Một số bài toán nâng cao về đoạn thẳng

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
ĐOẠN THẲNG
ĐOẠN THẲNG
BÀI 1: CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG
1. Lấy 4 điểm M, N, P, Q trong đó có ba điểm M, N, P thẳng hàng và điểm Q nằm
ngoài đường thẳng trên. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Có bao nhiêu
đường thẳng phân biệt, viết tên các đường thẳng đó.
Xem lời giải tại:
2. Vẽ hai tia Ox, Oy đối nhau. Lấy điểm M thuộc tia Ox, điểm N thuộc tia Oy và
điểm K sao cho N nằm giữa hai điểm O và K. Chứng minh rằng:
a.  Hai tia OM, ON đối nhau
b.  Hai tia OM, OK đối nhau
Xem lời giải tại:
3. Vẽ 5 điểm A, B, C, M và N trong đó ba điểm A, B, C thẳng hàng; ba điểm A, B, M
không thẳng hàng và ba điểm A, B, N thẳng hàng.
a.  Giải thích vì sao vẽ được như vậy.
b.  Chứng tỏ bốn điểm A, B, C và N cùng thuộc một đường thẳng (giả sử đó là
đường thẳng d).
c.  Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng, cách viết nào sai: 
. Sửa lại cách viết sai.
d.  Hai đường thẳng AN và BC có là hai đường thẳng phân biệt không? Hai
đường thẳng AB và MN có là hai đường thẳng trùng nhau không?
e.  Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp hai điểm trong số 5 điểm đã cho.
Xem lời giải tại:
4. Trên đường thẳng cho hai điểm A, B. Một điểm C nằm giữa hai điểm A, B;
điểm D nằm giữa hai điểm A, C; điểm E nằm giữa hai điểm C, B. Chứng tỏ: Điểm
C nằm giữa hai điểm D và E.
Xem lời giải tại:
5. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B và điểm M sao cho hai tia OM và OB
trùng nhau (điểm M nằm giữa hai điểm O và B). Chứng tỏ rằng:
a.  Hai tia OA và OM đối nhau.
b.  Bốn điểm A, B, O, M thẳng hàng
Xem lời giải tại:
6. Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường
thẳng đi qua các cặp điểm. Biết số đường thẳng vẽ tất cả là 28, tìm số n.
Xem lời giải tại:
7. Cho ba điểm A, B, C sao cho AB= 2cm, BC= 4cm và CA= 3cm. Hỏi ba điểm A, B,
C có thẳng hàng không? Vì sao?
Xem lời giải tại:
BÀI 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
8. Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy điểm A   Ox và B   Oy sao cho OA= 7cm,
OB= 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Xem lời giải tại:
9. Trên đường thẳng xy lấy 4 điểm C, E, F, D theo thứ tụ đó. Biết CD= 7cm, EF=
3cm, FD= 2cm.
a.  So sánh CE và EF.
b.  Tính những cặp đoạn thẳng bằng nhau trong hình vẽ.
Xem lời giải tại:
10. Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM= 1cm.
Trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN= 2cm. Hãy so sánh hai đoạn thẳng
BM và AN
Xem lời giải tại:
11. Cho ba điểm A, B, C. Biết rằng AC= 3cm, BC= 2cm và AB= 5cm. Hỏi hai tia CA
và CB có vị trí như thế nào đối với nhau?
Xem lời giải tại:
12. Cho đoạn thẳng AB= 7cm. Lấy điểm M nằm giữa A và B sao cho MA ‐ MB=
3cm. Tính độ dài đoạn thẳng MA và MB.
Xem lời giải tại:
13. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho MA=
2MB. Tính độ dài đoạn thẳng MA và MB theo đơn vị cm.
Xem lời giải tại:
14. Điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho AC= 5cm, BC= 3cm. Trên tia đối
của tia BA lấy điểm D sao cho BD= 5cm. Chứng tỏ: AB = CD
Xem lời giải tại:
15. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của OA lấy điểm C sao
cho  cm. Biết  cm,  cm. Hãy so sánh AB và BC.
Xem lời giải tại:
16. Vẽ đoạn thẳng  cm. Lấy hai điểm M và N nằm giữa A và B sao cho 
cm.
a.  Chứng minh rằng điểm M nằm giữa A và N.
b.  Tính MN.
