, 49) 19.
36
361
− 17.
81
289
.
Xem lời giải tại:
55. Rút gọn biểu thức: A =
√(a − 5)2 + 5
2a
.
Xem lời giải tại:
56. Tìm x biết:
a.  2
1
3
+ 3
1
2
: x + 3
1
7
+ 7
1
2
= 1
69
86
.
b.  3x +
1
2
= 3.
Xem lời giải tại:
57. Thực hiện phép tính:
( √ √ )
( ) ( )
√
a.  7(x − 1) + 2x(1 − x) = 0
b. 
3
4
+
1
4
: x =
2
5
a. 
−3
5
+
5
11
:
1
7
+
−2
5
+
6
11
:
1
7
b. 
−2
5
+
1
4
:
−7
55
.
55
17
−
4
7
.
2
3
. 1 −
3
7
:
3
7
Xem lời giải tại:
58. Tính giá trị biểu thức:
a.  A =
−5
9
.
3
11
+
−13
18
.
3
11
b.  B =
3
4
−
3
5
+
3
7
+
3
11
13
4
−
13
5
+
13
7
+
13
11
Xem lời giải tại:
59. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
60. Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
a.  A =
3
7
−
3
17
+
3
37
5
7
−
5
17
+
5
37
+
1
2
−
1
3
+
1
4
−
1
5
7
5
−
7
4
+
7
3
−
7
2
b.  B =
2
39
−
1
15
−
2
153
1
34
+
3
20
−
3
26
:
1 +
2
71
−
5
121
65
121
−
26
71
− 13
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a.  3x + 4 ≥ 7 b.  −5x + 1 < 11
c. 
5
x − 3
< 0 d. 
−7
2 − x
> 0
Xem lời giải tại:
61. Tìm số hữu tỉ x biết:
a. 
x + 2015
2
+
2x + 4030
7
=
x + 2015
5
+
x + 2015
6
b. 
x − 100
24
+
x − 98
26
+
x − 96
28
= 3
Xem lời giải tại:
62. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
63. Thực hiện phép tính:
a.  1, 4.
15
72
+
4
5
+
2
3
.
−5
11
b.  − 2
1
4
+ − 3
1
9
+
2
9
: − 2
8
9
c.  −
3
5
2
+
−41445
82885
+ 2519 : 12512 +
1
32
Xem lời giải tại:
64. Thực hiện phép tính:
a.  −2, 14: 0, 4 + (6, 8 + 4, 5).5 − 43, 7
b.  −
5
7
41
: −
5
7
39
+ 0, 519.220 − 143 − −
25
49
( )
| | | | ( )
( )
( ) ( ) | |
a.  x +
4
7
=
1
2
b.  x −
1
2
= − 3
1
5
c.  x. ( − 0, 7) = 21, 7
d.  x :
4
7
=
−21
64
a.  |x| +
3
7
=
1
2
b.  |x| − 8, 4 = 3, 5
c.  |x|. ( − 2, 8) = − 5, 6
d.  |x| : 4 = 15
c.  √25 + √49 − √100
Xem lời giải tại:
65. Tính nhanh:
a. 
−13
17
.
5
13
+
−13
17
.
8
13
b. 
3
17
+
3
177
−
3
1777
5
17
+
5
177
−
5
1777
+
−
2
19
+
2
219
−
2
799
−
5
19
+
5
219
−
5
799
c. 
1
49
−
1
22
1
49
−
1
32
. . .
1
49
−
1
402
Xem lời giải tại:
66. Tìm x:
Xem lời giải tại:
67. Tìm x:
Xem lời giải tại:
68. Tìm x:
( )( ) ( )
a. 
2
3
x +
1
5
x =
−7
30 b.  x +
4
7
=
1
2
a. 
x
7
=
y
5
 và 2x − 3y = − 4
b.  5x = 2y và 3x + 2y = 48
a.  A = − x +
18
1273
2
−
183
121
b.  B =
15
(x − 8)2 + 4
c.  C =
4
x +
1
3
2
+ 5
a.  A = 0 b.  A > 0 c.  A < 0
Xem lời giải tại:
69. Tìm x; y biết:
Xem lời giải tại:
70. Tìm x; y; z biết:
a. 
x
2
=
y
5
=
z
4
 và x + y − z = 15
b.  5x = 2y = 3z và x + y − z = 33 
Xem lời giải tại:
71. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
Xem lời giải tại:
72. Tìm các giá trị của x để biểu thức: A =
2x − 3
5x + 1
| |
( )
( )
a.  (x − 5)2 = 25  b.  9x+1 − 5.32x = 324
c.  (1 − x)5 = 32
d.  3.52x+1 − 3.25x = 300
a.  P =
3n + 2
n − 1
b.  Q =
3|n| + 1
3|n| − 1
Xem lời giải tại:
73. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
74. Tìm các giá trị nguyên của n để mỗi biểu thức sau là số nguyên.
Xem lời giải tại:
75. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số đó bằng 12 và tỉ số giữa chữ số
hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 
1
2
.
