Một số bài cực trị trong hình giải tích phẳng - Trần Mạnh Tường

MỘT SỐ BÀI CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG
Bài 1: Cho hai đường tròn (C): x2 + (y – 1)2 = 2; (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8. Cho AB là một đường kính thay đổi của đường tròn (C’) và M di động trên (C). Tìm M, A, B sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Giải: 
(C) có tâm I(0; 1), 
(C’) có tâm I’(4; 5), .
II’ = > R + R’ nên (C) và (C’) rời nhau.
Gọi H là hình chiếu của M trên AB, ta có
Lại có nên khi MH lớn nhất khi khi với I nằm giữa M và I’ và .
Ta có phương trình II’: x – y + 1 = 0 nên M(t; 1+t), do M thuộc (C) nên t2 + t2 = 2 . So sánh MI’ với II’, ta thấy M(-1; 0) thỏa mãn, khi đó A, B có tọa độ (6; 3) và (2; 7)
Bài 2: Hình vuông OABC nội tiếp đường tròn (C), có A(3; 4), xB < 0. Gọi E, F là giao điểm của (C) với Ox, Oy (E, F khác gốc O). Tìm M trên (C) sao cho lớn nhất.
Giải: AB đi qua A(3; 4), vuông góc với OA nên AB: 3x + 4y – 25 = 0.
Gọi B(3 + 4t; 4 – 3t), khi đó:
* (C) có tâm nên (C) có phương trình: 
Từ đó có E(-1; 0), F(0; 7)
OE và OF vuông góc nên EF là đường kính nên ME vuông góc với MF. Ta có
 nên lớn nhất bằng khi ME = MF, khi M thuộc trung trực của EF, từ đó tìm được M(3; 3) hoặc M(-4; 4).
Bài 3: Cho elip (E): và M(1; -1), đường thẳng d đi qua M, cắt (E) tại A, B sao cho MA.MB lớn nhất. Tìm A, B.
Giải: 
M(1; -1) thuộc miền bên trong (E) nên d luôn cắt (E) tại 2 điểm A, B.
Giả sử phương trình của d: 
Gọi A(1 + mt1; -1 + nt1), B(1 + mt2; -1 + nt2), trong đó t1, t2 là nghiệm của phương trình: 
Theo hệ thức Viet: 
Khi đó: 
Do nên MA.MB lớn nhất khi . Khi đó đường thẳng d có phương trình : y = -1, từ đó tìm được A, B có tọa độ (; -1).
Bài 4: Cho (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và d: x – y + 1 = 0. Tìm M thuộc d sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ đến AB lớn nhất.
Giải: 
(C) có tâm I(1; -2), R = IA = 3
Gọi M(m; m+1). Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C), ta cần MI > R hay 2m2 + 4m + 1 > 0
Ta có: MA = MB = suy ra A, B thuộc đường tròn tâm M(m, m+1), bán kính có phương trình: 
(x – m)2 + (y – m – 1)2 = 2m2 + 4m + 1
Hay x2 + y2 – 2mx – 2(m+1)y – 2m = 0.
Khi đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
Suy ra phương trình AB: 
Gọi K(x0; y0) là điểm cố định mà AB luôn đi qua, khi đó 
Gọi H là hình chiếu của N trên AB, khi đó suy ra khi mà ta có .(thỏa mãn).
Vậy M(2; 3)
Bài 5: Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và A(1; 3). Viết phương trình đường tròn (T) đi qua A và tâm của đường tròn (C), đồng thời cắt (C) tại B, C sao cho khoảng cách từ A đến BC là lớn nhất.
Giải: 
Giả sử (T) có tâm I, bán kính R, khi đó I thuộc đường trung trực d của OA với d: x + 3y – 5 = 0
Nên I(5 – 3m; m) và 
Suy ra phương trình đường tròn (T) là:
(x + 3m – 5)2 + (y – m)2 = 10m2 – 30m + 25
x2 + y2 + 2(3m – 5)x – 2my = 0. Khi đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ 
Suy ra phương trình BC: . Ta có: , dấu “ =” xảy ra khi m = 3/2 hay phương trình (T): x2 + y2 – x – 3y = 0.
Bài 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 8 . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết tiếp tuyến cắt các tia Ox, Oy tại A, B sao cho nhỏ nhất.
Giải: 
(C) có tâm O(0; 0), R = .
Gọi A(a; 0), B(0; b) (a, b > 0)
Khi đó AB: 
AB tiếp xúc với (C) nên 
 Vậy nhỏ nhất bằng 8 khi a = b = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là: x + y – 4 = 0
Bài 7: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 và A(1; 2) . Viết phương trình đường tròn (C’) tâm A và cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho lớn nhất.
Giải: 
(C) có tâm I(-1; 2), R = 2. và A thuộc (C).
Gọi AA’ là đường kính của (C) ta có AA’ = 2R = 4 và R’ = AN. 
Gọi giao điểm của AA’ và MN là H, ta có : .
Khi đó, ta có:
 Dấu “=” xảy ra khi 
hay phương trình (C’): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 12
Bài 8: Tam giác ABC có A(0; 2), B(-1; 0), C (2; -1). Gọi d là đường thẳng đi qua A. H và K là hình chiếu của B, C lên d. Viết phương trình d biết BH + CK đạt giá trị lớn nhất
Giải: 
Do d có thể cắt hoặc không cắt đoạn BC nên có 2 trường hợp sau:
TH1: d cắt đoạn BC tại M, ta có
TH2: d không cắt đoạn BC.
Gọi N là trung điểm BC , gọi I là hình chiếu của N trên d, ta có 
Vậy GTLN của BH + CK là khi .
Bài 9: Hình chữ nhật ABCD có AB: x – 2y + 1 = 0, BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm N thuộc BD sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Giải: 
Ta có Do ABCD là hình chữ nhất nên:
Với 7a = -b, chọn a = 1; b = -7 khi đó cùng phương với (loại)
Với a = -b, chọn a = 1, b = -1 khi đó AC: x – y – 1 = 0, gọi I là giao điểm của AC, BD ta có .
Do A,C khác phía với đường thẳng BD nên , dấu bằng xảy ra khi N là giao điểm của AC, BD hay N trùng I. Vậy .
Bài 10: Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O(0; 0), các điểm M, N lần lượt di động trên các cạnh BC, CD thỏa mãn DN = CM, gọi K là giao điểm của DM và AN, biết rằng khi N có tọa độ là N(0; ) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK có bán kính đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ A, B, C, D.
Giải: 
Ta thấy
Suy ra MN là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK. Theo bài toán ta 
có MN đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt AB = a, DN = x. Ta có
Vậy MN nhỏ nhất là khi hay N là trung điểm CD.
Khi N là trung điểm CD, ta có tam giác OCN vuông cân tại C nên 
Suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp ABCD là (C): x2 + y2 = 1.
Đưởng thẳng CD qua N và vuông góc với ON nên phương trình CD là 
Tọa độ C, D là nghiệm của hệ từ đó suy ra C, D có tọa độ 
Dễ dàng suy ra A, B có tọa độ