Xem lời giải tại:
17. Trên đường thẳng xy lấy điểm O và hai điểm C, D sao cho  cm, 
cm. Tính độ dài CD.
Xem lời giải tại:
18. Trên tia Ox lấy hai điểm E và F sao cho  cm;  cm. Trên tia OF
lấy điểm K sao cho  cm.
a.  Tính FE.
b.  So sánh OE với EK.
Xem lời giải tại:
19. Trên tia Ox lấy ba điểm A, M, B sao cho  cm;  cm; 
cm. Hãy so sánh MA với MB.
Xem lời giải tại:
TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
BÀI 1: CHỨNG MINH TRUNG ĐIỂM
20. Lấy hai điểm A và B trên tia Ox sao cho OA = 2 cm và OB= 5cm .Trên tia BO
lấy I sao cho BI =1 cm.
a.  Tính AI?
b.  Chứng minh A là trung điểm của OI
Xem lời giải tại:
21. Trên tia Px lấy các điểm A, B C sao cho PA= 5cm; PB= 8cm; PC= 11cm.
a.  Tính đoạn BC.
b.  Chứng minh B là trung điểm của đoạn AC.
Xem lời giải tại:
22. Vẽ đoạn AB= 9cm. Điểm C nằm giữa A và B sao cho AC ‐ CB= 3cm.
a.  Tính AC và CB.
b.  Lấy điểm M nằm giữa A và C sao cho C là trung điểm của BM. Chứng minh: M
là trung điểm của đoạn AC.
Xem lời giải tại:
23. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N. Cho biết AB= 7cm, AM= 3cm, BN=
2cm. Chứng tỏ N là trung điểm của đoạn thẳng MB.
Xem lời giải tại:
24. Cho AB = 4 cm. Gọi O là trung điểm của AB. Trên tia OA lấy điểm E, trên tia
OB lấy điểm F sao cho OE = OF = 3 cm. Chứng tỏ rằng:
a.  O là trung điểm của đoạn EF.
b.  AE = BF = 1 cm.
Xem lời giải tại:
25. Vẽ đoạn AB = 30 cm có điểm O nằm giữa hai điểm A và B sao cho AB = 2 AO.
a.  Chứng minh AO = BO.
b.  Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Xem lời giải tại:
26. Cho đoạn thẳng   (cm). Lấy điểm M nằm giữa hai điểm   và   sao
cho  . Trên tia   lấy điểm   sao cho  . Chứng tỏ
rằng:
a.  Điểm   không phải là trung điểm của đoạn thẳng 
b.  Điểm   là trung điểm của đoạn thẳng 
Xem lời giải tại:
27. Trên đường thẳng   lấy một điểm  . Trên tia   lấy điểm   sao cho 
cm. Trên tia   lấy điểm   và   sao cho  cm và 
cm.
a.  Chứng tỏ rằng   là trung điểm của 
b.  Tìm giá trị của   để   là trung điểm của 
Xem lời giải tại:
28. Chứng minh rằng: Nếu đoạn thẳng AB tồn tại một điểm M sao cho 
 (hoặc   thì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Xem lời giải tại:
29. Cho hai tia đối nhau Ox và Ox'
a.  Trên tia Ox lấy điểm A sao cho  . Trên tia Ox' lấy điểm B sao cho 
. Chứng tỏ rẳng điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b.  Lấy điểm C thuộc tia Ox' sao cho  . Hỏi điểm C là trung điểm của
những đoạn thẳng nào, OA, OB hay AB?
Xem lời giải tại:
BÀI 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRUNG ĐIỂM
30. Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là điểm bất kì nằm giữa A và B. Lấy điểm M là
trung điểm của đoạn OA, điểm N là trung điểm của đoạn OB.
a.  Chứng tỏ rằng: MN= AB
b.  Cho biết MN= 3cm. Tính độ dài AB?
Xem lời giải tại:
31. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Lấy điểm M nằm giữa hai điểm A và B sao cho
AM=  AB. Trên tia MB lấy điểm O sao cho MO=  AM. Chứng tỏ rằng: điểm O
không phải là trung điểm của đoạn thẳng MB.
Xem lời giải tại:
32. Cho đoạn thẳng AB= 7cm. Lấy điểm I và K nằm giữa A và B sao cho AI= 3cm,
BK= a (a < 4cm).
a.  Tính độ dài IK
b.  Xác định giá trị của a để K là trung điểm của IB.