Xem lời giải tại:
76. Tỉ số vận tốc của ô tô và xe máy là 1
1
2
. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 6 km/h thì
xe máy cần tăng vận tốc lên bao nhiêu để tỉ số vận tốc hai xe không thay đổi?
Xem lời giải tại:
77. Nam kém chị Nam 6 tuổi. Sau 3 năm nữa tỉ số giữa tuổi của Nam và chị là 
5
7
.
Tính tuổi của mỗi người hiện nay?
Xem lời giải tại:
78. Trong đợt góp vở tặng học sinh vùng bão lũ, ba lớp 7A, 7B, 7C thu được kết
quả như sau: Tỉ số giữa số vở của lớp 7A và lớp 7B bằng 
10
9
; 5 lần số vở của lớp
7C bằng 4 lần số vở lớp 7B; tổng hai lần số vở của lớp 7A và số vở lớp 7C nhiều
hơn 3 lần số vở của lớp 7B là 100 quyển. Tìm số vở mỗi lớp góp được.
Xem lời giải tại:
79. Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi bằng 48 cm và các cạnh
của tam giác tỉ lệ với các số 4; 7; 5.
Xem lời giải tại:
80. Có 54 tờ tiền gồm ba loại 500 đồng, 2000 đồng và 5000 đồng. Trị giá mỗi
loại tiền đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Xem lời giải tại:
81. Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D nhận chăm sóc một mảnh vườn có diện tích 450 m2.
Trong đó, lớp 7A nhận chăm sóc 20% diện tích, lớp 7B nhận chăm sóc 
1
3
 diện
tích còn lại. Sau khi hai lớp trên nhận, phần còn lại được chia cho hai lớp 7C và
7D với tỉ lệ 
2
3
. Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
Xem lời giải tại:
82. Ba lớp 7A, 7B, 7C có 117 bạn đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi bạn học sinh
lớp 7A, 7B, 7C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây và số cây mỗi lớp trồng được
là như nhau. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây?
Xem lời giải tại:
83. Ba tấm vải có chiều dài tổng cộng là 145 m. Nếu cắt tấm thứ nhất đi 
1
2
, cắt
tấm thứ hai đi 
1
3
, cắt tấm thứ ba đi 
1
4
 chiều dài mỗi tấm thì chiều dài còn lại của
ba tấm vải bằng nhau. Tính chiều dài ban đầu của mỗi tấm vải.
Xem lời giải tại:
84. Tính:
a.  A =
1
3
−
5
2
3
4
−
1
2
.
5
6
+
7
3
1 −
5
6
.
−2
5
+ 1
2
5
− 1
b.  B =
1
3
−
4
5
1
3
+
4
5
.
3
4
−
5
3
3
4
+
5
3
:
4
5
− 1
1 −
2
3
Xem lời giải tại:
85. Tính:
a. 
3
7
.
4
15
+
1
3
.915
0
.
1
3
.
68
124
b. 
104.81 − 16.152
44.675
Xem lời giải tại:
86. Thực hiện phép tính:
a.  6.
−1
3
2
− 3.
−1
3
+ 1 :
−1
3
− 1
b. 
2
3
2
.
−3
4
2
. ( − 1)2015
2
5
2
.
−5
12
3
Xem lời giải tại:
( )
[ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
II. CÁC BÀI NÂNG CAO
87. Cho phân số 
a
b
(b ≠ 0). Tìm phân số 
c
d
(c ≠ 0; d ≠ 0) sao cho: 
a
b
:
c
d
=
a
b
⋅
c
d
Xem lời giải tại:
88. Tính nhanh: P =
−7
4
⋅
33
12
+
3333
2020
+
333333
303030
+
33333333
42424242
⋅
Xem lời giải tại:
89. Tìm x, y, z biết rằng:  x −
1
5
y +
1
2
(z − 3) = 0 và x + 1 = y + 2 = z + 3.
