Một số bài toán tính nhanh

có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau:
 A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. 
Cách giải: 
	Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:	Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2. 
	Viết thành sơ đồ:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)
	Từ sơ đồ trên ta suy ra:
	Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối.
	Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu.
 Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên:
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
	Giải:
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. 
 Ta thấy:	1 + 37 = 38	;	5 + 33 = 38
	1 + 35 = 38	;	7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. 
Số cặp số là:
	19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 
	39 x 9 + 19 = 361
	Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại sẽ rất khó khăn. 
Vậy ta có thể làm cách 2 như sau:	
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng)
	Ta thấy:	3 + 37 = 40	;	7 + 33 = 40
	5 + 35 = 40	;	9 + 31 = 40
	Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40. 
	Số cặp số là:	18 : 2 = 9 (cặp số)
	Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
	1 + 40 x 9 = 361
	Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. 
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
	Giải:
	Ghép các số: 1, 2, , n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với (n – 1), 3 với (n – 2),  
	Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2
	Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có:
	1 + 2 +  + (n – 1) = (n – 1) x n : 2
	Từ đó ta cũng có:
	S = (n – 1) x n : 2 + n
	 = (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2
	 = [(n – 1) x n + 2 x n] : 2
	 = (n – 1 + 2) x n : 2
	 = n x (n + 1) : 2
Khi học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau. 
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 100
Lời giải
 Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 
	100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 1000 
Áp dụng công thức tính tổng ta tính được tổng là E = 4954,95
Hoặc giải như sau:
Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = ... = 1,01 
Vậy đây là dãy số cách đều 1,01 đơn vị.
Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng
Tổng của dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95
Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3,  195. Tính tổng các chữ số trong dãy?
	Giải:
	 Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy:	0, 1, 2, 3, , 9 
	10, 11, 12, 13, , 19
	.....................
	90, 91, 92, 93, , 99
	100, 101, 102, 103, , 109
 .............
	Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng)
	Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là:
	1 + 2 + 3 +  + 9 = 9 x 10 : 2 = 45
	Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là:
	45 x 20 = 900
	Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 
	1 x 10 + 2 x 10 +  + 9 x 10 = (1 + 2 +  + 9) x 10 = 45 x 10 = 450
	Vậy tổng các chữ số hàng chục là:
	450 x 2 = 900
Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100.
	Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:
	900 + 900 + 100 = 1900
	Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là:
	1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830
	Trong Toán học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận (gọi là giả thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng suy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn toàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên cũng được lưu ý. 
Bài 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số:
 Giải:
	Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là:
	9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008;  ; 9,999 tức là có 1000 số. 
	Tổng tất cả các số của dãy số trên là:
	(9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5
	Đáp số: 9499,5
Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, ..., 246 ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 100 ? 
Giải:
Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 số hạng.
Tổng của dãy số là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252
Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng của dãy số ít nhất 48 đơn vị. 
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.
Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần. 
Ví dụ: . 
Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Đặt A = 
Bước 2: Ta thấy: ; ; 
Bước 3: Vậy A = 
 = = 1 - 
 = = 
Cách 2: A = A X 2 - A
Bài toán 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1).
	Ví dụ: B = 
Cách giải:
Bước 1: Tính B x n (n = 3) 
	B x 3 = 3 x = 
Bước 2: Tính B x n - B
B x 3 - B = - ( )
B x (3 - 1) = 
B x 2 = = = 
B = = = 
Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ 1: A = = 
= 
= = 
Ví dụ 2: 
M = = = = = 
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính tổng:
	a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100
	b) 1 + 4 + 9 + 16 +  + 169
Bài 2: 
	a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số.
	b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.
	Dãy số trên có mười số hạng
	Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
	Đố em, đố chị, đố anh
	Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.
Bài 3: Tính nhanh:
a/ 
b/ 
c/ 
Bài 4: + + + ..... + + + 
Phép cộng phân số khó gì?
	Kê đủ số hạng ra thì uổng công
	Cách gì ai tỏ ai thông
	Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ
	Đố bạn hiền đó em thơ
	Đố ai ai biết đây nhờ giải mau.
Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau:
a) 1, 5, 9, 13, 17, Biết dãy số có 80 số hạng.
b) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng.
Bài 6: Tính nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 +  + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 +  + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 +  + 0,19.
Bài 7: Cho dãy số: 
Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.
b) Số có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?
Dạng 10: Dãy chữ
	Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. 
	Các ví dụ:
Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? 
	Giải:
	Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 
	2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái.
	Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếng TINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134. 
Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG  Hỏi: 
	a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì?
	b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N?	c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao?	d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM, hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì? 
Giải:
	a. Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái:
	2002 : 13 = 154 (nhóm)
	Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếng DƯƠNG.	b. Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có 2 chữ H và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N. 
	c. Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn.
	d. Ta nhận xét:
	+ 2001 chia cho 4 thì dư 1.
	+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tô màu XANH. 
	Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH.
Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng ... cứ như vậy. Hỏi: 
a) Viên bi thứ 100 có màu gì?
b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi?
Giải:
a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100 viên bi thì có số nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi) Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh. 
b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp: 
3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên. 
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN Hỏi:
	a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì?
	b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O?
	c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
	d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì?
Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T, thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu.	Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì?
Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU ... Hỏi: 
a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì?
b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H?
Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM  Hỏi: 
	a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì?	
	b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I?	c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?	d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì? 
C¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i vÒ d·y sè
	1. Muèn lµm ®­îc c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè ta cµn ph¶i n¾m ®­îc c¸c kiÕn thøc sau:
	Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp cø mét sè ch½n l¹i ®Õn mét sè lÎ råi l¹i ®Õn mét sè ch½n V× vËy, nÕu:
D·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc lµ sè ch½n th× sè l­îng c¸c sè lÎ b»ng sè l­îng c¸c sè ch½n.
D·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè l­îng c¸c sè ch½n b»ng sè l­îng c¸c sè lÎ.
NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè l­îng c¸c sè lÎ nhiÒu h¬n c¸c sè ch½n lµ 1 sè.
NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè ch½n th× sè l­îng c¸c sè ch½n nhiÒu h¬n c¸c sè lÎ lµ 1 sè.
	a. Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè 1 th× sè l­îng c¸c sè trong d·y sè chÝnh b»ng gi¸ trÞ cña sè cuèi cïng cña sè Êy.
	b. Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè kh¸c sè 1 th× sè l­îng c¸c sè trong d·y sè b»ng hiÖu gi÷a sè cuèi cïng cña d·y sè víi sè liÒn tr­íc sè ®Çu tiªn.
	2. C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã thÓ ph©n ra c¸c lo¹i to¸n sau:
	+ D·y sè c¸ch ®Òu:
	- D·y sè tù nhiªn.
	- D·y sè ch½n, lÎ.
	- D·y sè chia hÕt hoÆc kh«ng chia hÕt cho mét sè nµo ®ã.
	+ D·y sè kh«ng c¸ch ®Òu.
	- D·y Phi bo na xi
	- D·y cã tæng(hiÖu) gi÷a hai sè liªn tiÕp lµ mét d·y sè.
	+ D·y sè thËp ph©n, ph©n sè:
	3. C¸ch gi¶i c¸c d¹ng to¸n vÒ d·y sè:
D¹ng 1: §iÒn thªm sè h¹ng vµo sau, gi÷a hoÆc tr­íc mét d·y sè
	Tr­íc hÕt ta cÇn x¸c ®Þnh l¹i quy luËt cña d·y sè:
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nã céng(hoÆc trõ) víi mét sè tù nhiªn a.
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nã nh©n (hoÆc chia) víi mét sè tù nhiªn q kh¸c 0.
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 3) b»ng tæng 2 sè h¹ng ®øng tr­íc nã.
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 4) b»ng tæng cña sè h¹ng ®øng tr­íc nã céng víi sè tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy.
	+ Sè h¹ng ®øng sau b»ng sè h¹ng ®øng tr­íc nh©n víi sè thø tù.
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tr­íc.
	+ Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tr­íc trõ ®i 1.
	VÝ dô 1:
	1. §iÒn thªm 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau:
	1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
	Muèn gi¶i ®­îc bµi to¸n trªn tr­íc hÕt ph¶I x¸c ®Þnh quy luËt cña d·y sè nh­ sau:
	Ta thÊy: 1 + 2 = 3	3 + 5 = 8
	 2 + 3 = 5	5 + 8 = 13
	D·y sè trªn ®­îc lËp theo quy luËt sau: KÓ tõ sè h¹ng thø 3 trë dmçi sè h¹ng b»ng tæng cña hai sè h¹ng liÒn tr­íc nã.
 	VËy d·y sè ®­îc viÕt ®Çy ®ñ lµ: 	1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144
	2. ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau:	1, 3, 4, 8, 15, 27
	Ta nhËn thÊy:	8 = 1 + 3 + 4	27 = 4+ 8 + 15
	15 = 3 + 4 + 8	
	Tõ ®ã ta rót ra ®­îc quy luËt cña d·y sè lµ: Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng tæng cña ba sè h¹ng ®øng tr­íc nã.
 ViÕt tiÕp ba sè h¹ng, ta ®­îc d·y sè sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.
	3. T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña c¸c d·y sè sau :
	a, , 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng.
	b..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng.
	*) Gi¶i:
	a. Ta nhËn xÐt :
	Sè h¹ng thø 10 lµ	: 1024 = 512 x 2
Sè h¹ng thø 9 lµ	: 512 = 256 x 2
Sè h¹ng thø 8 lµ	: 256 = 128 x 2
Sè h¹ng thø 7 lµ	: 128 = 64 x 2
..
Tõ ®ã ta suy luËn ra quy luËt cña d·y sè ®Çu tiªn lµ: mçi sè h¹ng cña d·y sè gÊp ®«i sè h¹ng liÒn tr­íc ®ã.
VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ: 1 x 2 = 2.
b. Ta nhËn xÐt :
Sè h¹ng thø 10 lµ	: 110 = 11 x 10
Sè h¹ng thø 9 lµ	: 99 = 11 x 9
Sè h¹ng thø 8 lµ	: 88 = 11 x 8
Sè h¹ng thø 7 lµ	: 77 = 11 x 7
..
Tõ ®ã ta suy luËn ra quy luËt cña d·y sè trªn lµ: Mçi sè h¹ng b»ng 11 nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy.
VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ : 1 x 11 = 11.
	4. T×m c¸c sè cßn thiÕu trong d·y sè sau :
	a. 3, 9, 27, ......., 729, .....
	b. 3, 8, 32, ......, 608,.....
	Muèn t×m ®­îc c¸c sè cßn thiÕu trong mçi d·y sè, cÇn tim ®­îc quy luËt cña mçi d·y sè ®ã.
	a. Ta nhËn xÐt :	3 x 3 = 9
	9 x 3 = 27
	Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø 2 trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tr­íc.
	VËy c¸c sè cßn thiÕu cña d·y sè ®ã lµ:
	27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (®óng).
	VËy d·y sè cßn thiÕu hai sè lµ : 81 vµ 243.
 	b. Ta nhËn xÐt:	3 x 3 – 1 = 8 ; 	8 x 3 – 1 = 23.
	..........................................
	Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø 2 trë ®i, sè h¹ng sau b»ng 3 lÇn sè h¹ng tr­íc trõ ®i 1, v× vËy, c¸c sè cßn thiÕu ë d·y sè lµ:
	23 x 3 - 1 = 68 ;	68 x 3 – 1 = 203 ;	203 x 3 – 1 = 608 (®óng).
	D·y sè cßn thiÕu hai sè lµ: 68 vµ 203.
	5. Lóc 7h s¸ng, mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B vµ mét ng­êi ®i tõ B ®Õn A ; c¶ hai cïng ®i ®Õn ®Ých cña m×nh lóc 2h chiÒu. V× ®­êng ®i khã dÇn tõ A ®Õn B ; nªn ng­êi ®i tõ A, giê ®Çu ®i ®­îc 15km, cø mçi giê sau ®ã l¹i gi¶m ®i 1km. Ng­êi ®i tõ B giê cuèi cïng ®I ®­îc 15km, cø mçi giê tr­íc ®ã l¹i gi¶m 1km. TÝnh qu·ng ®­êng AB.
	*) Gi¶i:
	2 giê chiÒu lµ 14h trong ngµy.
	2 ng­êi ®i ®Õn ®Ých cña m×nh trong sè giê lµ:
	14 – 7 = 7 giê.
	VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A ®Õn B lËp thµnh d·y sè:
	15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.
	VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B ®Õn A lËp thµnh d·y sè:
	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Nh×n vµo 2 d·y sè ta nhËn thÊy ®Òu cã c¸c sè h¹ng gièng nhau vËy qu·ng ®­êng AB lµ: 	9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (®¸p sè 84km).
	6. §iÒn c¸c sè thÝch hîp vµo « trèng sao cho tæng sè 3 « liªn tiÕp ®Òu b»ng 2002
783
998
*) Gi¶i: 
Ta ®¸nh sè thø tù c¸c « nh­ sau:
783
998
«1
«2
«3
«4
«5
«6
«7
«8
«9
«10
	Theo ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi ta cã:
	783 + ¤7 + ¤8 = 2002.
	¤7 + ¤8 + ¤9 = 2002.
	VËy ¤9 + 783; tõ ®ã ta tÝnh ®­îc:
	¤8 = ¤5 = ¤2= 2002 - (783 + 998) = 2002
	¤7 = ¤4 = ¤1 = 998
	¤3 = ¤6 = 783.
