Một số bài toán thường gặp về tứ giác

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC
BÀI TẬP
1. Cho tứ giác ABCD có Aˆ = 1300; Bˆ = 900, góc ngoài tại đỉnh C bằng 1200. Tính 
Dˆ = ?
Xem lời giải tại:
2. Tứ giác ABCD có Cˆ = 700; Dˆ = 800.Các tia phân giác của các góc A và B cắt
nhau tại I. Tính 
^
AIB = ?
Xem lời giải tại:
3. Tứ giác EFGH có Eˆ = 700; Fˆ = 800. Tính Gˆ; Hˆ biết rằng Gˆ − Hˆ = 200
Xem lời giải tại:
4. Tính các góc của tứ giác MNPQ biết rằng
Mˆ : Nˆ : Pˆ : Qˆ = 1: 3 : 4 : 7
Xem lời giải tại:
5. Tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC = AC và Aˆ = 1050. Tính các góc còn lại của
tứ giác. 
Xem lời giải tại:
6. Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD, Bˆ = 900; Aˆ = 600; Dˆ = 1350
a.  Tính góc C và chứng minh rằng BD = BC
b.  Từ A kẻ AE⊥CD tại E, tính các góc của ΔACE.
Xem lời giải tại:
7. Tứ giác ABCD có Bˆ = 1100, Dˆ = 700, AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh rằng CB=CD
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai
cạnh đối.
Xem lời giải tại:
9. Tứ giác ABCD có chu vi bằng 10cm. Chứng minh rằng: 5cm < AC + BD < 10cm
Xem lời giải tại:
10. Tứ giác ABCD có AD = BC. Các đường trung trực của AB và của CD cắt nhau ở
E. Chứng minh 
^
EAB =
^
EDC
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN VỀ HÌNH THANG, HÌNH
THANG CÂN, HÌNH THANG VUÔNG
BÀI TẬP
11. Hình thang ABCD (AB//CD) có Aˆ − Dˆ = 400; Bˆ = 3Cˆ. Tính các góc của hình
thang 
Xem lời giải tại:
12. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có Dˆ = 600
a.  Tính Aˆ
b.  Tính Bˆ; Cˆ biết 
Bˆ
Cˆ
=
4
5
Xem lời giải tại:
13. Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD) biết rằng 
Aˆ =
1
3
Dˆ; Bˆ − Cˆ = 500
Xem lời giải tại:
14. Cho hình thang vuông ABCD: Aˆ = Dˆ = 900; 
AB = 5cm; AD = 12cm; BC = 13cm. Tính CD?
Xem lời giải tại:
15. Tứ giác ABCD có Aˆ = Bˆ, BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng
minh 
a.  Tứ giác ABCD là hình thang vuông
b.  AC2 + AD2 = BC2 + BD2
Xem lời giải tại:
16. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD= 10cm. Gọi M
là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc với DM.
Xem lời giải tại:
17. Hình thang ABCD (AB// CD) có CD = AD + BC. Gọi K là giao điểm của tia
phân giác góc A với đáy C. Chứng minh:
a.  AD = DK
b.  ΔBCK cân ở C
c.  BK là tia phân giác của góc B
Xem lời giải tại:
18. Cho tứ giác ABCD, có các tia phân giác của Aˆ và Dˆ vuông góc với nhau. Chứng
minh rằng:
a.  ABCD là hình thang
b.  Hai tia phân giác của góc Cˆ và Bˆ vuông góc với nhau
Xem lời giải tại:
19. Cho hình thang vuông ABCD có Aˆ = Dˆ = 900.
a.  Xác định điểm I trên cạnh AD sao cho IB = IC
b.  Với điểm I tìm được và cho biết ΔIBC vuông cân ở I. Hãy chứng minh rằng AB
+ CD= AD
c.  Biết DC =
1
2
IC. Hãy tính Bˆ; Cˆ của hình thang ABCD
Xem lời giải tại:
20. Tứ giác ABCD biết Aˆ = Bˆ = 900; AB = BC =
1
2
AD
a.  Tính các góc của hình thang
b.  Chứng minh: AC ⊥ CD
Xem lời giải tại:
21. Hình thang cân ABCD có AB / /CD; AB < CD kẻ đường cao AH, BK. Chứng
minh rằng DH = CK
Xem lời giải tại:
22. Hình thang cân ABCD có AB / /CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng
minh rằng OA = OB, OC = OD.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC cân tại A. trên các cạnh AB, AC lấy điểm M, N sao cho BM = CN.
a.  Tứ giác BMNC là hình gì? vì sao?
b.  Tính các góc của tứ giác BMNC biết Aˆ = 400
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC
sao cho AD = AE
a.  Tứ giác BDEC là hình gi? Vì sao?
b.  Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC.
Xem lời giải tại:
25. Cho hình thang cân có một góc bằng 600 cạnh bên bằng 26cm và tổng hai
đáy bằng 44 cm. Tính độ dài hai đáy của hình thang.
Xem lời giải tại:
26. Tính chu vi của một hình thang cân biết một trong các góc bằng 450 và các
đáy có độ dài 26cm và 50cm
Xem lời giải tại:
27. Cho tam giác ABC cân tại A. Qua điểm M trên cạnh AB kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC tại N.
a.  Tứ giác BMNC là hình gì? vì sao?
b.  So sánh SMNB và SMNC
c.  Chứng minh rằng SABN = SACM
Xem lời giải tại:
28. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao. Chứng minh
a.  ΔABH = ΔACK
b.  BCHK là hình thang cân
Xem lời giải tại:
29. Cho điểm O thuộc miền trong tam giác đều ABC. Kẻ OI//AB (I ∈ AC),
OJ//BC(J ∈ AB), OK//AC (K ∈ BC). Chứng minh chu vi của ΔIJK bằng tổng các
khoảng cách từ O đến các đỉnh ΔABC .
Xem lời giải tại:
30. Chứng minh rằng nếu các góc ở đáy của một hình thang không bằng nhau thì
đường chéo xuất phát từ góc lớn sẽ nhỏ hơn đường chéo xuât phát từ góc nhỏ
hơn.
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN VỀ HÌNH BÌNH HÀNH
BÀI TẬP
31. Cho ∆ ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Vẽ các điểm M, N
sao cho D là trung điểm của GM, E là trung điểm của GN. Chứng minh rằng
BNMC là hình bình hành.
Xem lời giải tại:
32. Cho ∆ ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho AD = CE. Gọi O là trung điểm của DE, gọi K là giao điểm của AO và BC. Chứng
minh rằng ADKE là hình bình hành.
Xem lời giải tại:
33. Cho ∆ ABC có Aˆ ≠ 600 . Ở phía ngoài của tam giác ABC, vẽ các tam giác đều
ABD và ACE. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ tam giác đều BCK. Chứng
minh rằng ADKE là hình bình hành. 
Xem lời giải tại:
34. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD.
a.  Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.
b.  Cho AD = a, BC = b. Tính chu vi của hình bình hành EFGH.
Xem lời giải tại:
35. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và
CD. 
a.  Chứng minh rằng AF // CE.
b.  Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh rằng DM =
MN = NB.
Xem lời giải tại:
36. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo
thứ tự là trung điểm của OD và OB.
a.  Chứng minh rằng AE // CF.
b.  Gọi K là giao điểm của AE và DC. Chứng minh rằng DK =
1
2
KC
Xem lời giải tại:
37. Cho ∆ ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E kẻ
các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng
minh rằng DM + EN = BC.
Xem lời giải tại:
38. Cho ∆ ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc
với AC tại C cắt nhau tại D. CMR
a.  BDCH là hình bình hành.
b. 
^
BAC +
^
BDC = 1800
c.  H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC)
d.  OM =
1
2
AH (O là trung điểm của AD)
Xem lời giải tại:
39. Cho hình bình hành MNPQ. Trên đường chéo NQ lấy các điểm H và K sao cho
NH = HK = KQ.
a.  CMR: MHPK là hình bình hành.
b.  Trên tia đối của các tia MN, NP, PQ và QM lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao
cho AM = BN = CP = DQ. CMR: các đường MP, HK, AC, BD đồng quy.
Xem lời giải tại:
40. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó.
Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D lên đường thẳng d. 
Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
BÀI TẬP
41. Cho ΔABC cân ở A có M là trung điểm BC và N là trung điểm của AC. Trên tia
MN lấy điểm I sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MI.
a.  So sánh MI và AB
b.  Chứng minh tứ giác AICM là hình chữ nhật.
Xem lời giải tại:
42. Cho hình thang vuông ABCD có 
Aˆ = Dˆ = 900; AB = 10cm; CD = 18cm; BC = 17cm.  Kẻ BE vuông góc với CD ở
E .
a.  Chứng minh tứ giác ABED là hình chữ nhật
b.  Tính độ dài đoạn thẳng DE ; EC ; BE ; AD (đơn vị là cm)
Xem lời giải tại:
43. Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bình hành cắt nhau tạo
thành một hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật này song song với
cạnh của hình bình hành.
Xem lời giải tại:
44. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC.
Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, BE, BC, CD. Chứng minh MP =
NQ
Xem lời giải tại:
45. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D và E là
chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC
a.  Xác định tứ giác ADME
b.  Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh A, I, M thẳng hàng
c.  Điểm M ở vị trí nào trên BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất
đó nếu AB=15cm; AC= 20cm
Xem lời giải tại:
46. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ tử B đến AC, I là
trung điểm của AE, M là trung điểm của CD.
a.  Gọi H là trung điểm của BE. Chứng minh CH//IM
b.  Tính số đo góc BIM
Xem lời giải tại:
47. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D,
trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng
minh rằng :
a.  HD = HE
b.  IA = IH
Xem lời giải tại:
48. Cho tam giác ABC, trực tâm H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông
góc AC tại C cắt nhau ở D. Gọi O là trung điểm của AD, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a.  O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC
b.  OM =
1
2
AH
Xem lời giải tại:
49. Cho hình thang vuông ABCD  : Aˆ = Dˆ = 900, có các điểm E và F thuộc cạnh
AD sao cho AE=DF và 
^
BFC = 900. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : 
^
BEC = 900
Xem lời giải tại:
50. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường
thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt ở M và N. Vẽ hình chữ nhật
MDNF.Chứng minh
a.  DF// EC
b.  BE = EF
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN VỀ THÌNH THOI
BÀI TẬP
51. Từ đỉnh B của hình thoi ABCD kẻ đường thẳng vuông góc BK và BM xuống
đường thẳng AD và DC. Chứng minh rằng BD là tia phân giác của 
^
KBM. 
Xem lời giải tại:
52. Cho tam giác đều ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC,
AB. Chứng minh các tứ giác AEDF, BFED, CDFE là các hình thoi.
Xem lời giải tại:
53. Cho hình thoi ABCD, có AB=BD=10cm.
a.  Tam giác ABD là tam giác gì? vì sao?
b.  Tính số đo các góc của hình thoi ABCD
c.  Tính độ dài AC
d.  Tính diện tích hình thoi ABCD
Xem lời giải tại:
54. Hình thoi ABCD có Aˆ = 600. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm
N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
Xem lời giải tại:
55. Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH = 2cm. Tính các góc
của hình thoi biết rằng Aˆ > Bˆ.
Xem lời giải tại:
56. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh AB của ΔABC, kẻ một đường thẳng song
song với BC,cắt AC ở E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C tại F, BF cắt
AC tại I.
a.  Chứng tỏ rằng ta có thể chọn được điểm D để BF là tia phân giác của góc Bˆ
b.  Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của AB thì IC=2IE.
Xem lời giải tại:
57. Cho tam giác ABC lấy các điểm D, E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho
BD=CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh
rằng IK⊥MN.
Xem lời giải tại:
58. Cho hình thoi ABCD góc Aˆ tù. Từ A hạ các đường vuông góc AI, AK xuống
cạnh BC, CD. Giả sử IK =
AC
2
 , O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a.  ΔIOK đều
b. 
^
IOC = 2
^
IAC
c. 
^
IOK = 2
^
IAK
d. 
^
BCD = 1500
Xem lời giải tại:
59. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại O
sao cho 
OC > OD. Gọi F, E, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DC và AD. Chứng
minh rằng:
a.  FEPQ là hình thoi
b.  Gọi Ot là tia phân giác của góc 
^
COD, chứng minh rằng QE⊥Ot
Xem lời giải tại:
60. Cho ΔABC kẻ FE//BC(E ∈ AB; F ∈ AC) sao cho AE=CF. Qua E kẻ một
đường thẳng song song với AC cắt BC ở D.
a.  Chứng minh rằng AD là tia phân giác của Aˆ
b.  Dựng đường thẳng MN//BC(M ∈ AB; N ∈ AC) sao cho BM=AN.
c.  ΔABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MNDB là hình thoi.
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG
BÀI TẬP
61. Cho đoạn thẳng AM. Trên đường vuông góc với AM tại M lấy điểm K sao cho 
MK =
1
2
AM . Kẻ MB vuông góc với AK (B ∈ AK). Gọi C là điểm đối xứng với B qua
M. Đường vuông góc với AB tại A và đường vuông góc với BC tại C cắt nhau ở D.
CMR: ABCD là hình vuông.
Xem lời giải tại:
62. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 17 cm. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy
theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH = 5 cm. Chứng minh
rằng EFGH là hình vuông và tính cạnh của hình vuông đó.
Xem lời giải tại:
63. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc
DAE cắt CD ở F. Gọi H là hình chiếu của F trên AE. Gọi K là giao điểm của FH và
BC. 
a.  Tính độ dài AH.
b.  Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc BAE.
c.  Tính chu vi tam giác CFK.
Xem lời giải tại:
64. Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB và hai đường chéo vuông góc tại O
(AB // CD). Lấy H, K thứ tự là trung điểm của đoạn thẳng OC và đoạn thẳng OD.
a.  Hãy xác định dạng của tứ giác ABHK.
b.  Hãy chứng tỏ rằng trục đối xứng của hình thang ABCD cũng là trục đối xứng
của ABHK.
Xem lời giải tại:
65. Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia
phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông
có đường chéo song song với cạnh của hình chữ nhật.
Xem lời giải tại:
66. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy điểm E ∈ BC và F ∈ DC sao cho 
^
EAF = 450
. Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BE.
a.  Tính số đo góc KAF.
b.  Tính chu vi của ∆ CEF.
Xem lời giải tại:
67. Cho hình vuông ABCD và E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. 
a.  Chứng minh CE⊥DF
b.  Gọi M là giao điểm của CE và DF. CMR: AM = AB.
Xem lời giải tại:
68. Cho ∆ ABC cân tại A, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H, K
theo thứ tự là trung điểm của GB, DC. Tam giác cân ABC có thêm điều kiện gì thì
DEHK là hình vuông.
Xem lời giải tại:
69. Cho tứ giác ABCD có 
^
ADC +
^
BCD = 900 và AD = BC. Gọi I, N, J, N lần lượt là
trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh INJM là hình vuông.
Xem lời giải tại:
70. Cho hình bình hành ABCD . Vẽ bên ngoài hình bình hành các hình vuông có
cạnh theo thứ tự là AB, BC, CD, DA có tâm (đối xứng) là E; F; G; H. Chứng minh
rằng
a.  ∆ HAE = ∆ FBE
b.  EFGH là hình vuông.
Xem lời giải tại: