Một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Một hướng chứng minh bất đẳng thức có điều kiện
Ví dụ 1. Cho x+y=2 chứng minh rằng +2.
Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi x=y=1, dẫn đến cách đặt x=1+a, y=1-a, aR.
Giải:
x=1+a, aR.từ giả thiết suy ra y=1-a 
ta có:+=(1+a)+(1-a)=2+20a+10a2. đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=0, hay x=y=1
Ví dụ 2. Cho x+y+z=3 chứng minh bất đẳng thức sau 
x+y+z+xy+xz+yz 6
Giải:
Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi x=y=z=1
Đặt x=1+a, y=1+b, (a,b R). Từ giả thiết suy ra: z=1-a-b
Ta có x+y+z+xy+xz+yz =(1+a)+(1+b)+(1-a-b)+(1+a)(1+b) + (1+a)(1-a-b)+(1+b)(1-a-b)=(a+b/2)+3b/4+66 đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Ví dụ 3
Cho a+b=c+d. Chứng minh bất đẳng thức c+d+cd3ab.
Giải:
Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi a=b=c=d
Đặt c=a+x, với xR Từ giả thiết suy ra: d=b-x. Ta có 
c+d+cd=(x+a)+(b-x)+(x+a)(b-x)=(a-b+x/2)+3x/4+3ab3ab.
đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c=d
Ví dụ 4. Cho x4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x(2-x)
Giải:
Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi x=4.
Đặt x=4-t, từ giả thiết ta suy ra t0.
Ta có: A= (4-t)(2-4+t)=t-10t+32t-32=t(t-5)+7t-32-32đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi t=0 hay x=4. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -32 khi x=4.
Ví dụ5 Cho x+y=3, x1 CMR: y-x-6y-x+9y0
Giải:
đặt x=1-3a, a0 từ giả thiết suy ra y=2+a. lúc này BĐT cần CM tương đương với 
(2+a)-(1-a)-6(2+a)-(1-a)+9(2+a)0
a-2a+a0
a(a-1)0 ( đúng vì a 0) đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=0 hoặc a=1 tức là khi x=1, y=2 hoặc x=0, y=3.
Ví dụ 6 Cho x1; x+y3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:B=3x+y+3xy
Giải:
Đặt x=1-a và x+y=3+b, từ giả thiết ta suy ra a,b 0.
Ta có y=2+a+b. từ đó B=3x+y+3xy=3(1-a)+(2+a+b)+3(1-a)(2+a+b)=
a+b-5a+7b-ab+13=(a-b/2-b/5)+3/4b+9/2b+27/427/4 đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi , tức là x=-3/2, y=9/2 Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27/2 
khi x=-3/2, y=9/2 
Ví dụ 7 Cho a+b 2 CM BĐT sau a+ba+b
Giải:
Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi a=b=1.
Đặt a=1+x, b=1+y, từ giả thiết suy ra x+y0 Ta có bất đẳng thức cần CM tương đương với (1+x)+(1+y)(1+x)+(1+y)0x(1+x)+y(1+y)
x+y+3(x+y)(x-xy+y)+3(x+y)+(x+y)0(đúng vì x+y0) đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=y=0 hay a=b=1 
Ví dụ 8 Cho ab1 CMR a+ba+b
Giải:
Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi a=b=1. Đặt a=1+x, b=1+y, 
Ta có ab1(1+x)(1+y)1 x+y+xy0. ta có a+ba+b
 (1+x)+(1+y)1+x+1+y
x+y+x+y0. Lại có x+y2xy, với mọi x,y nên có x+y+x+y1/2(x+y)+xy+z+y0(đúng vì x+y+xy0) đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=y=0 hay a=b=1