§iÒn c¸c sè vµo ta ®­îc d·y sè:
998
221
783
998
221
783
998
221
783
998
	Mét sè l­u ý khi gi¶ng d¹y To¸n d¹ng nµy lµ: Tr­íc hÕt ph¶i x¸c ®Þnh ®­îc quy luËt cña d·y lµ d·y tiÕn, d·y lïi hay d·y sè theo chu kú (vÝ dô: 6). Tõ ®ã mµ häc sinh cã thÓ ®iÒn ®­îc c¸c sè vµo d·y ®· cho.
* Bµi tËp tù luyÖn:
 13, 19, 25,,
	D·y sè kÓ tiÕp thªm 5 sè nµo?
	Sè nµo suy nghÜ thÊp cao?
	§è em ®è b¹n lµm sao kÓ liÒn?
ViÕt sè h¹ng cßn thiÕu trong d·y sè sau:
	a. 7, 10, 13,, 22, 25.
	b. 103, 95, 87,, 55, 47.
Lµ sè h¹ng cuèi ®©y mµ
D·y sè: 9 sè h¹ng nha
Sè h¹ng ®øng tr­íc gÊp 3 sau liÒn
§è em t«i, ®è b¹n hiÒn
D·y sè cã sè ®Çu tiªn lµ g×?
Lµ g× nhanh ®¸p khã chi!
§è anh, ®è chÞ cung nhau thi tµi.
§iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng, sao cho tæng c¸c sè ë 3 « liÒn nhau b»ng:
	a. n = 14,2
2,7
8,5
	b. n = 14,3
2,7
7,5
D¹ng 2: X¸c ®Þnh sè A cã thuéc d·y ®· cho hay kh«ng?
	C¸ch gi¶i cña d¹ng to¸n nµy:
	- X¸c ®Þnh quy luËt cña d·y;
	- KiÓm tra sè a cã tho¶ m·n quy luËt ®ã hay kh«ng?
	VÝ dô: 
Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8,
	a. Nªu quy t¾c viÕt d·y sè?
	b. Sè 93 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng? V× sao?
*) Gi¶i:
	a. Ta nhËn thÊy:	Sè h¹ng thø 1:	2 = 2 x 1
	Sè h¹ng thø 2:	4 = 2 x 2
	Sè h¹ng thø 3:	6 = 2 x 3
	.........
	Sè h¹ng thø n:	? = 2 x n
	Quy luËt cña d·y sè lµ: Mét sè h¹ng b»ng 2 nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy.
	b. Ta nhËn thÊy c¸c sè h¹ng cña d·y lµ sè ch½n, mµ sè 93 lµ sè lÎ, nªn sè 93 kh«ng ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y.
Cho d·y sè: 2, 5, 8, 11, 14, 17,
	- ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè trªn?
	- Sè 2000 cã thuéc d·y sè trªn kh«ng? T¹i sao?
*) Gi¶i: 
	- Ta thÊy:	8 – 5 = 3;	11 – 8 = 3; 
	D·y sè trªn ®­îc viÕt theo quy luËt sau: KÓ tõ sè thø 2 trë ®i, mçi sè h¹ng b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã céng víi 3.
	VËy 3 sè h¹ng tiÕp theo cña d·y sè lµ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
	- Sè 2000 cã thuéc d·y sè trªn, v× kÓ tõ sè h¹ng thø 2 cña d·y vµ sè 2000 ®Òu chia cho 3 d­ 2.
Em h·y cho biÕt:
	a. C¸c sè 60, 483 cã thuéc d·y 80, 85, 90, hay kh«ng?
	b. Sè 2002 cã thuéc d·y 2, 5, 8, 11, hay kh«ng?
	c. Sè nµo trong c¸c sè 798, 1000, 9999 cã thuéc d·y 3, 6, 12, 24, gi¶i thÝch t¹i sao?
*) Gi¶i:
	a. C¶ 2 sè 60, 483 ®Òu kh«ng thuéc d·y ®· cho v×:
	- C¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lín h¬n 60.
- C¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu chia hÕt cho 5, mµ 483 kh«ng chia hÕt cho 5.
b. Sè 2002 kh«ng thuéc d·y ®· cho v× mäi sè h¹ng cña d·y khi chia cho 3 ®Òu 2, mµ 2002 chia 3 th× d­ 1.
	c. C¶ 3 sè 798, 1000, 9999 ®Òu kh«ng thuéc d·y 3, 6, 12, 24, v×:
	- Mçi sè h¹ng cña d·y (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng liÒn tr­íc nhËn víi 2; cho nªn c