Xem lời giải tại:
33. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Lấy hai điểm E và F nằm giữa A và B sao cho AE +
BF= 7cm. Tính độ dài EF.
Xem lời giải tại:
34. Cho đoạn thẳng CD = 8 cm điểm O thuộc CD. Gọi M là trung điểm của OC, N là
trung điểm của DO. Tính độ dài đoạn MN.
Xem lời giải tại:
35. Trên đường thẳng xy lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 3 cm; AC = 7 cm (B nằm
giữa A và C).
a.  Tính độ dài đoạn thẳng BC.
b.  Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Xem lời giải tại:
36. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của AC và CB
a.  Biết  . Tính độ dài của đoạn thẳng MN
b.  Giả sử  . Tính độ dài của đoạn thẳng AB.
Xem lời giải tại:
37. Trên tia Ax lấy lần lượt 3 điểm B, C, D sao cho CD = 2BC = 4AB. Gọi I là trung
điểm của đoạn BD.
a.  I có nằm giữa B và C không? Vì sao?
b.  Tính độ dài đoạn AI biết AD = 14 cm.
Xem lời giải tại:
38. Cho hai điểm M, N thuộc tia Ox sao cho OM = 2 cm; ON = 5 cm. Điểm P thuộc
tia đối của tia Ox sao cho OP = 3 cm.
a.  Điểm M có nằm giữa hai điểm O và N không? Tính MN.
b.  So sánh MN và OP.
c.  Gọi I là trung điểm của OM. Tính IO; IP.
d.  Điểm I có là trung điểm của NP không? Vì sao?
Xem lời giải tại:
39. Cho tia Ox, lấy các điểm M, N thuộc tia Ox sao cho OM = 2 cm; ON = 3 cm. Lấy
các điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng OA, N là trung điểm của
đoạn thẳng OB.
a.  Điểm M có nằm giữa hai điểm O và N không? Tính MN.
b.  Tính OA; OB; AB.
c.  Chứng tỏ A là trung điểm của đoạn thẳng MB.
Xem lời giải tại:
40. Cho đoạn thẳng AB = 6 cm, điểm D thuộc tia AB sao cho AD = 8 cm.
a.  Tính BD.
b.  Điểm E thuộc tia AB sao cho AE = 4 cm. So sánh BE và BD.
c.  B có là trung điểm của ED không?
Xem lời giải tại:
41. Xác định vị trí ba điểm A, B, C đối với nhau, nếu biết:
a.  AB = 13 cm; AC = 5 cm; BC = 8 cm.
b.  AB = 6 cm; BC = 8 cm; AC = 10 cm.
Xem lời giải tại:
42. Cho điểm P nằm trên đường thẳng xy. Lấy điểm M thuộc tia Px, điểm N
thuộc tia Py sao cho PM = 7 cm; PN = 4 cm.
a.  Tính đoạn MN.
b.  Lấy điểm E trên đoạn thẳng PM sao cho PE = 2,5 cm. So sánh NP và EM.
c.  Lấy điểm F là trung điểm đoạn NP. Chứng minh: E là trung điểm của FM.
Xem lời giải tại:
43. Cho đoạn thẳng AB dài 8 cm, lấy điểm M sao cho AM = 4 cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng MB.
b.  Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?
c.  Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = 4 cm. So sánh MK với AB.
Xem lời giải tại:
44. Trên tia Ox, lấy hai điểm M, N sao cho OM = 2 cm, ON = 8 cm.
a.  Tính độ dài đoạn MN.
b.  Trên tia đối của tia NM, lấy điểm P sao cho NP = 6 cm. Chứng tỏ điểm N là
trung điểm của đoạn thẳng MP.
Xem lời giải tại:
45. Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O. Lấy A   Ox và B, C, D theo thứ
tự thuộc các tia Om, Oy, On sao cho:
OA = OC = 5 cm; OB = 3 cm; OD = 2 OB.
a.  Kể các tia đối nhau gốc O, các tia trùng nhau gốc O.
b.  Kể tên các đoạn thẳng có trong hình.
c.  Có điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng nào không? Vì sao?
Xem lời giải tại:
46. Cho các đoạn thẳng AB có độ dài 4 cm; AC có độ dài 5 cm và BC có độ dài 9
cm.
a.  Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không? Vì sao?
b.  Vẽ các đoạn thẳng trên.
c.  Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = 4,5 cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F
sao cho BF có độ dài 4,5 cm. Có những điểm nào là trung điểm của các đoạn
thẳng có trong hình.
Xem lời giải tại:
47. Gọi O là một điểm trên đường thẳng xy. Lấy M thuộc tia Ox sao cho OM = 4
cm, lấy N và P trên tia Oy sao cho ON = 4 cm; OP = 7 cm.
a.  Tính NP.
b.  Chứng minh O là trung điểm của MN.
c.  So sánh MN và OP.
d.  Lấy E sao cho O là trung điểm của PE. Tính ME.
Xem lời giải tại:
48. Trên tia Px lấy các điểm A, B, C sao cho PA = 5 cm; PB = 8 cm; PC = 11 cm.
a.  Tính đoạn BC.
b.  Chứng minh B là trung điểm của đoạn AC.
c.  Lấy M thuộc tia đối của tia Px sao cho PM = 3 cm. Gọi K là trung điểm của MC.
Tính KC.
Xem lời giải tại:
49. Trên tia Ax lấy điểm E và F sao cho AE = 4 cm; AF = 10 cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng EF.
b.  Lấy M thuộc tia đối của tia Ax sao cho AM = 2 cm. Chứng minh E là trung
điểm của MF.
c.  Lấy I, K lần lượt là trung điểm của AE và EF. Tính độ dài đoạn thẳng IK.
Xem lời giải tại:
50. Vẽ đoạn thẳng MN = 4 cm. Lấy điểm A nằm giữa M và N sao cho MA = 3 cm.
a.  Tính độ dài AN.
b.  Vẽ trung điểm B của đoạn MN. Tính BM và BA.
c.  Chứng tỏ A là trung điểm của đoạn thẳng BN. Hãy liệt kê các tia đối của tia
AN.
Xem lời giải tại:
51. Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy hai điểm C và D thuộc đoạn AB sao cho AC =
BD = 2 cm. Gọi M là trung điểm của AB.
a.  Chứng minh M cũng là trung điểm của CD.
b.  Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng.
Xem lời giải tại:
52. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = 3 cm; OB = 6 cm.
a.  Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không? Vì sao?
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AB.
c.  Điểm A có phải là trung điểm của OB không? Vì sao?
d.  Gọi P là trung điểm của OA, Q là trung điểm của AB. Chứng minh: OB = 2PQ.
Xem lời giải tại:
53. Cho đoạn AB = 20 cm có điểm C nằm giữa hai điểm A và B sao cho AC – CB =
10 cm.
a.  Tính độ dài AC, CB.
b.  Lấy điểm M thuộc AB sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BM. Tính BM.
c.  Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Xem lời giải tại:
54. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia đối của tia Ox lấy điểm B sao cho
OA = OB = 3 cm.Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 1 cm.
Trên tia BA lấy điểm N sao cho BN = 1 cm.
Chứng tỏ rằng O là trung điểm chung của 2 đoạn thẳng AB và MN.
Xem lời giải tại:
55. Một tam giác ABC có diện tích  . Một tam giác MNP được tạo bằng cách
kéo dài các cạnh bên AB , AC , CB sao cho A , B , C lần lượt là trung điểm của các
cạnh MB , PC và NA như hình vẽ dưới đây. Tính diện tích của tam giác MNP
Xem lời giải tại:
56. Cho hình vẽ, với hình vuông ABCD cạnh 20cm và M, N lần lượt là trung điểm
của BC, CD.
Tính diện tích phần tô màu AOND.
 Xem lời giải tại:
57. Cho hình lục giác đều ABCDEF. G, H, I, J, K và L lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DE, EF và FA. Biết rằng diện tích của ABCDEF là   và diện tích
của GHIJKL là  , tìm giá trị của x?
Xem lời giải tại:
58. Cho hình bình hành ABCD. Gọi P là điểm chính giữa của BC; Q là điểm chính
giữa của DC; I là điểm thuộc đoạn DC sao cho DC = 4IC. Hai đoạn thẳng PQ và BI
cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác APQ khi biết diện tích tam giác OPI bằng 
.
Xem lời giải tại:
59. Trong tam giác vuông ACD, diện tıćh của hıǹh tô đậm ba᷈ng   như trên
hıǹh vẽ. 
.
Tìm độ dài đoạn AB.
Xem lời giải tại: