Một số dạng toán về luỹ thừa trong chương trình Toán 6

Một số dạng toán về luỹ thừa
 trong chương trình toán 6
-------	 
I- lý thuyết:
Dựa vào một số kiến thức sau: 
1) Định nghĩa luỹ thừa. 
2) Các phép tính về luỹ thừa 
3) Chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
4) Khi nào thì hai luỹ thừa bằng nhau ? 
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức. 
6) Tính chất chia hết. 
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật. 
8) Hệ thống ghi số. 
II- Bài tập: 
1. Viết biểu thức dưới dạng một luỹ thừa:
 a) Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố.
Bài 1: Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa ( bằng nhiều cách nếu có). 
a) 410 . 815 b) 82 . 253
Bài giải:
a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 
Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 
	 265 = (213)5 = 81925
Vậy ta có 3 cách viết là: 
	410 . 815 = 265
	410 . 815 = 3213
	410 . 815 = 81925
b) 	82 . 253 = (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106
Ta thấy 106 = (102)3 = 1003
	 106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có 3 cách viết là: 
	82 . 253 	= 106
	82 . 253 	= 1003
82 . 253 	= 10002
	b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp.
	 Bài 2 Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa. 
	( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
Bài giải:
	 	( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
	= (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) 
	= 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8
	Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phương. 
	a) 32 + 42
	b) 132 -52 
	c) 13 + 23 + 33 + 43
Bài giải:
	 a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
	b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
	c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
	2- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
	* Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y, ẻN) 
	 = (n ẻN *)
	 = 
	 = 	(n ẻN *)
	 	(n ẻN *)
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau:
	a) 42k ; 42k + 1.
	b) 92k ; 92k + 1 ( k ẻ N*)
 Bài giải:
	a) Ta có: 	42k = (42)k = 
	42k + 1 = (42)k .4 = 
	b) Tương tự ta có: 	92k = 
	92k + 1 = 
	Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau.
	a) 22005; 32006
	b) 72007 ; 82007 
Bài giải:
a) Ta có:	22005 = (24)501 . 2 = 
	32006 = (34)501 . 32 = 
	b) Ta có:	 72007 = (74)501 . 73 = ()501.3 = 
	82007 = (84)501 . 83 = (501 . 2 = 
	3. Tính giá trị biểu thức:
	 a) Tính theo quy tắc thực hiện phép tính:
	 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau. 
	33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 
Bài giải:
	 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252
	= 35 - 35 + 58- 58 = 0 
	b) Sử dụng tính chất phép tính.
	Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất.
	A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
	B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82
Bài giải:
 A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
 = ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6
	= 56 + 36 - 26
	= 15625 + 729 - 64 = 16290 
 B = 9 ! -8 ! - 7! .82
	= 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8 
	= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0 
	c) Biểu thức có tính quy luật.
	Bài 1: Tính tổng. 
	A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
	B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
	 A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
	=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 
	=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) 
Vậy	A = 2101 - 1 
	B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
	=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 
	B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
	4B = 3 - 3101
Vậy	B = ( 3- 3101) : 4
 Bài 2: Tính tổng 
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 
	b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 
Bài giải:
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
	25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 
	25 A - A = 5202 - 1 
Vậy	A = ( 5202 -1) : 24 
	b) Tương tự	B = 
Bài 3: Tính 
	A = + + + ... + 
	B = + - + ...+ 
Bài giải:
A = 	 + + + ... + 
7A = 1 + + + ... + 
=> 7A - A = 1 - 	
A = : 6 
B = + - + ...+ 
5B = -4 + + +...+ 
B+5B = -4 +
B = : 6 
Bài 3: Tính 
A = 
Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có: 
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) 
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) 
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) 
Vậy A = = 
d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g. 
Bài 1: Tính 
A = 6 107 + 5.105+ 4.103+2.10 
B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3 
Bài giải:
A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100
= 60504020
B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3 
= (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 
= 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3 
= 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100
= 1370050003. 
4. Tìm x 
a) Đưa về cùng cơ số ( số mũ)
Bài1: Tìm xN biết
a) 4x = 2x+1 
b) 16 = (x -1)4
Bài giải:
a) 4x = 2x + 1 
(22)x = 2 x + 1 
22x = 2x+ 1 
2x = x +1 
2x- x = 1 
	x = 1 
b) 16 = ( x -1)4
24 = (x -1)4
2= x - 1 
x = 2+1 
x = 3 
	Bài 2: Tìm xN biết 
	a) x10 = 1x
	b) x10 = x 
	c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
	d) x2<5
 Bài giải:
	a) x10 = 1x
	x10 = 110
	x = 1 
	b) x10 = x 
	x10 - x = 0 
	x.( x9 - 1) = 0 
	Ta có: x = 0 hoặc x9 -1 =0 
	Mà x9 -1 = 0 
	x9 = 19
	x = 1 
	Vậy x = 0 hoặc x =1 
	 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
Vì hai luỹ thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( ạ0) 
	Suy ra 2x - 15 = 0 hoặc 2x - 15 = 1 
	+ Nếu 2x - 15 = 0 
	x = 15 : 2 N ( loại) 
	+ Nếu 2x - 15 = 1 
	2x = 15 + 1 
	x = 8 
	d) Ta có x2 < 5 
	và x2³ 0 => x2 ẻ 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 
	Mặt khác x2 là số chính phương nên 
	x2 ẻ 0 ; 1; 4 hay x2 ẻ 02 ; 12 ; 22 
	x ẻ 0; 1 ; 2 
 Dựa vào bài tập SGK lớp 6 
Bài 4: Tìm x ẻ N biết 
 a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bài giải:
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
	552 = ( x +1) 2
	55 = x +1 
	x = 55- 1 
	x = 54 
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 
 = ( x - 2)2
	502 = ( x -2 )2
	50 = x -2 
	x = 50 + 2 
	x = 52 
	( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) 
Bài 5: Tìm 1 cặp	 x ; y ẻ N thoả mãn 
	73 = x2 - y2
	Ta thấy: 	73 = x2 - y2
	( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
	(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
	282 - 212 = x2 - y2
	Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: 
	x = 28; y = 21 
	b) Sử dụng chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
	Bài 1: Tìm x ; y ẻ N* biết. 
	x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y! 
Bài giải:
	Ta thấy x2 là một số chính phương 
	Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 
	Mà: 
	+ Nếu y = 1 
	Ta có x = 1 ! = 12 ( TM) 
	+ Nếu y = 2 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Loại) 
	+ Nếu y = 3 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM) 
	x = 3 
	+ Nếu y = 4 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( loại ) 
	+ Nếu y ³ 5 
	Ta có: 
	x2 = ( 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! ) + ( 5! + 6! + ...y! ) 
	=	 + = ( loại) 
	Vậy x = 1 và y = 1 
 x = 3 và y = 3 
Bài 2: Tìm x ẻ N* biết. 
A = 111....1 	 -	 777 ...7 là số chính phương 
	 2 x chữ số 1 x chữ số 7 
Bài giải:
+ Nếu x = 1 
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) 
+ Nếu x > 1 
Ta có A = 111...1 	- 777...7 	= M 2 
	 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà M 4	
	Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) 
	Vậy x = 1 
	c) Dùng tính chất chia hết
	Bài 1: Tìm x; y ẻN biết: 
	35x + 9 = 2. 5y
	*)Nếu x = 0 ta có: 
350 + 9 = 2.5y 
	 10 = 2.5y 
 	 5y = 5 
	 y =1 
*) Nếu x >0 
	+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
	35x + 9 = 2 ( vô lý) 
	+ Nếu y > 0 ta thấy: 
	35x + 9 M 5 vì ( 35x M 5 ; 9 M 5 ) 
	Mà 2. 5y M 5 	( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) 
	Vậy x = 0 và y = 1 
	Bài 2: Tìm a; b ẻ Z biết. 
	( 2a + 5b + 1 ) (2ụaụ + a2 + a + b ) = 105 
Bài giải:
	*) Nếu a = 0 ta có: 
	( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105 
	(5b + 1) . ( b + 1) = 105 
	Suy ra 5b + 1 ; b + 1 ẻ Ư (105) mà ( 5b + 1)M 5 dư 1 
	Ta được 5b + 1 = 21 
	 b = 4 ( TM) 
	* Nếu a ạ 0 
	Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . ( 2ẵaẵ + a2 + a + b) = 105 
	Là lẻ 
	Suy ra 2a + 5b + 1 và 2ẵaẵ + a2 + a + b đều lẽ (*) 
	+ Nếu a chẵn ( a ạ0 ) và 2ẵaẵ + a2 +a + b lẻ 
	Suy ra b lẻ.Ta có: 2a + 5b + 1 chẵn ( vô lý) 
	+ Nếu a lẻ 
	Tương tự ta thấy vô lý
	Vậy a = 0 và b = 4 
	5. So sánh các số.
	1) Tính: 
	Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau: 
	27 và 72
Bài giải:
	 Ta có: 	 27 = 128 
	72 = 49 
	Vì 128 > 49 
	nên 27 > 72 
	 2) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ) 
	Bài 1: So sánh các luỹ thừa sau. 
	 a) 95 và 273
	 b) 3200 và 2300
Bài giải:
	 a) Ta có: 	95 = (32)5 = 310
	273 = (33 )3 = 39
	Vì 310 > 39
	nên 95 > 273
	b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
	2300 = (23) 100 = 8100
	Vì 9100 > 8100
	nên 3200 > 2300
	3) Dùng số trung gian. 
	Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 
	3111 và 1714
Bài giải:
	Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 
	 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) 
	Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
	nên 3111 < 1714
	Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân 
Bài giải:
	Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031. 
	 * So sánh 2100 với 1030
	Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
	1030 = (103)10 = 100010 
	Vì 102410 > 100010
	nên 2100 > 1030 (*) 
	* So sánh 2100 với 1031
	Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
	= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 
	1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
	= 231 . 6257. 53 (2) 
	Từ (1) và (2) ta có: 
	231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **) 
Từ (*),( **) ta có: 
	1031 	< 	2100 	 	< 1031
 Số có 31 chữ số nhỏ nhất 	Số có 32 chữ số nhỏ nhất 
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. 
Bài 3: So sánh A và B biết. 
a) A = ; 	B = 
b) 	; B = 
c) A = ; B = 
Bài giải:
 A = 
Nên 19A = = = 1 + 
B = 
nên 19B = = = 1 + 
Vì > 
Suy ra 1 + > 1 + 
Hay 19A > 19B 
Nên A > B 
b) A = 
nên 22 . A = = = 1 - 
B = 
nên 22.B = = = 1- 
Vì > 
 Suy ra 1 - < 1- 
Hay 22 A < 22 B
Nên A < B 
c) Ta có: 
 A = = 
Tương tự B = 
Từ (1) và (2) Ta có
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B 
nên A > B 
6. Chứng minh: 
1) Nhóm các số một cách thích hợp.
Bài 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
 Chứng minh: 
a) A ∶ 13
b) A ∶ 40
Bài giải:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) 
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 
Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 
= 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 
Hay A ∶ 40 
2) Thêm bớt một lượng thích hợp.
 Bài 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k ẻ N) 
Chứng minh: 
a) 102k - 1 ∶ 19 
b) 103k - 1 ∶ 19 
Bài giải:
a) Ta có: 
102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) 
Vì 10k - 1 ∶ 19 
102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 
3) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt: 
Bài 1: Cho n ẻN ; n > 1 
Chứng minh: 	 + 1 có tận cùng là 7 
Bài giải:
Vì n > 1 nên 2n ∶ 4 
Suy ra 2n = 4k ( k ẻN *) 
Ta có: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 
= 16 k + 1 = + 1 = 
Vì 16k = ( k ẻN (*))