Xem lời giải tại:
90. Tìm x biết x ∉ {1; 3; 8; 20} và:
2
(x − 1)(x − 3)
+
5
(x − 3)(x − 8)
+
12
(x − 8)(x − 20)
−
1
x − 20
= −
3
4
.
Xem lời giải tại:
91. Viết 5 số hữu tỉ trên một vòng tròn sao cho trong đó tích hai số cạnh nhau
luôn bằng 
1
36
. Tìm các số đó.
Xem lời giải tại:
92. Tính: A = −
1
2003.2002
−
1
2002.2001
−
1
2001.2000
− . . . −
1
3.2
−
1
2.1
.
Xem lời giải tại:
( )
( )( )
93. Tìm chữ số tận cùng của số: A = 19n + 5n + 2360n với n ∈ N.
Xem lời giải tại:
94. Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức B = 921 + 745
Xem lời giải tại:
95. Biết rằng 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385,  hãy tính tổng: 
S = 1002 + 2002 + 3002 + . . . + 10002.
Xem lời giải tại:
96. Tìm x; y biết: 
x
2
=
y
5
 và x. y = 40
Xem lời giải tại:
97. Tìm x; y biết: 
1 + 2y
18
=
1 + 4y
24
=
1 + 6y
6x
Xem lời giải tại:
98. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
99. Tìm các giá trị nguyên của x để 
√x + 1
√x − 3
 là số nguyên.
Xem lời giải tại:
100. Tính:
a.  A =
2.2306
1 +
1
1 + 2
+
1
1 + 2 + 3
+ . . . +
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2306
b.  B =
1
2
− 1
1
3
− 1
1
4
− 1 . . .
1
2014
− 1
1
2015
− 1
Xem lời giải tại:
101. Tìm x biết: 
2
5
x −
1
5
2
3
x +
1
3
< 0
Xem lời giải tại:
102. Tìm các số nguyên x, y, z biết  x −
1
5
y +
1
2
(z − 3) = 0 và 
x − 3 = y − 2 = z − 1
Xem lời giải tại:
103. Biết 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385. Tính nhanh:
a.  A = 22 + 42 + 62 + . . . + 202
b.  B = 32 + 62 + 92 + . . . + 302
c.  C = 0, 52 + 12 + 1, 52 + . . . + 52
Xem lời giải tại:
104. Tính:
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
a.  So sánh A với 
1
21
b.  So sánh B với 
11
21
a. 
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
99.100
b. 
1
4.9
+
1
9.14
+
1
14.19
+ . . . +
1
44.49
1 − 3 − 5 − 7 − . . . − 49
89
Xem lời giải tại:
105. Tính tổng:
a.  A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 52014 + 52015
b.  B = 2100 − 299 + 298 − 297 + . . . + 22 − 2
Xem lời giải tại:
106. Tính giá trị biểu thức sau:
M = 1 −
1
1 −
2015
1
2 −
1
1 −
2015
2
3 −
1
1 −
2015
3
. . . 5000 −
1
1 −
2015
5000
Xem lời giải tại:
107. Cho hai biểu thức:
A = 1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
. . . 1 −
1
19
1 −
1
20
B = 1 −
1
4
1 −
1
9
1 −
1
16
. . . 1 −
1
81
1 −
1
100
Xem lời giải tại:
108. Tính:
a.  S =
2
1.3
+
2
3.5
+
2
5.7
+ . . . +
2
99.101
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
b.  P =
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+ . . . +
1
98.99.100
Xem lời giải tại:
109. Tìm số nguyên x biết:
a.  |x + 6, 4| + |x + 2, 5| + |x + 8, 1| = 4x
b. 
|x|
186
= 1 −
303030
313131
+
616161
626262
− 1 +
929292
939393
− 1
Xem lời giải tại:
110. Một ô tô đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được 
1
2
 quãng
đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 %, do đó đến B sớm hơn được 10 phút. Hỏi ô
tô đi từ A đến B hết bao nhiêu phút?
Xem lời giải tại:
111. Tính: P =
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
2015
2014
1
+
2013
2
+
2012
3
+ . . . +
1
2014
Xem lời giải tại:
112. Viết 2n + 1; n ∈ N∗  số hữu tỉ trên một vòng tròn trong đó tích hai số cạnh
nhau luôn bằng 
1
100
. Tìm các số đó?
Xem lời giải tại:
113. Tính:
A = 1 −
1
1 + 2
. 1 −
1
1 + 2 + 3
. . . 1 −
1
1 + 2 + 3 + . . . + 2015
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a.  Tính tổng A
b.  Chứng minh A ⋮ 43
Xem lời giải tại:
114. Cho A = ( − 7) + ( − 7)2 + ( − 7)3 + . . . + ( − 7)2016
Xem lời giải tại:
DẠNG CHỨNG MINH
a. 
a
a + b
=
c
c + d
b. 
a + b
a − b
=
c + d
c − d
DẠNG CHỨNG MINH
I. CÁC BÀI CƠ BẢN
115. Giả sử x =
a
m
, y =
b
m
 với x < y ; a, b, m là số tự nhiên, m ≠ 0 ).
Chứng minh rằng nếu chọn z =
a + b
2m
 thì ta có: x < z < y .
Xem lời giải tại:
116. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: P =
(x + 6)2 + (x − 6)2
x2 + 36
 không phụ
thuộc vào giá trị của x.
Xem lời giải tại:
117. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 
3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n  ⋮   10.
Xem lời giải tại:
118. Cho 
a
b
=
c
d
 (a; b; c; d  ≠  0). Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
119. Chứng minh rằng a2 = bc khi và chỉ khi 
a + b
a − b
=
c + a
c − a
.
Xem lời giải tại:
a. 
ac
bd
=
a2 + c2
b2 + d2
  b. 
ac
bd
=
(a + c)2
(b + d)2
c. 
(a − c)2
(b − d)2
=
2a2 + 3c2
2b2 + 3d2
d.  (a + c)(b − d) = (a − c)(b + d)
120. Cho tỉ lệ thức 
¯
ab
a + b
=
¯
bc
b + c
.  Chứng minh 
a
b
=
b
c
 với giả thiết b, c ≠ 0.
Xem lời giải tại:
121. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
A =
2ax − 2x − 3y + 3ay
4ax + 6x + 9y + 6ay
.
Xem lời giải tại:
122. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗  ta luôn có:
√1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n + (n − 1) + . . . + 3 + 2 + 1 = n.
Xem lời giải tại:
123. Cho tỉ lệ thức: 
a
b
=
c
d
; b ≠ ± d ≠ 0. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
124. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a; b.
a.  A =
ac + bx + ax + bc
ay + 2bx + 2ax + by
 với (a ≠ − b)
b.  B =
2ax − 2a − 3b + 3bx
4ax + 6a + 9b + 6bx
 với (2a ≠ − 3b)
Xem lời giải tại:
a. 
3a + 2c
3b + 2d
=
−5a + 3c
−5b + 3d
. b. 
a2
b2
=
2c2 − ac
2d2 − bd
.
II. CÁC BÀI NÂNG CAO
125. Cho tỉ lệ thức 
a
b
=
c
d
. Chứng minh rằng: (Với giả thiết các tỉ số có nghĩa)
Xem lời giải tại:
126. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Biết 
¯
ab là số nguyên tố và 
¯
ab
¯
bc
=
b
c
.
Tìm số 
¯
abc.
Xem lời giải tại:
127. Cho các số a, b, c ≠ 0 và các số x, y, z thỏa mãn: 
bz − cy
a
=
cx − az
b
=
ay − bx
c
.
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
.
Xem lời giải tại:
128. Cho abcd ≠ 0, b2 = ac, c2 = bd. Chứng minh tỉ lệ thức 
a3 + b3 + c3
b3 + c3 + d3
=
a
d
.
Xem lời giải tại:
129. Cho y =
1 + √x
1 − √x
.
Chứng minh rằng với mọi x ∈ A =
16
9
;
25
16
;
36
25
;
49
36
;
64
49
;
81
64
;
100
81
thì y là số nguyên.
Xem lời giải tại:
130. Cho a, b là hai số thực và a ≤ b, m và n là hai số thực dương có tổng là 1.
Chứng minh rằng:
a ≤ ma + nb ≤ b.
Xem lời giải tại:
131. Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính
phương.
Xem lời giải tại:
132. Chứng minh rằng √3 không phải là số hữu tỉ.
Xem lời giải tại:
133. Chứng minh S = P biết:
S = −
1
1.2
−
1
2.3
−
1
3.4
− . . . −
1
(n − 1)n
(n ∈ N∗ )
P = −
4
1.5
−
4
5.9
−
4
9.13
− . . . −
4
(n − 4)n
(n ∈ N∗ )
Xem lời giải tại:
134. Chứng minh rằng:
1 −
1
2
−
1
22
−
1
23
−
1
24
− . . . −
1
210
>
1
211
{ }
Xem lờ